物理：波耳的氢原子模型

eV
Z
2。
求一鋰離子 Li2＋的電子自 n＝3 定態，
躍遷至 n＝2 的定態時，所釋放出光子的能量。
范例 11-5
概念 策略
似氫原子的能階，原子內電子的躍遷與輻射。
1.鋰離子 Li2＋之原子序 Z＝3。
2.Li2＋在 n＝3 與 n＝2 之能量分別為
13.6
E3＝－ 32
×32，E2＝－132.2 6
再利用角動量量子化式 L＝n
mk2e4 En＝－ 22
1
×n2
＝－En02
13.6
＝－ n2
（eV）
mk2e4 此處 E0＝ 22 ＝
（9.10×10－31 kg）（9.00×109 N‧m2／C2）2（1.60×10－19 C）4
2×（6.63×10－34 J‧s／2π）2
＝2.17×10－18J＝13.6eV
范例 11-4
2
在波耳理論中，軌道半徑為 r＝（mke2
）n2，求：
(1)電子在基態 n＝1 時，繞核之軌道半徑（或波耳半徑）為
多少？
(2)若一電子的軌道半徑為 4.77 Å，此電子的能量為多大？
范例 11-4
概念 策略
氫原子軌道半徑與量子數關係，能量與量子數關係。
1.基態 n＝1 之軌道半徑 a0＝r1＝mk2e2 ，
范例 11-3 解
－13.6
解 (1)電子在最初狀態 n＝3 之能量 E3＝ 32 ＝－1.51（eV）
－13.6
電子在最後狀態 n＝2 之能量 E2＝ 22 ＝－3.40（eV）
(2)所輻射出光子的能量
E＝Ei－Ef＝E3－E2＝（－1.51）－（－3.40）
＝1.89（eV）
(3)所輻射出光線波長
波耳的氢原子模型（3/8）
波耳大膽地假設： 1.核外的電子僅能存在於一些特定軌道，稱之為定態軌道或定態。平常
電子在此定態軌道上，既不輻射也不吸收能量。
2.每個在定態上的電子繞著軌道中心運動的角動量 L，必須是普朗克常 數 h 除上 2π（常以代表）的整數倍（稱作角動量量子化），即 L＝n2hπ ＝n，n＝1、2、3、……
3.當原子自一定態 i 躍遷至另一定態 f，將會發射（或吸收）電磁波， 且電磁波頻率 ν 由 Ei－Ef＝hν（或 Ef－Ei＝hν）決定，其中 Ei 與 Ef 分別為原子定態 i 與 f 之能量。
波耳的氢原子模型（4/8）
氫原子的電子在繞核作半徑為 r 的圓周運動時，
其向心力由庫侖力提供。若電子之電荷為－e，氫原
成了一條特殊的譜線。
可知光譜線系之波長倒數
1
λ
ν
＝c
1
＝hc
（Ei－Ef）＝hEc0
1
（nf 2
1
－ni2
）
其中
E0 hc
13.60 eV ＝12400 eV‧Å
＝1.097×107m－1
即為芮得柏常數。若末態 nf＝2，則可以圓滿地詮釋氫原子光譜。
氢原子光谱线（2/2）
•图(A)与(B)：当电子自高能阶（半径较大）状态 ，跃迁至低能阶（半径较小）的状态时所损失能 量会以辐射形式释放出来，而呈现特定波长的清 晰谱线。
電子質量
m＝9.1×10－31
kg，e＝1.6×10－19
h C，＝2π
＝1.05×10－34 J‧s
2
2.定態量子數為 n 時，電子之軌道半徑 rn＝（mke2
）n2
＝a0n2
13.6
3. 定態量子數為 n 時之能量 En＝－ n2 eV
范例 11-4 解
解
(1)a0＝mk2e2
（1.05×10－34）2 ＝（9.1×10－31）（9.0×109）（1.6×10－19）2
λ＝1214.0809
eV‧Å eV
＝6560
Å
范例 11-3 应用
應用
電子自 n＝3 狀態可輻射出光譜線的最短波長為多少？
〔電子自 n＝3 到 n＝1 能量變化最大，可釋放出最大的光
子能量，對應之輻射頻率也最高，輻射波長最短。
12400
12400
λ＝E3－E1 ＝（－1.51）－（－13.6） ＝1030（Å）
地表示為 rn＝n2a0
电子角动量的 量子化使得绕 核作圆周运动 的电子之轨道 半径为最小半 径的整数平方 （n2）倍。
波耳的氢原子模型（7/8）
若定無限遠處之電位能為零，則可表示出氫原子系統內之總能
量─動能與電位能之和為
E＝12
mv2＋（－kre2
1 ）＝－2
mv2＝－2Lmr2 2
mk2e4 ＝－ 2L2
•依此类推，n→∞，电子的总能量E→0，当 E≧0时，电子不再受原子核束缚，形成自
由电子，称为处于游离态。
氢原子光谱线（1/2）
不同的量子數 n，對應於不同的定態，與不同的總能量或能階
