4-主轴结构参数优化设计(精)
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X x ,x ,x
* * 1 * 2
* T 3
300 .036,75.244,90.001
(17 ) 11
T
f ( X * ) 1458659 .848mm3
当迭代收敛时，惩罚因子 r 1.311 10 。可见， 惩罚函数中的惩罚项实际上已经消失，所以惩罚 函数值 ( X (17) , r (17) ) 已经非常逼近原目标函数的最优 解 f (X *) 。
机床主轴的体积是
f (X )
4
(l a )( D 2 d 2 )
因此，重量最轻优化设计的目标函数为
2 f ( X ) 0.25( x1 x3 )(x2 d2)
式中， 为材料的密度。
二、约束条件 1、机床的加工质量在很大程度上取决于主轴的 刚度，主轴刚度是一个重要的性能指标。因此， 要求主轴悬臂端挠度不超过给定的静变形 y0 。 根据材料力学可知，主轴悬臂端挠度
7.5 机床主轴结构优化设计
机床主轴是机床中的重要零件之一，一般是多 支承的空心阶梯轴。为了便于对阶梯轴进行结 构分析，常常将它简化为用当量直径表示的等 截面轴。 从要求机床主轴制造成本较低和加工精度较高 的要求出发，需要考虑主轴的自重和外伸段挠 度这样两个重要因素。对于专用机床来说，并 不追求过高的加工精度。因此，应该选取自重 的重量最轻为设计目标，将主轴的刚度作为约 束条件。
经检验，最优点位于g1 ( X ) 0 、g 2 ( X ) 0和 g 5 ( X ) 0 三个约束面（线）的交集上。
2 ( x1 x3 ) Fa 2 (l a) 64Fx3 y 4 3EJ 3E ( x2 d4)
式中， J
64
( D 4 d 4 )是空心主轴的惯性矩；
E 2.1104 MPa 是主轴的弹性模量（钢）；
F 是作用主轴外伸端的力。
代入整理得到主轴刚度的约束条件
2 f ( X ) 0.785398163 ( x1 x3 )(x2 d2)
X x1 , x2 , x3 l, D, a
T
T
2 x3 ( x1 x3 ) g1 ( X ) 1 97.00872722 4 0 4 ( x2 30 )
g 2 ( X ) x1 / 300 1 0
2 64Fx3 ( x1 x3 ) g1 ( X ) y 0 0 4 4 3E ( x2 d )
应当指出，由于对机床主轴有较高的刚度 要求，当满足刚度要求的情况下，其强度 应该有相当的富裕。因此，不需要再提出 主轴强度条件的约束条件。 2、设计变量的边界条件 三个设计变量的边界约束条件为 lmin l lmax
可见，这是一个3维有5个不等式约束的非线性优化设 计问题。
2、优化方法与结果 采用内点惩罚函数法求解，初始惩罚因子 r (1) 2 ， 5 惩罚因子递减系ห้องสมุดไป่ตู้ e 0.2 ，收敛精度 10。 按照题目给定的设计变量边界条件，取可行域内 的初始点 X (0) 480,100,120T ，经过17次迭代计算， 得到最优解
Dmin D Dmax
amin a amax
例7-5 已知某机床主轴悬臂端受到的切削 力 F 15000 N ，主轴内径 d 30 mm ，悬臂端 许用挠度 y0 0.05mm 。要求主轴两支承跨 度 300 mm l 650 mm ，外径 60mm D 140 mm ， 悬臂端长度 90mm a 150 mm 。试按照要求主 轴体积最小进行优化设计。 解：1、建立优化设计的数学模型
机床主轴 力学模型
x1 l D X x 2 x3 a
一、设计变量和目标函数 与主轴重量设计方案有关设计变量包括主轴 的外径 D 、孔径 d 、两支承跨度 l 和外伸段 长度 a。由于机床主轴的孔径d 主要取决于待 加工棒料的直径，不能作为设计变量处理。
g 3 ( X ) x2 / 60 1 0
g 4 ( X ) 1 x2 / 140 0
g 5 ( X ) x3 / 90 1 0
说明：1）为了改善各约束函数值在数量级上的差异， 对约束条件进行了规格化处理。 2）在设计变量的边界约束条件中没有考虑两支承跨度 a 的上限值，因为无论从减少主轴体积 l 和外伸段长度 的设计目标，还是从减少主轴外伸端挠度的约束条件 来看，都是要求 l 和 a 往小处变化。为了简化数学模 型，在约束条件中不对它们的上限值进行限制。
