离散时间系统状态空间模型

X m ( z) z
m 1
X ( z ) zX m 1 ( z ),
X n ( z ) z n 1 X ( z ) zX n 1 ( z )
系统状态空间模型
1 0 0 0 0 G 0 ,H 0 0 1 0 1 an an 1 a1 C bn 1 bn 2 b0 , D b0
离散时间系统的状态转移矩阵，用G(k)表示
非齐次线性离散系统的求解
线性定常离散系统的状态空间模型为
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx(k ) Du(k )
利用迭代法求解
x(k ) G k x(0) G k 1i Hu (i)
设系统的初始状态为 x(0) [1 0]T ， 系统的输入为 u(0) 1, u(i) 0, i 1, 2, ,
试求离散系统方程的解x(k)以及输出y(k)
通过“采样器”和“保持器”以连接连续时间受控对象和离散时间控制装 置使系统实现协调运行；
3.
4.
由“保持器-连续时间系统-采样器”组成采样系统。
采样系统的状态空间模型
u(t) T u(k) ZOH
uh (t )
x Ax(t ) Buh (t ) y Cx(t ) Duh (t )
ik 1
i
! (n 1)! n 1 (k )in i i n i 2 (k )i ( i 1)! n i 1 (k ) ( n i )! 1!
1 C1 i C10 2 C2 i2 1 C2 i
0 C0 ik 1 k 1 Ck i i 1 k i 1 Ck i
ห้องสมุดไป่ตู้
特征值法
G有n个互异的特征值1，… ， n ，
则存在非奇异矩阵P使得 G Pdiag{i }P1 所以
Gk Pdiag{ik }P1
i 1 Ji i I i Bi 1 i i i
1 k i k
离散时间状态 空间模型
问题的提出
离散时间系统不仅代表社会、经济、工程等领域一大批离 散动态问题的数学模型，而且代表连续时间系统的时间离 散化模型。
采样系统是一种典型的离散时间系统，在现代工业控制中 应用非常广泛。由于数字控制器或计算机在控制精度、控 制速度以及性能价格比等方面都比模拟控制器有着明显的 优势，而且还具有很好的通用性，所以随着计算机在系统 分析和控制中的广泛应用，时间离散化问题已变得愈来愈 突出。
y(t)
周期采样器：以常数T为周期的等间隔采样，u(k )
u (t ), t kT t kT 0,
ZOH：在两个采样时刻之间保持前一个采样时刻的值不变的保持器
在采样-保持器下，当kTt<(k+1)T时，uh(t)=u(kT) 离散化系统状态空间模型：
x((k 1)T ) Gx(kT ) Hu (kT )系统矩阵G必非奇异 y (kT ) Cx(kT ) Du (kT ) 其中G e , H e A d B
G有重特征根i，重数为 i ：
ik n 1 (k )in 1 1 (k )i 0 (k )
k ik 1 (n 1) n 1 (k )in 2 2 (k )i 1 (k ) k! (k i 1)!
离散系统的状态转移矩阵的计算
Z变换法； 利用凯莱-哈密顿定理； 特征值法。
Z变换法
对系统 x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) 进行Z变换：
x( z) ( zI G)1 zx(0) Hu( z)
取Z反变换：
x(k ) Z 1 ( zI G ) 1 z x(0) Z 1 ( zI G ) 1 Hu ( z )
0 Ci 1
n 1 Cn 1 in 1 0 (k ) n2 n2 Cn 1 i 1 (k ) n Cn 1i in i i 1 (k )
采样系统
采样系统模型
u(t) y(t) 连续系统 x(t)
把u(k)转换为 u(t),例如零阶 保持器ZOH
把y(t)转换为y(k),
采样器
保持器
例如周期的采样 开关
u(k) D/A 数字 计算机 A/D
y(k)
特点：
1.
受控对象为连续时间系统；
2.
