2021年高考数学一轮复习 第一章 第3讲 知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第一章第3讲知能训练轻松闯关
1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若x<y，则x2<y2” B．“若x>y，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：选C．根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
2．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选C．由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
3．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
解析：选B．对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B应为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题为“若x<1，则x2<1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．综上可知，选B．
4．命题“若△ABC有一内角为π
3
，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题
( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等
差数列，则△ABC有一内角为π
3
”，它是真命题．
5．在斜三角形ABC中，命题甲：A＝π
6
，命题乙：cos B≠
1
2
，则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ．因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝
π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4
，C ＝
7π12
，满足△ABC 为斜三角形，所以选A ． 6．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．
解析：原命题与其逆否命题为等价命题．
答案：若b ∈M ，则a ∉M
7．有下列几个命题：
①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；
②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；
③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．
②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
答案：②③
8．已知α：x≥a，β：|x－1|<1．若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，
∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．
又∵α是β的必要不充分条件．
∴B A，∴a≤0．
答案：(－∞，0]
9．(xx·河南开封调研)已知命题p：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：
∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m．
解：(1)若a＋b＝2，则圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝|a＋b|
2
＝2＝
r，所以直线与圆相切．
反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，
∴a＋b＝±2，
故p是q的充分不必要条件．
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．
反之，若x2＋x≥0，
即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1．
当x≤－1时，|x|＝－x≠x，
因此，p是q的充分不必要条件．
(3)∵l∥αl∥m，但l∥m⇒l∥α，
∴p是q的必要不充分条件．
1．已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b的夹
角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C．由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2
＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cos θ＝1，即cos θ＝1
2
，故θ＝60°．同理，
若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立．故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件．
2．(xx·浙江省名校联考)一次函数y＝－m
n
x＋
1
n
的图象同时经过第一、三、
四象限的必要不充分条件是( )
A．m>1，且n<1 B．mn<0
C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
解析：选B．∵y＝－m
n
x＋
1
n
的图象经过第一、三、四象限，故－
m
n
>0，
1
n
<0，
即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为nm<0．3．下列几个命题：
①“若x2＋x－6≥0，则x≥2”的否命题；
②在△ABC中，“A>30°”是“sin A>1
2
”的充分不必要条件；
③“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．
解析：①“若x2＋x－6≥0，则x≥2”的否命题是“若x2＋x－6<0，则x<2”，
①是真命题；在△ABC中，“A>30°”是“sin A>1
2
”的必要不充分条件，②是假
命题；“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ
2
(k∈Z)”，
③是假命题．
答案：①
4．已知集合A＝{x|1
2
＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B
成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析：A＝{x|1
2
＜2x＜8，x∈R}＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A B，∴m＋1＞3，即m＞2．
答案：(2，＋∞)
5．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范
围．
(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的取值范围．
解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．
(1)因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，
所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，
这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，
所以⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，
所以m ≤3． 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．
6．(选做题)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，
∴m ≠0．
又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根， ∴⎩⎨⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2
＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－54，1． ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，
4m ∈Z ，4m 2
－4m －5∈Z . ∴m 为4的约数．
又∵m ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－54，1， ∴m ＝－1或1．
当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1．22480 57D0 埐F38916 9804 頄D.26330 66DA 曚23373 5B4D 孍30071 7577 畷33196 81AC 膬25075 61F3 懳ctr23820 5D0C 崌39640 9AD8 高。