《大学物理第三章-》PPT课件
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2
2
1 l 1 2 2 J 0 ml m ml A 12 6 9 h o
（选细杆、地球作为系统）由机械能守恒：
c
B
势能零点
mgh J / 2
2
h l/6
3g 解得： l
讨论：细杆运动到竖直方向时 轴对杆的支持力
由质心运动定理
N
h
2
o c
竖直位置 : N mg m r
角动量定理微分式：
Mdt 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩。
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1 J 2 2 J11
刚体的角动量定理：
刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量 矩等于该段时间内刚体角动量的增量。
对比：
t2
t1Biblioteka Baidu
F dt P 2 P 1 m 2 v 2 m1 v1
一、刚体对定轴的角动量 刚体上各质元某均以相同 的角速度ω绕定轴圆周运动。
ri
vi
mi
刚体上某一质元 mi 距轴的距离为 ri，则对该 轴的角动量为
Li mi ri vi mi ri
2
整个刚体对该定轴的角 动量Lz 应等于刚体上 所有质元对轴角动量的 总和，即
Lz Li mi ri J z
结论： 刚体绕定轴的转动动能等于刚体绕质心的转 动动能与质心携带总质量m以质心速度vc绕该定轴作圆 周运动的平动动能之和。
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 E k J J c md J c md 2 2 2 2
三、刚体定轴转动的动能定理 d dA Md J d d J d M J J
N b F a 0
M f r J 1 2 J mr 2 f uN
A
DN
f’ r f
B
F
由上式得:
0
2uFa mrb
m rb 0 0 0 t F 2uat
F与诸多因素有关!
§3－4
刚体定轴转动的角动量定 理及角动量守恒定律
1 2 J i i 2 2
1 2 J i i1 2
质点的动能定理
质点系的情况
1 1 2 2 A mv 2 mv 1 2 2
机械能守恒定律
A外 A内 E K
A外 A非保 E
讨论: 以下列问题 已知：圆锥摆（如图所示） 细杆作匀速圆周运动
0
（1）小球动量是否守恒，为什么？ 答：小球动量不守恒，因为小球在作 匀速圆周运动时受到重力和拉力 合力不为零所以小球动量不守恒 （2）小球对o’点角动量是否守恒？ 答：守恒
解： 法一：由系统角动量守恒
mul J mvl
机械能守恒
o
u
u ( M 3m) 6mu v M 3m ( M 3m)l
1 1 1 2 2 2 mu mv J 2 2 2
法二：设碰撞时间为t
y
Ft mv (mu)
F lt J 0
2 i i
z
转动惯量：
矢量式： L J
Z z
J mi ri
2
ri
vi
mi
刚体对某定轴的角动量等于刚体对 此轴的转动惯量与角速度的乘积。
方向：与 一致
二、定轴转动刚体的角动量定理 d d J dL 由转动定律： M J J dt dt dt
l a
1 v ma
g 2 2 2 3 Ml 2ma Ml 3ma 6
刚体 J、、M 角动量 L J
1 转动动能 E k J 2 2
M z J
F ma
1 2 动能E k mv 2
动量P mv
m 、v 、F
M 2m
M 2m
例、一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R的滑轮（质
量均匀分布在轮缘上），人和物体质量均为m。设人 从静止开始向上爬，相对于绳以匀速u，问物体上升 的速度为多少？（滑轮和绳之间无相对滑动） N 解：
人对地的速度： V uv 人对地的速率： V uv
x
t2
t1
M dt L2 L1 J 2 2 J11
注：1、M、L相对于同一转轴 2、冲量矩的方向与角动量增量的方向相同 三、刚体定轴转动的角动量守恒定律
dLz Mz 当： M z 0 时 dt
