高中数学选修1-1 圆锥曲线复习习题与例题
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圆锥曲线复习
2020年7月17日星期五
一、学习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
3.已知直线l过点A( 3 p , p)且与抛物线y2 2 px只有一个公共点， 2
求直线l的方程.
例 1: 正 三 角 形 的 一 个 顶 点 位于 坐 标 原 点 ， 另外两个顶点在抛物线y2 2px(p 0)上 求这个正三角形的边长.
解：根据抛物线的对称性可知，正三角形 另两个顶点A、B所在边必垂直于x轴，垂 足为M。设正三角形边长为a,
两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，
直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为 (
)
1 2
如图，在RtOAM中，
…… ∴a = 4 3p
例 2:某 河 上 有 抛 物 线 型 拱 桥， 当 水 面 距 拱 顶 5m时 ， 水 面 宽8m， 一 木 船 宽 4m， 高 2m， 载 货 后 木 船 露出 水 面 上 的 部 分 高 为3 m， 问 水 面 涨 到 距 抛 物线 拱 顶 多
4 少 米 时 木 船 不 能 通 过 该拱 桥 ?
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点的距
几何条件 离的和等于常数
与两个定点的 与一个定点和
距离的差的绝对 一条定直线的距
值等于常数
离相等
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) y2 2 px( p 0)
a2 b2
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
(2)直线AB经过一定点.
做练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP
线段中点Q的轨迹方程是（ B）
A.x2 y2 1 B.x2 4 y2 1 C. y2 x2 1 D.4 y2 x2 1
4
4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹
方程是 Baidu Nhomakorabea2=2|y|+1 。
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。
4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有
公共点，则m的取值范围是
[1,5） 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2
• ∴h=| y0|+3/4=2m 因此当水面……
例3:已知抛物线y2 x与直线y k(x 1) 相交于A，B两点 (1).求证:OA OB (2).当ΔOAB的面积为 10时，求k的值.
例4:A,B是抛物线y2 2px(p 0)上的 两个点，且OA OB(O为坐标原点) 求证:(1)A，B的横坐标之积为定值；
• 解:以拱顶为坐标原点，拱桥的 对称轴为y轴，建立直角坐标系.
• 如图所示，设抛物线方程为x2= B
-2py(p>0)
A
y
O B’ x A’
• 根据题意，A(4,-5)在抛物线上，∵42=2p(-5) ∴2p=3.2，故抛物线方程为x2=3.2x(-4≤x≤4).
• 设当水面上涨到BB’与抛物线拱顶相距 hm是，木船不能通过，这时船两侧与抛 物线拱接触，于是设船面BB’的端点B的 坐标为(2,y0).由22=-3.2y0，得y0=-5/4
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
练习 1.已 知 抛 物 线2x 2y的 一 条 平 行 于 x轴的 弦AB 4 3， O为 坐 标 原 点 ， 求 证 这个 三 角 形 AOB是 正 三角 形 .
2.直 线 y x - 2与 抛 物 线 y2 2x相 交 于 A、 B求, 证:OA⊥ OB
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线
抛物线
对称性
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
（±c,0)
c2=a2-b2
0<e<1
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
c2=a2+b2
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
2020年7月17日星期五
一、学习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
3.已知直线l过点A( 3 p , p)且与抛物线y2 2 px只有一个公共点， 2
求直线l的方程.
例 1: 正 三 角 形 的 一 个 顶 点 位于 坐 标 原 点 ， 另外两个顶点在抛物线y2 2px(p 0)上 求这个正三角形的边长.
解：根据抛物线的对称性可知，正三角形 另两个顶点A、B所在边必垂直于x轴，垂 足为M。设正三角形边长为a,
两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，
直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为 (
)
1 2
如图，在RtOAM中，
…… ∴a = 4 3p
例 2:某 河 上 有 抛 物 线 型 拱 桥， 当 水 面 距 拱 顶 5m时 ， 水 面 宽8m， 一 木 船 宽 4m， 高 2m， 载 货 后 木 船 露出 水 面 上 的 部 分 高 为3 m， 问 水 面 涨 到 距 抛 物线 拱 顶 多
4 少 米 时 木 船 不 能 通 过 该拱 桥 ?
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点的距
几何条件 离的和等于常数
与两个定点的 与一个定点和
距离的差的绝对 一条定直线的距
值等于常数
离相等
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) y2 2 px( p 0)
a2 b2
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
(2)直线AB经过一定点.
做练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP
线段中点Q的轨迹方程是（ B）
A.x2 y2 1 B.x2 4 y2 1 C. y2 x2 1 D.4 y2 x2 1
4
4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹
方程是 Baidu Nhomakorabea2=2|y|+1 。
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。
4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有
公共点，则m的取值范围是
[1,5） 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2
• ∴h=| y0|+3/4=2m 因此当水面……
例3:已知抛物线y2 x与直线y k(x 1) 相交于A，B两点 (1).求证:OA OB (2).当ΔOAB的面积为 10时，求k的值.
例4:A,B是抛物线y2 2px(p 0)上的 两个点，且OA OB(O为坐标原点) 求证:(1)A，B的横坐标之积为定值；
• 解:以拱顶为坐标原点，拱桥的 对称轴为y轴，建立直角坐标系.
• 如图所示，设抛物线方程为x2= B
-2py(p>0)
A
y
O B’ x A’
• 根据题意，A(4,-5)在抛物线上，∵42=2p(-5) ∴2p=3.2，故抛物线方程为x2=3.2x(-4≤x≤4).
• 设当水面上涨到BB’与抛物线拱顶相距 hm是，木船不能通过，这时船两侧与抛 物线拱接触，于是设船面BB’的端点B的 坐标为(2,y0).由22=-3.2y0，得y0=-5/4
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
练习 1.已 知 抛 物 线2x 2y的 一 条 平 行 于 x轴的 弦AB 4 3， O为 坐 标 原 点 ， 求 证 这个 三 角 形 AOB是 正 三角 形 .
2.直 线 y x - 2与 抛 物 线 y2 2x相 交 于 A、 B求, 证:OA⊥ OB
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线
抛物线
对称性
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
（±c,0)
c2=a2-b2
0<e<1
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
c2=a2+b2
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)