最全数学归纳法的应用ppt

第2课时 数学归纳法的应用
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【课标要求】
1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系． 2．能运用数学归纳法解决实际问题． 【核心扫描】 1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点)
2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点)
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∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．
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题型三
用数学归纳法证明几何问题
1 【例 3】 用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线有 n(n－3)条． 2 [思路探索] 可先弄清凸 n 边形多增加一条边时对角线的变化 情况，再归纳出变化规律，然后求解． 证明 1 ①当 n＝3 时，2n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角
2n＋1 成立． 2
证明
1 4 5 (1)当 n＝2 时，左＝1＋ ＝ ，右＝ ，左>右， 3 3 2
∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即
1 1 1 1＋ 1＋ „1＋ > 3 5 2k－1
2k＋1 2 ，
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题型二
用数学归纳法证明整除性问题
【例 2】 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)· 3n＋9 能被 36 整除． [思路探索] 验证n＝1时能被36整除 → 假设n＝kk≥1，k∈N＋时命题成立 → 推证n＝k＋1时也能被36整除 → 得出结论
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即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1) a2 k ＋1 ＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝ b ＝(k＋2)2， k 所以当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②，可知 an＝n(n＋1)， bn＝(n＋1)2 对一切正整数都成立．(8 分)
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应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”， 采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，
构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同， 从而达到利用假设的目的．
划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合 图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二 要注意要有必要的文字说明．
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【变式 3】 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平 nn－1 行，任何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)＝ 2 . 1 证明 (1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个，又Hale Waihona Puke Baiduf(2)＝2 ×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2 时，命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设 1 的任何 k 条直线的交点个数 f(k)＝ k(k－1)， 2 那么，当 n＝k＋1 时，
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[规范解答] 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2 n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(4 分) 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立．
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1 ＝ (k＋1)[(k＋1)－1]， 2 ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)，(2)可知，对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立．
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题型四 归纳—猜想—证明
【例 4】 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1 成 等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列{n∈N＋}． (1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论； 1 1 1 5 (2)证明： ＋ ＋„＋ ＜ . a1＋b1 a2＋b2 an＋bn 12 审题指导 (1)根据已知条件求出{an}，{bn}的前几项，由此猜 测{an}，{bn}的通项公式．然后根据递推关系式用数学归纳法 加以证明．(2)用放缩法证明不等式．
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自学导引
数学归纳法用框图表示就是：
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想一想：数学归纳法的两个步骤有何关系？ 提示 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤 (1)是递推
的基础，步骤(2)是递推的依据．
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名师点睛 1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题 及数列问题中有广泛的应用． 2．归纳→猜想→证明
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1 ＝2(k＋1)(k－2) 1 ＝2(k＋1)[(k＋1)－3] 故当 n＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)知，对任意 n≥4，n∈N*，命题成立．
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用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n
＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点) 增加了多少，直线的条数 ( 或
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1 1 1 1 【变式 4】 已知数列 ， ， ，„， ，„， 1×4 4×7 7×10 3n－23n＋1 计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想 Sn 的表达式，并用数 学归纳法进行证明． 1 1 1 1 2 解 S1 ＝ ＝4；S2＝4＋ ＝7； 1×4 4×7 2 1 3 3 1 4 S3＝7＋ ＝10；S4＝10＋ ＝13. 7×10 10×13 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致， n 分母可用项数 n 表示为 3n＋1.于是可以猜想 Sn＝ (n∈N*)． 3n＋1 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
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(2)证明
1 1 5 ＝ ＜ . a1＋b1 6 12
n≥2 时，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 1 1 1 故 ＋ ＋„＋ a1＋b1 a2＋b2 an＋bn 1 1 1 1 1 ＜6＋22×3＋3×4＋„＋nn＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝6＋22－3＋3－4＋„＋n－n＋1 1 1 1 5 1 1 1 ＝6＋22－n＋1＜6＋4＝12. 综上，原不等式成立．(12 分)
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【题后反思】 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题
型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归
纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证 明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养 创造性思维具有很好的训练作用．
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【变式2】 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.
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证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则
当n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，
所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．
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Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格 式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为： pdf、图片格式等
(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在
数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方 法． (2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系． (3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种
极限的思想．
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题型一 用数学归纳法证明不等式问题 【例 1】 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 * 2＋ 2＋ 2＋„＋ 2<1－ (n≥2，n∈N )． 2 3 4 n n [思路探索] 应用数学归纳法证题时，第一个步骤中的初始值 n0 是使命题成立的最小自然数，这个自然数不一定是 1.
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任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线的交点个数为 1 f(k)＝2k(k－1)， l 与其他 k 条直线交点个数为 k， 从而 k＋1 条直线共有 f(k)＋k 个交点， 1 即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝ k(k－1)＋k 2 1 1 ＝2k(k－1＋2)＝2k(k＋1)
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用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳 假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等
式．
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【变式 1】 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等
1 1 1 式1＋31＋5„1＋2n－1 >
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证明
1 1 1 1 (1)当 n＝2 时，左式＝ 2＝ ，右式＝1－ ＝ . 2 4 2 2
1 1 因为 < ，所以不等式成立． 4 2 (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 1 1 1 1 1 即 2＋ 2＋ 2＋„＋ 2<1－k， 2 3 4 k 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋„＋k2＋ <1－k＋ 22 32 42 k＋12 k＋12 k＋12－k k2＋k＋1 kk＋1 1 ＝1－ ＝1－ <1－ ＝1－ ， kk＋12 kk＋12 kk＋12 k ＋1 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立．
那么当 n＝k＋1 时，
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1 1 1 1 1＋ 1＋ „1＋ 1 ＋ > 3 5 2k－1 2 k ＋ 1 － 1
2k＋1 2k＋2 2k＋2 4k2＋8k＋4 · ＝ ＝ > 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 4k2＋8k＋3 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1 ＝ ＝ ， 2 2 2k＋1 2· 2k＋1 ∴n＝k＋1 时，不等式也成立． 由①②知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
线，故结论正确． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N＋)时结论正确， 1 即凸 k 边形的对角线有2k(k－3)条，
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1 则当 n ＝ k ＋ 1 时，凸 (k ＋ 1) 边形的对角线的条数 f(k) ＝ 2 k(k － 3)(k≥4)， 当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增加 了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻顶点 的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数为 k－2 ＋1＝k－1. 1 ∴f(k＋1)＝2k(k－3)＋k－1 1 2 ＝2(k －k－2)