2021年高考数学一轮复习 第一章 第3讲 知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第一章第3讲知能训练轻松闯关

1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )

A．“若xy，则x2>y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”

解析：选C．根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

2．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选C．由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．

3．下列命题中为真命题的是( )

A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题

解析：选B．对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B应为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题为“若x<1，则x2<1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．综上可知，选B．

4．命题“若△ABC有一内角为π

3

，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题

( )

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等

差数列，则△ABC有一内角为π

3

”，它是真命题．

5．在斜三角形ABC中，命题甲：A＝π

6

，命题乙：cos B≠

1

2

，则甲是乙的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A ．因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝

π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4

，C ＝

7π12

，满足△ABC 为斜三角形，所以选A ． 6．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．

解析：原命题与其逆否命题为等价命题．

答案：若b ∈M ，则a ∉M

7．有下列几个命题：

①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；

②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；

③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．

②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．

答案：②③

8．已知α：x≥a，β：|x－1|<1．若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

∵β：|x－1|<1，∴0

∴β可看作集合B＝{x|0

又∵α是β的必要不充分条件．

∴B A，∴a≤0．

答案：(－∞，0]

9．(xx·河南开封调研)已知命题p：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．

(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：

∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

∴该命题是真命题．

10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？

(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；

(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；

(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m．

解：(1)若a＋b＝2，则圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝|a＋b|

2

＝2＝

r，所以直线与圆相切．

反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，

∴a＋b＝±2，

故p是q的充分不必要条件．

(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．

反之，若x2＋x≥0，

即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1．

当x≤－1时，|x|＝－x≠x，

因此，p是q的充分不必要条件．

(3)∵l∥αl∥m，但l∥m⇒l∥α，

∴p是q的必要不充分条件．

1．已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b的夹