第八章第八节曲线和方程理

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·山东外国语学校模拟)已知点F(a,0)(a>0)，动点M、P分别在x、 y轴上运动，满足 PM ·PF ＝0，N为动点，并且满足 PN ＋ PM ＝0. (1)求点N的轨迹C的方程； (2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点 K(－a,0)， KA与 KB的夹角为θ，求证：0<θ<π2.
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012·北京大兴检测)△ABC的顶点A(－5,0)、 B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶 点C的轨迹方程是____________________．
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的 右支，方程为x92－1y62 ＝1(x>3)． 答案：x92－1y62 ＝1(x>3)
解析：由|PA|＝|y|＋1， 即 x－32＋y－42＝|y|＋1. 当y>0时得x2－6x－10y＋24＝0. 当y≤0时得(x－3)2＋15＝6y无轨迹．
答案：x2－6x－10y＋24＝0(y>0)
5．设P为双曲线x42－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP 的中点，则点M的轨迹方程是________．
[冲关锦囊] 1．直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法．圆锥曲
线的标准方程都是由直接法求得的．当轨迹易于列出 动点(x，y)满足的方程时可用此法． 2．求动点轨迹时应注意它的完备性．化简过程破坏了方 程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点 ．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者指曲 线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范 围).
答案： A
3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小
1，则点P的轨迹为
()
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点 (2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案： D
4．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多 一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________．
m)x2＋y2＝m2－1表示的曲线是
()
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：原方程可化为m2y－2 1－mx＋2 1＝1， ∵m>1，∴m2－1>0，m＋1>0. ∴表示焦点在y轴上的双曲线．
答案： D
解析：设P(x，y)，则由题意得 PA＝(－2－x，－y)， PB＝(3－x， －y)，所以(－2－x)(3－x)＋y2＝2，整理得x2＋y2－x－8＝0，所以点P 的轨迹是圆．
解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－4y2＝1，即为所求．
答案：x2－4y2＝1
1．求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先
根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定 系数；
抓基础
第八
节
曲线
明考向
与方
程(
教你一招
理)
Fra Baidu bibliotek
提能力
我来演练
[备考方向要明了] 考什么
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
怎么考
1.曲线的轨迹方程的求法是考查的热点，多考查直接法与 定义法求轨迹方程．
2.题型多为解答题，注重逻辑思维能力、运算能力的考查.
一、曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数 解建立了如下的关系：
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲 线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的 变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可 先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲 线得要求的轨迹方程；
(1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 ； (2)以这个方程的解为坐标的点都 在曲线上 ．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线．
二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1．建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． 3．列式——列出动点P所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公
2．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对 轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
[精析考题] [例1] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A (0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足 MB∥OA， MA·AB ＝ MB·BA，M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
[精析考题] [例2] (2011·福州模拟)如图， ADB为半圆，AB为半圆直径，O为 半圆圆心，且DO⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|＝4，曲 线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变． 建立适当的平面直角坐标系，则曲线C的方程为________．
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的椭圆． 设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c， 则2a＝2 5，∴a＝ 5，c＝2，b＝1. ∴曲线C的方程为x52＋y2＝1. 答案：x52＋y2＝1
式等将其转化为x，y的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
三、曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y) ＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组 FF12xx，，yy＝＝00，的 实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．
1．(教材习题改编)设m>1，则关于x，y的方程(1－
[冲关锦囊] 1．运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定