（energy level）。當電子自高能階 Ei 躍遷至低能階 Ef 時，所損 失能量 Ei－Ef 以輻射形式 hν 釋放出來，此特殊波長的輻射就形
范例 11-3
氢原子中的电子自 n＝3 的定态跃迁至 n＝2 的定态，求： (1)最初与最后状态的能量。 (2)所辐射出光子的能量。 (3)所辐射出光的波长。
范例 11-3
概念 氫原子定態的能量，躍遷時能量變化與輻射頻 率。 －13.6
策略 1.氫原子定態的能量 En＝ n2 eV。 2.所輻射出光子的能量 E＝Ei－Ef。 Ei－Ef 3.所輻射出光線頻率 ν＝ h ， c hc 12400 eV‧Å λ＝ν ＝Ei－Ef ＝ Ei－Ef
子核之電荷為＋e，庫侖常數為 k，則
m
v2 r
ke2 ＝ r2
或 mv2＝kre2
此處 m 與 v 為電子
之質量與速率。
波耳的氢原子模型（5/8）
另一方面由角動量 L 與線動量 mv 關係 L＝rmv，知
ke2 r
＝mv2＝（rmmrv2）2
L2 ＝mr2
利用角動量量子化假說的關係式 L＝n2hπ ＝n，n＝1、2、3、……，
拉瑟福德原子模型的瑕疵
拉瑟福德的原子行星模型，除了无法诠 释氢原子光谱并非连续光谱外，又由于电 子辐射出能量后，能量的损失造成绕核运 动的圆半径逐渐变小，最终会落到原子核 上，故也无法解释原子稳定存在的原因。
波耳的氢原子模型（1/8）
•1912年在拉瑟福德实验 室里工作的年轻学者波 耳（丹麦人）坚信拉塞 福的原子核概念是符合 实验事实的，但他也很 了解行星模型理论所面 临的困难。
波耳的氢原子模型（8/8）
在不同半徑作圓周 運動的電子，其力
學能 En 為量子化
13.6
值，且 En＝－ n2
eV，不同的量子數
n，對應於不同定態
的總能（能階）。
量子数
定態的存在與能量量子化，及軌道半徑的量子化，
均是來自於角動量量子化 L＝n的假設。n 這個重要的
整數，也稱為量子數（quantum number）。
若量子數 n＝1，此時電子的能量最低，為 E1＝－13.6 eV，半徑最小為 r1＝a0，此定態也稱為基態（ground
13.6
state）。若量子數 n＝2，此時電子的能量 E1＝－ 22 ＝－3.4（eV），半徑為 r1＝4a0，此定態稱為第一激發
態（first excited state）。
游离态
而可得到底下半徑 r 與角動量 L 之關係
L2 r＝mke2
2
＝（mke2
）n2
此式代表定態只能存在於特定的圓半徑上，非任意的連續值，且
半徑與 n2 成正比。
波耳Biblioteka Baidu氢原子模型（6/8）
2
比例常數mke2
＝a0＝0.53Å，為 n＝1 時的半
徑，也是氫原子的最小半徑，又稱為波耳半徑
（Bohr radius）。任意定態軌道半徑則可簡單
波耳的氢原子模型（2/8）
•“……当我一看到巴耳末公式，我对整个 事情就豁然开朗了。……看来有必要引进 一个大异于古典电磁概念的量，到这些定 律中来，这个量就叫作普朗克常数，引进 这个量后，原子中电子的稳定状态，这个 问题就发生了根本的变化。”
•波耳于1913年提出了三个革命性的观念： 定态（stationary state）、量子化（ quantization）及跃迁（transition）。
＝0.53×10－10（m）＝0.53（Å）
(2)rn＝a0n2＝0.53n2＝4.77
n2＝40..7573 ＝9n＝3
軌道半徑為 4.77 Å 的電子為第 2 激發態
（或 n＝3 的定態），其能量
13.6 13.6
E3＝－ n2 ＝－ 9 ＝－1.51（eV）
范例 11-4 应用
應用
奈米科技中所言之奈米與最小原子尺度比較，大小 如何？
〔若以氫原子基態電子的軌道直徑 2a0＝1.06 Å 為
最小原子尺度的參考，則 1 奈米＝1 nm＝10 Å 約為 10 個氫原子尺度的大小〕
范例 11-5
如右圖，氫原子之波耳模型也適用於
原子核電量非單位電荷 e 而為 Ze（Z
為原子序），且核外僅有一電子的原
13.6
子，其定態能量 En＝－ n2
×32
3.釋放出光子能量 E＝Ei－Ef＝E3－E2
范例 11-5 解
解
1
釋放出光子能量 E＝E3－E2＝－13.6（9
1 －4
）×32
5 ＝13.6×4 ＝17.0（eV）
范例 11-5 应用
應用
求鋰離子與氫原子自 n＝3 到 n＝2 所釋放的能量
比值。 〔9：1，即為原子序之平方比，實際能量值為 17.0：1.89〕