角动量守恒定律：
Lz 恒量
( M z 0)
J 22 J 11
§3-3 定轴转动中的功能关系
一、力矩的功和功率
dA F cos dr F cos rd
其中 F cos r M
z
d
dA Md
力矩的功： A
r
dr
F
2
1
Md
1
合力矩的功： A 力矩功率：
dA Md P M dt dt
五、刚体的机械能守恒定律 刚体作为特殊的质点组，但如果只有保守 力对刚体做功时，刚体系统的机械能守恒
E k E p 恒量
例1、一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端 挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其 速度为多大？ 解：由刚体的动能定理： 1 1 2 2 对M : Md J J 0 2 2 1 1 2 2 TR J J 0 2 2 对m利用质点动能定理：
0′
（3）系统机械能是否守恒？ 答：守恒
细杆在绕光滑水平轴自由摆动（如图所示）
（1）细杆动量是否守恒，为什么？
o
答：不守恒，由于杆在运动过程中受到 重力作用系统合外力不为零 （2）细杆对oo’角动量是否守恒？ 答：不守恒，由于杆在运动过程中受到 重力矩作用系统合外力矩不为零
（3）系统机械能是否守恒？ 答：守恒
T'
m m
M
T
mg
v0 0, 0 0
1 1 2 2 mgh Th mv mv 0 2 2 h R v R
h
(v, )
v0 0 , 0 0 , J M R 2 2
解得：
法二： （选滑轮、物体、绳、地球作为系统） 由机械能守恒 m (vo 0, 0 0)
圆台可绕轴无摩擦的转动，一 玩具汽车在圆台上作圆周运动
（1）汽车与台面组成系统动量是否守恒，为什么？ 答：不守恒，由于汽车在运动过程中受到 合外力不为零 （2）汽车与台面组成系统角动量是否守恒？ 答：守恒，由于汽车与台面运动过程中受到 合外力矩为零 （3）系统机械能是否守恒？ 答：不守恒
例：质量为M，半径为R的转台，可绕中心轴 转动。设质量为m的人站在台的边缘上。初始 时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔 跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转 过了多少角度？
质点
角动量定理
角动量守恒条件
t2
t1
M dt L2 L1 J 2 2 J11
动量定理
动量守恒条件
t2
t1
F dt P 2 P1 mv 2 mv1
定轴转动的动能定理
刚体系的情况
A
A
2
1
1 2 1 2 Md J 2 J1 2 2
mgh v2 M 2m
M
1 1 2 mgh mv J 2 2 2 2 J M R 2 v R
mg
h 势能零点
(v, )
mgh 解得：v 2 M 2m
例2、一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o 点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置 绕o点转动，求：垂直位置时的角速度 解： J o J c md
表现为 J ，ω ， J ，ω 物体系的角动量守恒：
对有几个物体或质点构成的系统， 若整个系统所受对同一转轴的合外力矩 为零，则整个物体系对该转轴的总角动 量守恒。
例1、质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平 面内可饶中心轴转动。开始棒处于水平位置， 一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。 设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及 棒的角速度。
说明： 1、物义：刚体所受合外力矩为零，则刚体的 角动量保持不变。 F 2、角动量守恒条件：M合外z=0 注意： M =0 ？ F =0
合外z 合外z
J 22 J 11
(M z 0)
F合外z=0
？ M 合外z=0
3、J =恒量分为两种情况 a、J=恒量，ω=恒量，刚体匀速转动
F
.