控制装置为离散时间系统。对控制装置，输入为受控对象输出y(t)的时间离 散化向量y(k)，输出为受控对象输入u(t)的时间离散化向量u(k), k=0,1,2…
脉冲传递函数：
bn1 z n1 b0 Y ( z ) b0 b1 z 1 bn z n b0 n 1 n U ( z ) 1 a1 z an z z a1z n1 an1z an
其中 bi bi aib0 , i 1,, n
取

X 1 ( z ) X ( z ), X ( z ) zX ( z ),
2
x1 (k 1) x2 (k ), x2 (k 1) x3 (k ),
Z-1变换
xm 1 (k 1) xm (k ), xn 1 (k 1) xn (k ), xn (k 1) a1 xn (k ) an x1 (k ) u (k ) y (k ) b1 xn (k ) bn x1 (k ) b0u (k )
AT 0 T
离散时间系统状态空间模型：
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx(k ) Du(k )
基于状态空间模型讨论以下问题： 系统实现；
系统求解。
由输入-输出模型得到状态空间模型
离散时间系统的输入-输出差分方程为：
y(k ) a1 y(k 1) an1 y(k n 1) an y(k n) b0u(k ) b1u (k 1) bnu (k n)
G有重根，
则存在非奇异矩阵P使得
G Pdiag{Ji }P1,
所以
k k i
G Pdiag{J }P , J j 0 Ckj i j Bik j
例：线性定常离散系统的状态空间方程为
1 0 1 4 x(k 1) 1 1 x(k ) u (k ) , 1 8 8 y (k ) [ 1 0]x(k ) 2
解线性方程求得 0 (k )，1 (k )， ， n 1 (k )
G有n个互异的特征值1，… ， n ：
ik n1 (k )in1 1 (k )i 0 (k )
1k 1 1 k 2 1 2 k n 1 n 1n 1 0 (k ) n 1 1 (k ) 2 n 1 n n 1 (k )
其他实现方法
• • •
对偶实现 并联实现 串联实现
利用状态方程求解 线性离散时间系统
离散时间系统的零输入响应
线性定常齐次离散时间系统：
x(k 1) Gx(k ) y(k ) Cx(k )
当初始状态为x(0)时，方程解为
x(k ) G k x(0)
x(0)
G
k
x(k)
i 0
k 1
x(k ) G(k ) x(0) G(k 1 i) Hu (i)
i 0
k 1
零输入响应 x0u(k) 初始时刻为h时
零状态响应 x0x(k)
x(h k ) G(k ) x(h) G(k 1 i) Hu(h i)
i 0
k 1
离散系统的状态转移矩阵的性质
G(0)=I; G(k+1)=GG(k); 逆的性质：
• 逆的存在性：与连续时间系统不同，离散系统的状态转移 矩阵G(k)不一定非奇异，并且 G(k)非奇异 G非奇异；
• 对连续时间线性系统的离散化系统，其状态转移矩阵必非 奇异；
• 当G非奇异时，G-1(k)=G(-k)
传递性：G(k-l)G(l-h)=G(k-h), k>l>h G(k1+k2)=G(k1)G(k2)
的方法：
r
若h( s) det( sI A) ( s i ) i ,
i 1
令
f ( s) s k， g ( s) 0 (k ) 1 (k ) s n 1 (k ) s n 1 ,
联立n个方程
f (l ) (i ) g (l ) (i ), l 0,1,, i 1;
虚拟输出法
令
X ( z) 1 U ( z ), n n 1 z a1 z an 1 z an
则
( z n a1 z n 1 an 1 z an ) X ( z ) U ( z ) n 1 Y ( z ) (b1 z bn 1 z bn ) X ( z ) b0U ( z )
零输入的状态转移 零状态的状态转移
x0u(k)
x0x(k)
G (k ) Z 1 ( zI G ) 1 z
利用凯莱-哈密顿定理
Gk n1 (k )Gn1 1 (k )G 0 (k ) I
求 0 (k )，1 (k )， ， n 1 (k )