第五讲 四维空间Word 文档

第五讲四维空间
n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。

在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的
概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。

在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。

麦比乌斯（karl august mobius
1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能
重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。

但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。

这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待
的结果。

以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。

但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。

虚数曾今是很令人费解的，因为它在自然界
中没有实在性。

把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元素，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。

1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。

他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说：
我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。

然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。

格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。

几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。

经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。

一般认为：四维空间是一个时空的概念。

简单来说，任何具有四维的空间都可以被称为“四维空间”。

不过，日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。

根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。

时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又多了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。

根据爱因斯坦相对论所说：我们生活中所面对的三维空间加上时间构成所谓四维空间。

由于我们在地球上所感觉到的时间很慢，所以不会明显的感觉到四维空间的存在，但一旦登上宇宙飞船或到达宇宙之中，使本身所在参照系的速度开始变快或开始接近光速时，我们能对比的找到时间的变化。

如果你在时速接近光速的飞船里航行，你的生命会比在地球上的人要长很多。

这里有一种势场所在，物质的能量会随着速度的
改变而改变。

所以时间的变化及对比是以物质的速度为参照系的。

这就是时间为什么是四维空间的要素之一的原因。

一、直线运动
假设一个物体在平面上做匀速直线运动，其轨迹是一条直线L。

从直线L无法判断这个物体是否匀速运动。

但研究一个运动，时间是非常重要的量，我们希望知道物体何时在何地。

如果物体P在平面上做匀速直线运动，则可以得到P点的坐标随时间T变化的函数关系。

假设当T=0时，P的在坐标原点，则P 点坐标为：x=at,y=bt ,其中a,b为常数。

如果物体P在平面上做变速直线运动，这种函数关系x=x(t),y=y(t)很复杂。

现在物体运动的平面外再增加一个表示时间的坐标轴T轴，T轴也过坐标原点，且与X轴，Y轴都垂直。

当P点做匀速直线运动，可得到一条经过原点的直线L,L上每一点Q(x,y,z)表示P 点在时刻t位于原来XY平面上的(x,y)处。

即
从直线L上的每一点向平面XY作垂线，所有的垂足就是L在XY面上的投影。

此投影就是P 点运动的实际轨迹。

L越陡，说明运动速度比较慢；L越平说明运动速度比较快。

如果物体在平面XY上做变速直线运动，可得一条空间曲线L,L在XY平面上的投影仍是一条直线。

因为P点的运动轨迹仍是直线，但由于L是曲线，说明物体的运动速度是随时间的变化而变化。

上例是对平面上的运动来说的，当增加了时间轴后，把二维空间变为三维空间。

如果原来物体就是在三维空间运动，运动的轨迹是三维空间的一条曲线l，当增加时间轴以后，三维空间变为四维空间，于是得到四维空间中的一条曲线L。

L上一点Q(x,y,z,t)就表示物体在时刻t位于原来空间中的点（x,y,z）处。

四维空间中的曲线L在原来三维空间中的投影就是运动轨迹l,但L却能反映出物体的运动对时间的依赖关系。

上述方法得到的四维空间是对时间和空间综合起来考虑，可以称为“时空间”。

其中时间轴就是科幻小说中的时间隧道，不
过我们讨论的时间是单向的，只能不停地向前，不能停止也不能倒退。

而科幻小说中的时间隧道是可进可退的，这就是科学与科幻的区别。

二、四维欧氏空间及直角坐标系
借助射影几何的观点，在三维空间中一条直线与一个平面至少相交于一点，两个平面至少相交于一条直线。

但两条直线可以相交与一点，也可以没有交点（异面）。

列表表示：
----- 平面直线
平面直线点
直线点不定
在四维空间中，除了直线、平面以外还有许多三维空间。

为了方便，将这些三维空间称为“三维面”，平面称为“二维面”，直线还叫直线。

于是在四维空间有：
———三维面二维面直线
三维面二维面直线点
二维面直线点不定
直线点不定不定
由此还可得出：在四维空间中，三个三维面至少交于一条直线，四个三维面至少交于一点。

四维欧氏空间中的笛卡尔坐标系由相交于一点Ｏ的四条两两垂直的直线构成。

有四条坐标轴OX,OY,OZ,OT；六个二维坐标面XOY,XOZ,XOT,YOZ,YOT,ZOT；四个三维坐标面0XYZ,OXYT,OXZT,OYZT。

任何一个三维坐标面就是一个三维欧氏空间。

三、欧拉公式
在三维欧氏空间中，建立笛卡尔直角坐标系O-XYZ。

再设A，B，C的坐标为（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），则以OA，OB，OC为邻边的立方体I3成为三维欧氏空间中的标准立方。