F
b、J、 ω同时变化，但Jω乘积不变！
·
1 4
（人、绳、滑轮、物体）所受合外力矩为： v mgR-mgR=0
mg
u
mg
mvR m(u v ) R J 0 m g
1 J mR 2 4
系统角动量守恒
4 v 解得： v u 9 R
v
u
例、均质细杆长2l，在光滑水平面上以垂直于杆的速 度v在瞬时与支点A（AC=l/2）碰撞。求：（1）碰撞 后杆的角速度。（2）碰撞后机械能损失多少？
光滑水平桌面上有一光滑圆 孔，以轻绳穿过小孔且绳子两 端个拴小球。
r0
v0
v0
（1）两小球组成系统动量是否守恒，为什么？ 答：不守恒，由于小球在运动过程中受到 重力作用系统合外力不为零 （2）两小球组成系统角动量是否守恒？ 答：守恒，由于两小球运动过程中受到 合外力矩为零 （3）系统机械能是否守恒？ 答：守恒
1 解： 系统角动量守恒：J ( M m)l 2 3
o
30°
机械能守恒： 11 2 l 2 2 Ml ma mga 1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2
1 2 2 mva Ml ma 3
v
消去t 机械能守恒
o
u
mul J mvl
1 1 2 1 2 2 mu mv J 2 2 2
u ( M 3m) v M 3m
6mu ( M 3m)l
例2、一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。 一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 若棒最大偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
dt dt
A dA
2
1
1 1 2 2 J d J 2 J1 2 2
定轴转动的动能定理：
合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量。
1 1 2 2 A J 2 J1 2 2
A内=0
四、刚体的重力势能
h
mi
hi mi hi E p mi ghi mg mghc 0 m 结论： 刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重 力势能
1 l 2 7 A 2 2 J A m (2l ) m ( ) ml 12 2 12 c l /2 mvl 6v l mv J A 角动量守恒： 2J A 7l 2 1 1 3 2 2 而E k1 mv E k 2 J A mv 2 2 2 14 1 3 2 2 2 2 E k E k1 E k 2 mv mv mv 2 14 7
3g 由： l
mg
l r h 6
3 解得： N mg 2
如图：鼓轮(圆盘)以0 旋转，用制动器使它经过 t 秒停止转动，在B端施加多大的力？已知鼓轮半径 为r，质量为m，摩擦系数为u，AB=a，AD=b
A DN f’ B f
0
对于制动器:
r
解：分析受力（力矩） 产生效果? F 对于鼓轮:
解： 人：
台：
J mR
2
角动量守恒：
J J 0 1 2 d 2 d MR mR 2 dt dt
1 2 J MR 2
1 M d m d 2 0 0
1 M m 2
——盘对地 —— 人对地 2 1 M m(2 ) 2 4m 2 M 2
2
M i d
二、转动动能
动能：
z
1 1 2 mi v i mi ri2 2 2 2
刚体的总动能：
1 1 2 2 E k mi ri 2 2
m r
2 i i
ri
2
vi
mi
1 2 E k J 2
由平行轴定理
1 2 J c （刚体绕通过质心轴的转动惯量） 2 d 1 1 2 （质心的动能） 2 2 md mvc 2 2 C 1 1 2 2 E k J c mv c 2 2
2
1 l 1 2 2 J 0 ml m ml A 12 6 9 h o
（选细杆、地球作为系统）由机械能守恒：
c
B
势能零点
mgh J / 2
2
h l/6
3g 解得： l
讨论：细杆运动到竖直方向时 轴对杆的支持力
由质心运动定理
N
h
2
o c
竖直位置 : N mg m r
角动量定理微分式：
Mdt 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩。
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1 J 2 2 J11
刚体的角动量定理：
刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量 矩等于该段时间内刚体角动量的增量。
对比：
t2
t1Biblioteka Baidu
F dt P 2 P 1 m 2 v 2 m1 v1
一、刚体对定轴的角动量 刚体上各质元某均以相同 的角速度ω绕定轴圆周运动。
ri
vi
mi
刚体上某一质元 mi 距轴的距离为 ri，则对该 轴的角动量为
Li mi ri vi mi ri
2
整个刚体对该定轴的角 动量Lz 应等于刚体上 所有质元对轴角动量的 总和，即
Lz Li mi ri J z
结论： 刚体绕定轴的转动动能等于刚体绕质心的转 动动能与质心携带总质量m以质心速度vc绕该定轴作圆 周运动的平动动能之和。
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 E k J J c md J c md 2 2 2 2
三、刚体定轴转动的动能定理 d dA Md J d d J d M J J
N b F a 0
M f r J 1 2 J mr 2 f uN
A
DN
f’ r f
B
F
由上式得:
0
2uFa mrb
m rb 0 0 0 t F 2uat
F与诸多因素有关!
