工程力学课件第十章

153106 Pa 153MPa
153-150 100% 2% 150
超过许用应力值150MPa不到2%，故可选用56b号工字钢。
§10-3 梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
一、矩形截面梁的切应力 1、两条假设 （1）横截面上各点处的切应 力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距 离各点的切应力相等。
横向线(mn、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵 向线变为弧线，且上缩下 伸；横向线与纵向线变形 后仍保持垂直。
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
mp
nq
(a)
F
F
C
mp
D
nq (b)
4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
τ′ y
τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右 侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应 力的总和，如图所示。
由
Fx 0
FN1
dFS FN2
dx
得 FN2 FN1 dFS 0
（a）
其中 FN1
σdA
A1
My1 dA M
I A1
z
Iz
A1
y1dA
MS*z Iz
中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值 和最大压应力值分别为:
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
横截面上正应力分布:
d2
c,m ax
yt,max yc,max d1
Oz
y b
t,m ax
例题10−1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一 集中力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m， a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
2、切应力公式的推导
从图所示的梁中取出长为dx的微段， 受力如图所示。
FS
M
M+dM
FS dx
微段梁上的应力情况如图所示。
σ
现假设用一水平截面将微段梁截开，
并保留下部脱离体，由于脱离体侧面 上存在竖向切应力τ，根据切应力互
dx τ
等定理可知，在脱离体的顶面上一定
z
存在切应力τ'，且τ'=τ,如图所示。
由梁的正应力强度条件可 得梁所必需的弯曲截面系数
(b) M图
281kN.m
Wz
M max σ
375 10 3 150 10 6
2460
10 6 m3
375kN.m
281kN.m
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447 106 m3
此时最大正应力
σ max
M max Wz
375103 2447 106
应力。
解：先求出m −m截面上的剪力为3源自文库N。
截面对中性轴的惯性矩为 A
A*
F F m l/6 mB
K
y y* zh
l/3 l/3 l/3
解：（1）先画出弯矩图
（2）确定截面形心C的位置
y1 0.11 0.038 0.072 m
y2
0.11 0.03 0.015 0.03 0.08 0.07 0.11 0.03 0.03 0.08
0.038m
（3）截面对中性轴的惯性矩
Iz
0.03 0.072 3 3
0.11 0.038 3 3
（b） b
式中的A1是横截面上距中性轴为y的横线
以外部分的面积，如图所示。
z
h
y
S
* z
A1 y1dA
是A1对中性轴的静矩。
y A1 (e)
同样有
FN2
(M
dM
)S
* z
Iz
（c）
由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为 是均匀分布的，所以有
dFS τ'bdx
将FN1、FN2、dFS代入式（a），得
（1）平面假设 梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍
然与梁弯曲后的轴线保持垂直。
（2）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之
间的相互作用可忽略不计。
二、正应力公式的推导 1、几何方面
m
p
n
q
dx
(a)
中性层
m
p
中性轴
O1 a
Ob2
n
q
(b)
dθ ρ
O1 dx ya
O2 b
(c)
b
对于矩形截面梁，由图可知
S
* z
b(h 2
y) y
1 (h 22
y)
b (h2 24
y2)
h
z y
τmax
y A1
(a)
(b)
将其代入式（10−8），可得
τ
FS
h2 (
y2)
2Iz 4
τ
FS
h2 (
y2)
2Iz 4
此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线
形规律分布。在截面上、下边缘（ y h
2
）处，τ=0，而
在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图所示。即
b
τmax
FSh2 8I z
3FS 2bh
3FS 2A
h
z y
y A1
(a)
式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面
τmax (b)
梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。
例题10−5 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m， h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m −m截面上K点的切
弧线O1O2的长度为： dx ρdθ
(a)
中性层
dθ
m
p
n
q
dx
(a)
m
p
中性轴
O1 a
Ob2
n
q
(b)
距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ：
ρ
O1 dx ya
O2 b
(c)
( ρ y)dθ ρdθ ydθ y dx
(b)
ρ
dx
y
相应的纵向线应变为 ：
x
dx
y
（10
2、物理方面
（d）
(M
dM
)S
* z
MS*z
τ' bdx
0
Iz
Iz
经整理得
τ
FS
S
* z
I zb
（10－8）
τ
FS
S
* z
I zb
（10－8）
式（10−8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公 式。式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面积A1对中性轴的静 矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。
A
1M
EI z
（10－3）
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。
将式（10−3）代入式（10−2）
σ E y ρ
可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
My σ
Iz
（10－4）
三、梁横截面上任一点的正应力的计算公式为
b
O
z
h
y
σ My Iz
实际应用中往往M、 y代入绝
k
对值求出正应力值，再根据横截
由式（e）可得
My
z d A E
A
yz d A EI yz 0
A
因此
Iyz 0
(h)
即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为 横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以中性轴 应为横截面的形心主轴。
最后由式（f）可得
即有
M z
y d A E
A
y2 d A EI z M
b
o
z
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
