优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第10章§

思考感悟 1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的 关系是怎样的？ 【思考·提示】 随机变量的均值、方差是一个 常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观 测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、 方差趋于随机变量的均值与方差．
3．正态分布 (1)正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝
__________________其中μ，σ为参数，且σ>0， －∞<μ<＋∞，正态分布通常记作__N_(_μ_，__σ_2)_．___ (2)正态变量概率密度函数的图像叫作_正__态__曲__线___， 我们把_数__学__期__望__为__0_，__标__准__差__为__1_的正态分布叫 作标准正态分布．
则称EX＝_a_1_p_1_＋__a_2p_2_＋__…__＋__a_i_p_i＋__…__＋__a_n_p_n_为随 机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随 机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机 变量， 且E(aX＋b)＝__a_E_X_＋__b_._____
故ξ的分布列为
ξ0 1 4 9
P
1 6
1 3
1 3
1 6
所以 Eξ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝169.
【名师点评】 (1)随机变量的数学期望等于该随 机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积 的和． (2)均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数， 它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均 值(数学期望)是算术平均值概念的推广，是概率 意义下的平均． (3)EX是一个实数，即X作为随机变量是可变的， 而EX是不变的．
(3)①若X～B(n，p)，则EX＝_n__p_. _ ②当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分
布时，它的均值EX＝______ 2．方差 (1)设X是一个离散型随机变量，我们用_E_(_X_－__E__X_)2 来衡量X与EX的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－ EX)2的期望，并称之为随机变量X的_方__差__，记为 _D_X__. (2)对DX的理解：DX表示随机变量X对EX的平均 偏离程度，DX越大，表明平均偏离程度_越__大_，说 明X的取值越_分__散__，反之，DX越小，X的取值越 _集__中__在EX附近．
5．(2009年高考广东卷)已知离散型随机变量X的 分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝ ________，b＝________.
－ X 1 01 2
P
a
b
c
1 12
答案：152
1 4
考点探究•挑战高考
考点突破 离散型随机变量的均值
1．求离散型随机变量的期望关键是写出离散型 随机变量的分布列然后利用公式计算． 2．由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常 考题之一，常根据期望和方差的性质求解．
解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5. Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4. (1)记C表示事件：甲获得这次比赛的胜利． 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比
【解】 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x| －2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有 P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13， P(ξ＝9)＝16.
例1 (2010年高考福建卷)设S是不等式x2－x－6≤0 的解集，整数m，n∈S. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事 件A，试列举A包含的基本事件； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ. 【思路点拨】 确定A包含的基本事件数后求出ξ 的取值，再求出随机变量的概率即可写出分布列， 由分布列求期望．
4．正态分布曲线具有以下性质 (1)函数图像关于直线_x_＝__μ___对称； (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (3)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为 1； (4)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝_9_5_.4_%__； P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.
3．下列函数是正态分布密度函数的是( )
A．f(x)＝ 21πσex－ 2σμ2 2，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝ 22ππe－x22
C．f(x)＝2 12πe－x－4 12
D．f(x)＝
1 x2 2πe 2
答案：B
4．(教材习题改编)已知X是掷两个均匀骰子点数 中较大的数，则EX＝________. 答案：13661
变式训练1 (2009年高考全国卷Ⅰ)甲、乙二人进 行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的 胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率 为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独 立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数， 求ξ的分布列及数学期望．
思考感悟 2．正态分布中，μ，σ2的实际意义是什么？ 【思考·提示】 μ是均值，σ2是方差．
课前热身
1．若X的分布列为 X 0 1 ，其中m∈(0,1)， Pmn
则EX＝( )
A．1－m C．m＋n 答案：A
B．mn D．m
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的 分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲＝11，DX 乙＝3.4.由此可以估计( ) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 答案：B
§10.8 离散型 随机变量的均值与方差、正态分布
§10
.8 离散 型随 机变 量的 均值 与方 差、 正态 分布
双基研习•wk.baidu.com对高考 考点探究•挑战高考 考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
1．均值
基础梳理
(1)若离散型随机变量X的分布列为
X a1 a2 … ai … an
P p1 p2 … pi … pn