§3－4
刚体定轴转动的角动量定 理及角动量守恒定律
1 2 J i i 2 2
1 2 J i i1 2
质点的动能定理
质点系的情况
1 1 2 2 A mv 2 mv 1 2 2
机械能守恒定律
A外 A内 E K
A外 A非保 E
讨论: 以下列问题 已知：圆锥摆（如图所示） 细杆作匀速圆周运动
0
（1）小球动量是否守恒，为什么？ 答：小球动量不守恒，因为小球在作 匀速圆周运动时受到重力和拉力 合力不为零所以小球动量不守恒 （2）小球对o’点角动量是否守恒？ 答：守恒
解： 法一：由系统角动量守恒
mul J mvl
机械能守恒
o
u
u ( M 3m) 6mu v M 3m ( M 3m)l
1 1 1 2 2 2 mu mv J 2 2 2
法二：设碰撞时间为t
y
Ft mv (mu)
F lt J 0
2 i i
z
转动惯量：
矢量式： L J
Z z
J mi ri
2
ri
vi
mi
刚体对某定轴的角动量等于刚体对 此轴的转动惯量与角速度的乘积。
方向：与 一致
二、定轴转动刚体的角动量定理 d d J dL 由转动定律： M J J dt dt dt
l a
1 v ma
g 2 2 2 3 Ml 2ma Ml 3ma 6
刚体 J、、M 角动量 L J
1 转动动能 E k J 2 2
M z J
F ma
1 2 动能E k mv 2
动量P mv
m 、v 、F
M 2m
M 2m
例、一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R的滑轮（质
量均匀分布在轮缘上），人和物体质量均为m。设人 从静止开始向上爬，相对于绳以匀速u，问物体上升 的速度为多少？（滑轮和绳之间无相对滑动） N 解：
人对地的速度： V uv 人对地的速率： V uv
x
t2
t1
M dt L2 L1 J 2 2 J11
注：1、M、L相对于同一转轴 2、冲量矩的方向与角动量增量的方向相同 三、刚体定轴转动的角动量守恒定律
dLz Mz 当： M z 0 时 dt
角动量守恒定律：
Lz 恒量
( M z 0)
J 22 J 11
§3-3 定轴转动中的功能关系
一、力矩的功和功率
dA F cos dr F cos rd
其中 F cos r M
z
d
dA Md
力矩的功： A
r
dr
F
2
1
Md
1
合力矩的功： A 力矩功率：
dA Md P M dt dt
五、刚体的机械能守恒定律 刚体作为特殊的质点组，但如果只有保守 力对刚体做功时，刚体系统的机械能守恒
E k E p 恒量
例1、一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端 挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其 速度为多大？ 解：由刚体的动能定理： 1 1 2 2 对M : Md J J 0 2 2 1 1 2 2 TR J J 0 2 2 对m利用质点动能定理：
0′
（3）系统机械能是否守恒？ 答：守恒
细杆在绕光滑水平轴自由摆动（如图所示）
（1）细杆动量是否守恒，为什么？
o
答：不守恒，由于杆在运动过程中受到 重力作用系统合外力不为零 （2）细杆对oo’角动量是否守恒？ 答：不守恒，由于杆在运动过程中受到 重力矩作用系统合外力矩不为零
（3）系统机械能是否守恒？ 答：守恒
T'
m m
M
T
mg
v0 0, 0 0
1 1 2 2 mgh Th mv mv 0 2 2 h R v R
h
(v, )
v0 0 , 0 0 , J M R 2 2
解得：
法二： （选滑轮、物体、绳、地球作为系统） 由机械能守恒 m (vo 0, 0 0)
圆台可绕轴无摩擦的转动，一 玩具汽车在圆台上作圆周运动
（1）汽车与台面组成系统动量是否守恒，为什么？ 答：不守恒，由于汽车在运动过程中受到 合外力不为零 （2）汽车与台面组成系统角动量是否守恒？ 答：守恒，由于汽车与台面运动过程中受到 合外力矩为零 （3）系统机械能是否守恒？ 答：不守恒
例：质量为M，半径为R的转台，可绕中心轴 转动。设质量为m的人站在台的边缘上。初始 时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔 跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转 过了多少角度？
质点
角动量定理
角动量守恒条件
t2
t1
M dt L2 L1 J 2 2 J11
动量定理
动量守恒条件
t2
t1
F dt P 2 P1 mv 2 mv1
定轴转动的动能定理
刚体系的情况
A
A
2
1
1 2 1 2 Md J 2 J1 2 2
mgh v2 M 2m
M
1 1 2 mgh mv J 2 2 2 2 J M R 2 v R
mg
h 势能零点
(v, )
mgh 解得：v 2 M 2m
例2、一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o 点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置 绕o点转动，求：垂直位置时的角速度 解： J o J c md
表现为 J ，ω ， J ，ω 物体系的角动量守恒：
对有几个物体或质点构成的系统， 若整个系统所受对同一转轴的合外力矩 为零，则整个物体系对该转轴的总角动 量守恒。
例1、质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平 面内可饶中心轴转动。开始棒处于水平位置， 一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。 设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及 棒的角速度。
说明： 1、物义：刚体所受合外力矩为零，则刚体的 角动量保持不变。 F 2、角动量守恒条件：M合外z=0 注意： M =0 ？ F =0
合外z 合外z
J 22 J 11
(M z 0)
F合外z=0
？ M 合外z=0
3、J =恒量分为两种情况 a、J=恒量，ω=恒量，刚体匀速转动
F
.
