综合评价方法及其应用

1. 评价指标类型的一致化
（1）极小型指标: 对于某个极小型指标x ，则通过变换
x 1 (x 0) ,或变换x M x ,其中M x
取值的最大值，即可将指标x 极大化。
为指标x 的可能
（2）中间型指标: 对于某个中间型指标x ，则通过变换
x


2(x m) , M m 2(M x) ,
1
x
c
b
,
xb
其中[a, b] 为指标x 的最佳稳定的区间，c max{a m, M b} ，
M 和m 分别为指标x 的可能取值的最大值和最小值。即可将区
间型指标 x 极大化。
二、评价指标的规范化处理
2. 评价指标的无量纲化
在实际中的评价指标 x1, x2 , , xm (m 1) 之间，往往都存
线性加权综合法的特点： （1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性
补偿，保证综合评价指标的公平性； （2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明
显，即权重较大指标值对综合指标作用较大； （3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结
果对于各备选方案之间的差异表现不敏感； （4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广
源自文库
假设理想点（系统）为 ( x1*
,
x
* 2
,,
xm*
)
，对于一个被评价对象
(xi1, xi2 ,, xim ) ，定义二者之间的加权距离为
m
yi
wj
f
( xij
x
* j
),
i

1,2,, n
，
j 1
其中
wj
为权系数，
f
( xij
,
x
* j
)
为xij
与x*j
之间的某种意义下距离。
通常情况下可取简单的欧氏距离，即取
1. 线性加权综合法
m
线性加权综合法: 用线性加权函数 y wj xj j 1
作为综合评价模型，对n 个系统进行综合评价。
线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间 相互独立。
对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将 导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观 地反映实际。
1. 线性加权综合法
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值wj ( j 1, 2, , m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
f
(
xij
,
x
* j
)

( xij

x
* j
)
2
，
m
则综合评价函数为 yi
w j (xij

x
* j
)
2
,
i
1,2,, n
。
j 1
经过计算，按照 yi (i 1,2,, n) 值的大小对各被评价方案进行
排序选优，显然是其值越小方案就越好。特别地，当某个yi 0 时，
即达到了理想点，则对应的方案就是最优的。
和 1，即 xij [0,1] 是无量纲的指标，称之为xij 的标准观测值。
2. 评价指标的无量纲化
（2）极值差方法:
令 xij

xij mj M j mj
(i 1, 2,
其中 M j m1iaxn {xij}, m j m1iinn{xij}( j 1, 2,
m x 1 (M m) 2
1 (M m) x M
M m 2
其中 M 和m 分别为指标x 的可能取值的最大值和最小值，即
可将中间型指标x 极大化。
1. 评价指标类型的一致化
（3）区间型指标
对于某个区间型指标x ，则通过变换
x