它有8个顶点，12条棱和6个面，且满足关系：
顶点数－棱数＋面数＝２
以OA、OB、OC为邻边还决定一个四面体C3，称为三维欧氏空间中的标准单形。

C3
有4个顶点，6条棱和4个面，也满足
顶点数－棱数＋面数＝２
可以证明，三维欧氏空间中的任何多面体，只要中间没有“洞”，都满足以上公式。

这个公式就是著名的“欧拉公式”。

在四维空间，假设笛卡尔直角坐标系O-XYZT。

A，B，C，D分别是坐标为（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0）和（0，0，0，1）的点，则以OA，OB，OC，OD为邻边可以构成一个四维方体I4，它的每条边长为1，它的每个二维面是正方形，面积为1；它的每个三维面是立方体，体积为1；如果计算I4的体积也是1。

所以I4是四维欧氏空间中的标准立方体。

在三维坐标面O—XYZ上有I4的一个三维面，就是以OA，OB，OC为邻边的三维立方体。

它应该有8个顶点，12条棱和6个二维面。

I4有8+8=16个顶点，32条棱，24个二维面，8个三维面。

且满足：
顶点数－棱数＋二维面数－三维面数＝0
这就是欧拉公式在四维欧氏空间中的情形。

将以上结果列表：
顶点棱二维面三维面欧拉数
立方体8 12 6 0 2
四面体 4 6 4 ０ 2
四维立方体16 32 24 8 0
五胞体 5 10 10 5 0
三、镜面反射
欧氏几何中的“合同”就是全等。

两个三角形全等可以通过：平移，旋转或轴反射使它们重合。

这里的轴反射就是镜面反射，也说两个三角形是轴对称的。

但是这个反射必须借助包含它们所在平面的三维空间。

（见图）如果仅限于在平面内，不可能使两个三角形重合。

现在把问题的维数提高一维，考察三维空间中两个成镜面反射的图形。

设四面体ABCD与四面体A’B’C’D’在同一个三维空间中成镜面反射，它们关于平面a对称。

因此平面a是线段AA’,BB’,CC’,DD’的公共的垂直平分面．要想通过移动使两个四面体重合是不可能的．但是如果这个三维空间是某
个四维空间中的一个三维面，在这个四维空间中绕平面ａ的旋转就可以使两个四面体重合．
四、 超球面
１．三维空间中的超球面
在三维空间中的一个球面，也称为三维空间中的超球面。

取原点为中心，半径为１的单位球面，记作：2S ，其方程是 2221x y z ++= 2S 有以下性质：
（１）在三维欧氏空间中要确定一个球面，只要知道球心与半径，即４个参数，球心（ａ，ｂ，ｃ），半径ｒ。

（２）球面具有最丰富的对称性。

球心是对称中心；直径是对称轴；每个过球心的平面是对称平面。

（３）从2S 上的每个点向ＸＯＹ面引垂线，则垂足构成以Ｏ为中心，１为半径的圆盘，称为2
S 在ＸＯＹ面上的投影。

即2201z x y =⎧⎨+≤⎩ 如果取一般的平面，2S 在它上的投影方程比
较复杂，但仍是单位圆盘。

因为平面上的圆就是二维空间中的超球面，
所以，三维空间中的超球面，向任何一个平面投影就得到这个平面中的一个超球面。

（４）如果用一个平面去截2S，截痕是一个圆，当平面过中心，截痕是大圆。

这个事实可以叙述为：在三维空间中，用一个二维空间去截二维球面，得到一个一维球面。

（５）球面是一个封闭曲面，将三维空间分成互不相通的两部分。

２．四维空间中的超球面方程
四维欧氏空间中的超球面仍是到定点距离相等的点的集合。

仍以单位球面为例，记作：3S，方程为22221
+++=
x y z t
按照类比的思想，3S应该与2S有一些类似的性质：
（1）在四维空间中要确定一个超球面，同样只要知道球心与半径，即５个参数，球心（ａ，ｂ，ｃ，ｄ），半径ｒ。

（2）四维空间中的超球面是三维球面，它仍是关于中心对称，关于任意直径对称，关于过球心的平面对称，此外，对于过球心的任意三维面，它都是“体对称“图形。

（3）当把3S投影到三维坐标面Ｏ—ＸＹＺ
上，可得：22201t x y z =⎧⎨++≤⎩
它表示三维空间Ｏ—ＸＹＺ中的单位球体。

于是有：
在四维空间中，超球面3S 在任一个三维空间中的投影是三维空间中的超球体（即普通的实心球）。

（4）在四维空间中，用一个二维平面去截超球面，截痕是一个圆。

例如将ＸＯＹ面方程00z t =⎧⎨=⎩ 代入3S 的方程2
2221x y z t +++=， 就得到 221x y +=，于是得到ＸＯＹ面上的单位圆。

进一步，在四维空间中用一个三维空间去截超球面，截痕是这个三维空间中的超球面。

例如用三维坐标面Ｏ—ＸＹＺ的方程0t =代入3
S 的方程，得到
222
1x y z ++= （５）四维空间中的超球面也是封闭曲面，它把四维空间分成互不相通的两部分。