max
M Wz
Wz为截y面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。
b
h h
横截面上正应力分布：
oz
yc,max
yt,max
d2
Oz
y b
d1 h
2.中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大拉应力 和最大压应力的值不相等。
在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘， 其值为
σ t, m ax
MC Iz
y2
2.7 103 0.038 0.573105
17.91106 Pa
17.91MPa [σt ]
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边 缘，其值为
σ t, m ax
MB Iz
y1
1.8103 0.072 0.573105
M max Iz
ymax
（10－5）
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
对圆形截面
Wz
d 4
d
64 2
d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，
可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力
不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为
σ max
M max Wz
σ
（10－6）
σ max
M max Wz
σ
二、三种强度问题的计算
（1）强度校核 （2）选择截面
σ max
M max Wz
σ
Wz
M max σ
（3）确定许用荷载
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应 力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
0.11 0.03 0.008 3
3
0.573 10 5 m4
（4）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对
称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。
①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯 矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最 大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的 拉应力进行分析比较。
y
面上弯矩的转向及所求正应力之
点在中性轴的哪一侧来判别弯曲
正应力为拉应力还是压应力。
四、横力弯曲 对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正
应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正 应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程 中的精度要求。
σ My Iz
五、横截面上的最大正应力
1.中性轴 z 为横截面对称轴的梁，其横截面上最大拉应 力和最大压应力的值相等。且最大拉、压应力的值为：
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa
[σc ]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用应
力[σ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。
梁的最大弯矩值为 M max 375 kN.m
FN
σdA ， M y
A
zσdA
A
，
Mz
yσdA
A
FN
σdA 0
A
(d)
M y
zσdA 0
A
(e)
(f)
M z
yσdA M
A
又
FN
dA E
A
y d A ES z
A
0
因为E
不等于零，所以有
Sz 0
(g)
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知， 中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。
（拉应力）
§10－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中 性轴最远的位置，此时
M σmax Wz
σ max
M Iz
ymax
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩 极值的横截面上，距中性轴最远的位置，即
σmax
M max Wz
σ max
解：先画梁的弯矩图
梁中最大弯矩应发生在跨
中截面上，其值为
M max
1 8
ql 2
1 8
2103
42
4 103
Nm
弯曲截面系数为
Wz
bh2 6
1 0.14 0.212 6
0.103 10 2 m3
由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有
max
M max Wz
4 103 0.103102
解：先求出C截面上弯矩
MC Fa 1.5103 2 3103 N m
例题10－1图
截面对中性轴的惯性矩
Iz
bh3 12
0.12 0.183 12
0.583 10 4 m4
将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
K
MC Iz
y
3103 0.583104
0.06 3.09106 Pa 3.09MPa
梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围
内正应力与线应变的关系为：
(c)
σ Eε
将式 y 代入，得
σ E y ρ
（10－2）
此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成 正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如下图所示。
z
y
z
3、静力学方面
y
由上图可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力 dFN=σdA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化 的结果应为以下三个内力分量：
第十章 梁的应力
§10－1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
F
1、纯弯曲——梁或梁 上的某段内各横截面上
a
(a) AA Cl
只有弯矩而无剪力(如图 (b)
中的CD段)。
F FS图
2、横力弯曲——梁或梁 (c)
上的某段内各横截面上既
M图
有弯矩又有剪力(如图中的
AC、BD段)。
F a B
D
F
Fa
3、梁的纯弯曲实验
22.5106 Pa
22.5MPa
[σt ]
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分
析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压
应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。
因MC 和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截面 上，即
σc,max
MC Iz
y1
3.88106 Pa 3.88MPa [ ]
所以简支木梁满足正应力强度要求。
例题10−3 一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm， a=110mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许 用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa,试校核梁的强 度。