有理数简便运算技巧(十五法)
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有理数简便运算技巧（十五法）
有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：
。
解：原式
。
二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2 计算：
。
解：原式
。
三、对消
将相加得零的数结合计算。
例3
计算：
。
原式
。
四、组合
将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式
。
五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：
。
原式
六、转化
将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例6：计算：例8 计算：
解：原式
。
七、变序
运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：
解：原式
。
。
八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
解：原式
。
九、逆用
正难则反，逆用运算律改变次序。
例11 计算：
。
解：原式
。
十、观察
根据0、1、
在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或
的部分优先计算。
例12 计算：
。
解：
，
。
原式
。
十一、变量替换
通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．
例6 计算
×(0.125＋
)．
解：设a =
，b = 0.125，c =
，则
×(0.125＋
)
=
×(b＋
)
=
×
= 1．
评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：
，0.125，
，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．
十二、倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
例8 计算
＋(
＋
)＋(
＋
＋
)＋(
＋
＋
＋
)＋…＋(
＋
＋…＋
＋
)．①
解：把①式括号内倒序后，得：
＋(
＋
)＋(
＋
＋
)＋(
＋
＋
＋
)＋…＋(
＋
＋…＋
＋
)，②
①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，
∴
＋(
＋
)＋(
＋
＋
)＋(
＋
＋
＋
)＋…＋(
＋
＋…＋
＋
) =
(1770) = 885．
评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．
十三、添数配对
例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．
解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．
= 20＋200＋2×10
＋2×10
＋…＋2×10
－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)
= 2222222220－45
= 2222222175．
评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．
十四、整体换元
对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．
例10 计算1－
＋
－
＋
－
＋
－
＋
．
解；设1－
＋
－
＋
－
＋
－
＋
= x，①
则①×(－
)，得－
＋
－
＋
－
＋
－
＋
－
=－
x，②
1 －②，得1＋
=
x，解得x =
，故
1－
＋
－
＋
－
＋
－
＋
=
．
十五、分组搭配
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．
例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．
解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69
= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)
= 0＋0＋0＋…＋0
= 0．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．