电磁场第四章习题解答

第四章习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位满足的边界条件为

① ② ③

根据条件①和②，电位的通解应取为

由条件③，有

两边同乘以，并从0到对积分，得到

故得到槽内的电位分布

4.2 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到

。上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。

解 应用叠

加原理，设板间的电位为

0U (,)x y ϕ(0,)(,)0y a y ϕϕ==(,0)0x ϕ=0(,)x b U ϕ=(,)x y ϕ1

(,)sinh(

)sin()n n n y n x

x y A a a

ππϕ∞

==∑01

sinh(

)sin()n n n b n x U A a a

ππ∞

==∑sin(

)n x

a

πa x 002sin()d sinh()a

n U n x

A x a n b a a

ππ==⎰0

2(1cos )sinh()

U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧

=⎪⎨⎪=⎩

，0

1,3,5,

41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x

x y n n b a a a

ππϕπ

π==

∑

b d y =b y =)(∞<<-∞x 0U 0=y d y =0(0,)y U y d ϕ=(,)x y ϕ=

12(,)(,)x y x y ϕϕ+

题4.1图

y

bo

其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

① ②

③

根据条件①和②，可设的通解为 由条件③有

两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到

4.3 求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡

献。并按定出边缘电容。

解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度

则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷

1(,)x y ϕ0U 10(,)x y U y b ϕ=2(,)x y ϕ22(,0)(,)0x x b ϕϕ==2(,)0()x y x ϕ=→∞002100(0)

(0,)(0,)(0,)()

U U y y d b

y y y U U y y d y b d

b ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨

⎪-≤≤⎪⎩2(,)x y ϕ21

(,)sin()e n x b

n

n n y x y A b π

πϕ∞

-==∑00100(0)

sin()()

n n U U y y d n y b

A U U b y y

d y b d

b π∞

=⎧

-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑sin(

)n y

b

πb y 0002211(1)sin()d ()sin()d d

b

n d U U y n y n y

A y y y b b b b d b b ππ=-+-=

⎰⎰022sin()()U b n d n d b ππ(,)x y ϕ=00

2

2

121sin()sin()e n x b

n U bU n d n y y b d n b b π

πππ∞

-=+∑0U y b 2

02U W C e

f =0=y 2(,)x y ϕ002

200

121sin()e n x b

y n U n d y

d n b

πεϕ

πσεπ∞-==∂=-=-∂∑z 2220

d 2d q x x σσ∞

∞

-∞===⎰⎰001022sin()e d n x b n U n d x n d b π

εππ∞∞

-=-=∑⎰0022

141sin()n U b n d

d n b εππ∞=-∑

相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求

槽内的电位的解。

解 根据题意，电位

满足的边界条件为

①

②

③

和②，电位的通解应取为

根据条件①

由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到

故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充

密度为

的电荷。求体积内的电位。

2002022

121

1sin()2e n bU n d

W q U d n

b εππ∞

===-

∑0222

10241sin()e f n W b n d

C U d n b

εππ∞===∑0U (,)x y ϕ(0,)(,)0y a y ϕϕ==(,)0()x y y ϕ→→∞0(,0)x U ϕ=(,)x y ϕ1

(,)sin(

)n n n y a n x

x y A e a

ππϕ∞

-==∑01

sin(

)n n n x

U A a

π∞

==∑sin(

)n x

a

πa x 002sin()d a

n U n x A x a a π==⎰02(1cos )U n n ππ-=04,1,3,5,02,4,6,

U n n n π

⎧=⎪

⎨⎪=⎩，

1,3,5,

41(,)sin()n y a n U n x

x y e n a

ππϕπ

-==

∑

a b c ()sin(

)sin(

)x

z

y y b a

c

ππρ=-ϕ题4.4图