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※先对函数概念做扩展！ B F (A)
A是自变量，可以是标量，矢量，张量。
B是函数，也可以是标量，矢量，张量。
➢ 典型例子：
:
w 1 : 1 : :
2
2
➢ 非线性弹性材料： w w
dw d
d d
ij
w
ij
Eijkl
2w
ij kl
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
1、各向同性材料
σ k0G k1ε k2ε2 ,
ki
ki (J1
,
J
2
,
J
3
)
2、线性各向同性材料
k2 0 k1 2 k0 J1
未加载时，有 ε 0, σ 0, 则 J1 0 0
n1 n!
如何确定ai ？
二阶张量的二阶张量函数 推广：
n
H f (T )
ai
(
J1T
,
J
T 2
,
J 3T
)T
i
i0
• Hamilton-Cayley等式
n
H f (N )
ai
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
N
i
i0
T的特征多项式： () 3 J1 2 J2 J3 0
H-C等式：
w 1 : 1 : :
2
2
➢ 例如，张量的张量函数： :
T1,T2,,Tn
c1T1 c2T 2 cnT n
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
➢ 各向同性张量函数（客观性背景）
➢ 可先看各向同性标量函数：在坐标系刚性旋转变 换下，其表现形式和数值均保持不变。
f u1' ,u2' ,u3' f u1,u2 ,u3
• 推论： 矢量 v 的标量函数 f (v) 为各向同性 f 可表示为 f ( v )
张量的标量函数
• 定理1：
若 f (T )为各向同性函数 f (T ij , gkl )
• 定理2：
若
f
(N )为各向同性函数
f
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：屈服函数 f (σ)
f (σ) Const 时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。
函数的表达。一种旋转运动，矢量不动，坐标系
顺时针旋转一个角度，函数不变：
xi xi'
ui ui'
f ui f ui'
另一种旋转运动，坐标系不动，矢量逆时针旋转同
一个角度，函数不变：
u% Q u
u%i ui'
f u%i f ui' f ui
进一步：
f u% f Qu f u
因此，f (σ)
f
(
J1
,
Fra Baidu bibliotek
J
2
,
J
3
)
Const
一次项 二次项 三次项
张量的标量函数 例：屈服函数 f (σ)
若材料不可压缩，J1 消失；
若只研究二次项，J
3
消失，因此有
f (σ)
f
(
J
2
)
Const
若材料可压缩，则与
J
1
,
J
2
有关，因此有
f
(σ
)
( J1
)2
(
J
2
)
Const
马氏体相变（金属材料）+ 塑性屈服
第3章 张量函数及其导数
2020年4月14日
主要内容
张量函数、各向同性张量函数的定义和例 矢量的标量函数 二阶张量的标量函数 二阶张量的二阶张量函数 张量函数导数的定义，链规则 矢量的函数之导数 二阶张量的函数之导数
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
➢ 要研究导数，必须引进函数。 ➢ 张量函数，有各种类型。 ➢ 例如，张量的标量函数：
(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
f ui' f ui
f T i' j' f T ij
➢ 例如：
f
v
1 2
mvi
vi
1 2
mvi'
vi'
1m 2
v
2
f
T
T T T T i j j i
i' j' j' i'
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
➢ 等价表示或等价描述：上述各向同性函数的描述， 虽然清晰，但很不方便，因为坐标系要旋转。问 题：能否找到一种等价描述，在该描述下，坐标 系保持不动？
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X%i
从而使 % % f ( X%i ), (i 1, 2,L , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2,L , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2,L , m) 的函数。
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
矢量 u 的旋转量： u% Q u 二阶张量 T 的旋转量 ：T% Q T QT 进一步看：
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
➢ 把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函数
函数 f ( X1,L , X n ) 满足当自变量 X1,L , X n
改为其旋转量 X%1,L , X%n 时，函数值 必相应地 变为其旋转量 %，即：
考虑
J
1
,
J
2
,
J
3
,
因此有
f
(σ)
(J1
)2
(
J
2
)
(
J
3
/
J1
)
Const
二阶张量的二阶张量函数
• 二阶张量的解析函数
仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：
幂级数：
n
(z) ai zi i0
ez zn
n0 n!
n
H f (T ) aiT i i0
eT G n T n
因此，有 ij kkij 2ij
张量函数导数的定义，链规则
➢ 有限微分、导数与微分
有限微分是张量函数导数的核心！
函数的导数、微分： f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
f (x x) f (x) f (x)x O(x)2
df f (x)dx f (x) df dx