* * 1 * 2
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300 .036,75.244,90.001
(17 ) 11
T
f ( X * ) 1458659 .848mm3
当迭代收敛时，惩罚因子 r 1.311 10 。可见， 惩罚函数中的惩罚项实际上已经消失，所以惩罚 函数值 ( X (17) , r (17) ) 已经非常逼近原目标函数的最优 解 f (X *) 。
机床主轴的体积是
f (X )
4
(l a )( D 2 d 2 )
因此，重量最轻优化设计的目标函数为
2 f ( X ) 0.25( x1 x3 )(x2 d2)
式中， 为材料的密度。
二、约束条件 1、机床的加工质量在很大程度上取决于主轴的 刚度，主轴刚度是一个重要的性能指标。因此， 要求主轴悬臂端挠度不超过给定的静变形 y0 。 根据材料力学可知，主轴悬臂端挠度
7.5 机床主轴结构优化设计
机床主轴是机床中的重要零件之一，一般是多 支承的空心阶梯轴。为了便于对阶梯轴进行结 构分析，常常将它简化为用当量直径表示的等 截面轴。 从要求机床主轴制造成本较低和加工精度较高 的要求出发，需要考虑主轴的自重和外伸段挠 度这样两个重要因素。对于专用机床来说，并 不追求过高的加工精度。因此，应该选取自重 的重量最轻为设计目标，将主轴的刚度作为约 束条件。
经检验，最优点位于g1 ( X ) 0 、g 2 ( X ) 0和 g 5 ( X ) 0 三个约束面（线）的交集上。
2 ( x1 x3 ) Fa 2 (l a) 64Fx3 y 4 3EJ 3E ( x2 d4)
式中， J
64
( D 4 d 4 )是空心主轴的惯性矩；
E 2.1104 MPa 是主轴的弹性模量（钢）；
F 是作用主轴外伸端的力。
代入整理得到主轴刚度的约束条件
2 f ( X ) 0.785398163 ( x1 x3 )(x2 d2)
X x1 , x2 , x3 l, D, a
T
T
2 x3 ( x1 x3 ) g1 ( X ) 1 97.00872722 4 0 4 ( x2 30 )
g 2 ( X ) x1 / 300 1 0
2 64Fx3 ( x1 x3 ) g1 ( X ) y 0 0 4 4 3E ( x2 d )
应当指出，由于对机床主轴有较高的刚度 要求，当满足刚度要求的情况下，其强度 应该有相当的富裕。因此，不需要再提出 主轴强度条件的约束条件。 2、设计变量的边界条件 三个设计变量的边界约束条件为 lmin l lmax
可见，这是一个3维有5个不等式约束的非线性优化设 计问题。
2、优化方法与结果 采用内点惩罚函数法求解，初始惩罚因子 r (1) 2 ， 5 惩罚因子递减系ห้องสมุดไป่ตู้ e 0.2 ，收敛精度 10。 按照题目给定的设计变量边界条件，取可行域内 的初始点 X (0) 480,100,120T ，经过17次迭代计算， 得到最优解
Dmin D Dmax
amin a amax
例7-5 已知某机床主轴悬臂端受到的切削 力 F 15000 N ，主轴内径 d 30 mm ，悬臂端 许用挠度 y0 0.05mm 。要求主轴两支承跨 度 300 mm l 650 mm ，外径 60mm D 140 mm ， 悬臂端长度 90mm a 150 mm 。试按照要求主 轴体积最小进行优化设计。 解：1、建立优化设计的数学模型
机床主轴 力学模型
x1 l D X x 2 x3 a
一、设计变量和目标函数 与主轴重量设计方案有关设计变量包括主轴 的外径 D 、孔径 d 、两支承跨度 l 和外伸段 长度 a。由于机床主轴的孔径d 主要取决于待 加工棒料的直径，不能作为设计变量处理。
g 3 ( X ) x2 / 60 1 0
g 4 ( X ) 1 x2 / 140 0
g 5 ( X ) x3 / 90 1 0
说明：1）为了改善各约束函数值在数量级上的差异， 对约束条件进行了规格化处理。 2）在设计变量的边界约束条件中没有考虑两支承跨度 a 的上限值，因为无论从减少主轴体积 l 和外伸段长度 的设计目标，还是从减少主轴外伸端挠度的约束条件 来看，都是要求 l 和 a 往小处变化。为了简化数学模 型，在约束条件中不对它们的上限值进行限制。