F
b、J、 ω同时变化，但Jω乘积不变！
·
1 4
（人、绳、滑轮、物体）所受合外力矩为： v mgR-mgR=0
mg
u
mg
mvR m(u v ) R J 0 m g
1 J mR 2 4
系统角动量守恒
4 v 解得： v u 9 R
v
u
例、均质细杆长2l，在光滑水平面上以垂直于杆的速 度v在瞬时与支点A（AC=l/2）碰撞。求：（1）碰撞 后杆的角速度。（2）碰撞后机械能损失多少？
光滑水平桌面上有一光滑圆 孔，以轻绳穿过小孔且绳子两 端个拴小球。
r0
v0
v0
（1）两小球组成系统动量是否守恒，为什么？ 答：不守恒，由于小球在运动过程中受到 重力作用系统合外力不为零 （2）两小球组成系统角动量是否守恒？ 答：守恒，由于两小球运动过程中受到 合外力矩为零 （3）系统机械能是否守恒？ 答：守恒
1 解： 系统角动量守恒：J ( M m)l 2 3
o
30°
机械能守恒： 11 2 l 2 2 Ml ma mga 1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2
1 2 2 mva Ml ma 3
v
消去t 机械能守恒
o
u
mul J mvl
1 1 2 1 2 2 mu mv J 2 2 2
u ( M 3m) v M 3m
6mu ( M 3m)l
例2、一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。 一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 若棒最大偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
dt dt
A dA
2
1
1 1 2 2 J d J 2 J1 2 2
定轴转动的动能定理：
合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量。
1 1 2 2 A J 2 J1 2 2
A内=0
四、刚体的重力势能
h
mi
hi mi hi E p mi ghi mg mghc 0 m 结论： 刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重 力势能
1 l 2 7 A 2 2 J A m (2l ) m ( ) ml 12 2 12 c l /2 mvl 6v l mv J A 角动量守恒： 2J A 7l 2 1 1 3 2 2 而E k1 mv E k 2 J A mv 2 2 2 14 1 3 2 2 2 2 E k E k1 E k 2 mv mv mv 2 14 7
3g 由： l
mg
l r h 6
3 解得： N mg 2
如图：鼓轮(圆盘)以0 旋转，用制动器使它经过 t 秒停止转动，在B端施加多大的力？已知鼓轮半径 为r，质量为m，摩擦系数为u，AB=a，AD=b
A DN f’ B f
0
对于制动器:
r
解：分析受力（力矩） 产生效果? F 对于鼓轮:
解： 人：
台：
J mR
2
角动量守恒：
J J 0 1 2 d 2 d MR mR 2 dt dt
1 2 J MR 2
1 M d m d 2 0 0
1 M m 2
——盘对地 —— 人对地 2 1 M m(2 ) 2 4m 2 M 2
2
M i d
二、转动动能
动能：
z
1 1 2 mi v i mi ri2 2 2 2
刚体的总动能：
1 1 2 2 E k mi ri 2 2
m r
2 i i
ri
2
vi
mi
1 2 E k J 2
由平行轴定理
1 2 J c （刚体绕通过质心轴的转动惯量） 2 d 1 1 2 （质心的动能） 2 2 md mvc 2 2 C 1 1 2 2 E k J c mv c 2 2