11,
a
c
x
,
xa a xb
综合评价方法及其应用
基本内容：
1、综合评价方法的基本概念 2、评价指标的规范化处理 3、综合评价的数学模型构建 4、动态加权综合评价方法 5、长江水质的综合评价模型
一、综合评价方法的基本概念
综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、 公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是 有若干个同类的被评价对象(或系统)，每个被评价 对象往往都涉及到多个属性（或指标）。
近，则可以认为被评价对象 (xi1, xi2 ,, xim ) 就是最好的。
基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法
（The technique for order preference by similarity to
ideal solution，简称为 TOPSIS）。
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
选择合适的数学方法构造综合评价函数（即综合评价模型）
y f (w, x) ， 由此计算综合评价指标函数值 yi f (w, x(i))(i 1, 2, , n) ，并 按 yi (i 1, 2, , n) 取值的大小对n 个系统进行排序或分类。
问题:如何来构造合适的综合评价模型？
三、综合评价的数学模型
二、评价指标的规范化处理
1. 评价指标类型的一致化
一般说来，在评价指标x1, x2 , , xm (m 1) 中可能包
含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和 “区间型”指标。
极大型指标:总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要 太小为好，即取适当的中间值为最好; 区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确 定的区间内为最好。
譬如若取 c 60, d 40 ，则xij [60,100] 。
三、综合评价的数学模型
为了全面地综合分析评价n 个系统（被评价对象）的运行 （或发展）状况，如果已知n 个状态向量（即n 组观测值） x(i) (xi1, xi2, , xim)T (i 1, 2, , n) ，则根据m 个评价指标的 实际影响作用，确定相应的权重向量w (w1, w2, , wm)T ，且
评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、
可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有m 个评 价指标（或属性），分别记为 x1, x2, , xm (m 1) ，即评价指 标向量为 x (x1, x2, , xm )T 。
1 构成综合评价问题的五个要素
（3）权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某 种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的， 评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数
1 构成综合评价问题的五个要素
（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，
也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。
综合评价的一般步骤： 明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标 体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处 理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选 择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值, 并给出综合评价结果。
使用。
2. 非线性加权综合法
m
非线性加权综合法: 用非线性函数 y
xwj j
作为
j 1
综合评价模型，对n 个系统进行综合评价。其中 w j 为权系
数，且要求 x j 1 。
非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。
非线性加权综合法的特点：
（1）该方法突出了各备选方案指标值的一致性，即可以平 衡评价指标值较小的指标影响的作用； （2）在综合评价指标中权重系数大小的影响作用不是特别 明显，而对指标值的大小差异相对较敏感； （3）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于1； （4）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。
在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可 公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标 建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。
如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评 价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最 后得到错误的评价结论。
无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。 常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。
综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些 系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按 优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称 为多属性（或多指标）的综合评价问题。
综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提， 因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特 别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及 科学决策等领域都有重要的应用价值。
三、综合评价的数学模型
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
实际中，经常会遇到这样的一类综合评价问题，即首先设
定系统的一个理想（样本）点(x1* ,
x
* 2
,,
x
* m
)
，然后对于每一
个被评价对象与理想点进行比较。如果某一个被评价对象
(xi1, xi2 ,, xim ) 在某种意义下与理想点 (x1* , x2* ,, xm* ) 最接
一、综合评价方法的基本概念
1 构成综合评价问题的五个要素
构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对 象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。
（1）被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为 系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类
的，且个数要大于 1，不妨假设一个综合评价问题中有n 个 被评价对象（或系统），分别记为 S1, S2, , Sn (n 1) 。
来刻画。如果用wj 来表示评价指标x j ( j 1, 2, , m) 的
m
权重系数，则应有 wj 0( j 1, 2, , m) ，且 wj 1 。 j 1
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后， 问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了， 即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果 的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。
1 构成综合评价问题的五个要素
（2）评价指标
评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况 的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都 是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。
一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示， 其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合 评价的指标体系。
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
, m) ，
其中 xj

1 n
n i 1
xij , s j
[1 n
n i 1
( xij

x
j
)
2
]
1 2
(
j
1, 2,
, m) 。
显然指标 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 的均值和均方差分别为 0
如 果 已 知 各 评 价 指 标 的 n 个 观 测 值 为 {xij}(i 1,2, ,n; j 1, 2, , m) ，则可以计算出各系统的综合评价值 yi f (w, x(i) ) ， x(i) (xi1, xi2, , xim)T (i 1, 2, , n) 。根据 yi (i 1, 2, , n) 值的大小 将这n 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。
2. 评价指标的无量纲化
假设m 个评价指标x1, x2, , xm ，在此不妨假设已进行了 类 型 的 一 致 化 处 理 ， 并 都 有n 组 样 本 观 测 值 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) ，则将其作无量纲化处理。
（1）标准差方法:
令xij

xij x j sj
是无量纲的指标观测值。
, n; j 1, 2, , m) ， , m) 。则 xij [0,1]
（3）功效系数法:
令 xij
c xij mj M j mj
d
(i 1,2,
,n; j 1,2,
,m) ，
其中c, d 均为确定的常数。c 表示“平移量”d， 表示“旋转量”，即
表示“放大”或“缩小”倍数，则xij [c, c d ] 。
（4）综合评价模型
对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合 成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据， 从而得到相应的评价结果。
不 妨 假 设 n 个 被 评 价 对 象 的m 个 评 价 指 标 向 量 为 x (x1, x2, , xm )T ，指标权重向量为w (w1, w2, , wm )T ， 由此构造综合评价函数为 y f (w, x) 。