机器学习数学基础：导数及其应用

lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
注：
某点的导数是因变量在该点的变化率，它反映了因 变量随自变量的变化而变化的快慢程度
02 求导公式与求导法则
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x ) cos x
(tan x ) sec2 x
(sec x ) sec x tan x
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n Rn ( x)
麦克劳林公式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
O(xn )
f (n) (0) xn n!
SXT 常用函数的麦克劳林公式
1
1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x )
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3) [u( x)] v( x)
数学基础
SSXTT 第一部分 导数及其应用
SXT 函数极限定义
函数 y f ( x)在某个过程中,对应函数值 f ( x)
无限趋近于确定值 A.
极限存在准则
1.夹逼定理
0
(1) 在x0的某去心邻域x U (x0 )内有 g(x) f (x) h(x),
(2) lim g(x) A, lim h(x) A,
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
SXT 3. 凹凸性判别
如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
(1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上是凹的 ;
(2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上是凸的 .
sin x x x3 x5 3! 5!
cos x 1 x2 x4 2! 4!
(1)n1 x2n1 o(x2n ). (2n 1)!
(1)n x2n o(x2n1). (2n)!
ln(1 x) x x2 x3 (1)n1 xn o(xn ).
2! 3!
n
ex 1 x 1 x2 1 xn (xn )
01 导数的定义
一、引例
引例1.变速直线运动质点的瞬时速度
设一质点从点O出发作变速直线运动，它经过的路程 s是时 间t的函数： s=s(t),
s
s(t0 )
s(t0 t )
平均速度 v s s(t0 t ) s(t0 )
t
t
当 t 0 时取极限得瞬时速度
v(t0 )
lim
t 0
s(t0
k tan lim y lim f ( x) f ( x0 ) .
x0 x
x x0
x x0
二、导数的定义
y
y
x x0
lim
x 0
x
lim x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
其它表示：
f ( x0 ),
dy dx
或 d f (x)
x x0
dx
, x x0
其它形式：
f
( x0 )
2!
n!
SXT 泰勒公式应用
1.近似计算 2.函数展开
04 导数的应用
SXT 1.判定单调性
如果在(a,b)内f (x) 0，那么函数y f (x)在 [a, b]上单调增加； 如果在(a,b)内f (x) 0，那么函数y f (x)在 [a, b]上单调减少.
SXT 2. 求极值最值
y
y f (x)
yຫໍສະໝຸດ Baidu
y f (x)
o x1
x2 x
o x1
x2 x
多元函数导数
01.偏导数
02.与偏导数相关的几个概念 03.应用
SXT 01.偏导数
设函数 z f (x, y)
如果 lim f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) 存在
x0
x
则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处对
03 高阶导数与泰勒公式
SXT 高阶导数
二阶导数
( f ' (x)) ' lim f (x x) f (x)
x0
x
二阶导数记法
f
(x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
n阶导数记法
f (n) (x),
y(n) ,
dny dxn
或
d
n f (x) dxn
.
SXT 泰勒公式
f (x)
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x (e x ) e x (ln x) 1
x
(arcsin x )
1
1 x2
(arctan
x )
u( x)v( x) u( x)v( x) v 2 ( x)
(v( x) 0).
3.复合函数的求导法则
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.
t ) t
s(t0 )
y
2.切线问题
设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为
o
y f (x)
N
y T
CM
x
x0
xx
tan y y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
x x x0
x x0
N 沿 曲 线 C M , x x0 , x 0
切线MT的斜率为
n
n
lim(1 1 )x e
x
x
e 自然常数是一个无理数 等于 2.718281828459……
应用：
自然对数： y ln x 欧拉公式 ： eix cos x i sin x
欧拉恒等式 ： ei 1 0
导数
01.导数的定义
02.基本求导公式与求导法则 03.高阶导数与泰勒公式 04.导数的应用
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 x
SXT 2.单调有界准则
如果数列x 满足条件 n
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调有界数列必有极限.
SXT 一个重要极限
lim(1 1 )n e