电力网络数学模型

E
Байду номын сангаас
1
20
E
2
图4-1（b） 电气信息工程系
4

将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的 电流源和导纳的并联组合，便得到图4-1(c)的等值网络。
y
y
10
1
y
24
12
2
y
y
23
y
34
4
y
40
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3
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y
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I
y
1
10
y
24
12
2 y
y
20
23
y
34
4
y
40
3
I
2
图4-1(c) 电气信息工程系
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电气信息工程系
讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元素的计算。

设节点p、q间接有变压支路，如图4-3所示。根据Π型等值电路， 可以写出节点p、q的自导纳和节点间的互导纳分别为：
1 k 1 1 YPP kz kz z 1 1 k 1 Yqq 2 2 kz k z k z 1 Ypq Yqp kz
y 230 y320
y 240 y 420 z 24
4
z 45
5
z 23 z34
y340
y 430
3
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Y44 y430 y420
1 1 1 2 z34 z24 k45 z45 1 1 1 0.018 j 0.05 0.03 j 0.08 0.962 j 0.184
Yik yik
(3)不难理解Yki=Yik 。若节点i和k没有支路直接相联时，便有Yki=Yik=0
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电气信息工程系
节点导纳矩阵的主要特点是：
①
② ③
导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数 直观地求得; nn阶对称复数方阵; 导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零， 但在非对角线元素中则存在不少零元素。如果在程 序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大 大地节省贮存单元和提高计算速度。
第3章 电力系统的数学模型
3.1 节点导纳矩阵 3.2 网络方程的解法 3.3 节点阻抗矩阵
2013/10/20
1
内容提要



掌握根据网络的结构和参数，求出节 点导纳矩阵。 应用高斯消去法简化网络，求解网络 方程。 应用支路追加法计算阻抗矩阵各元素
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电气信息工程系
3.1 节点导纳矩阵
电力系统的数学模型主要包括电力网络的模型、 发电机的模型以及负荷的模型。整个电力系统的稳 态可以用一组代数方程组来描述。电力网络的运行 状态一般用节点方程来描述。节点方程以母线电压 作为待求量，母线电压能唯一地确定网络的运行状 态。
j 0.02 j 0.013
10.4835 j 34.5283 1 1 Y45 Y54 j 5.6612 k45 z45 0.96 j 0.184 1 1 Y55 j 5.4348 z45 j 0.184
将以上计算结果排列成导纳矩阵为：
j 9.1085 j 9.5238 j 9.0703 9.1085 j 33.1002 4.9989 j13.5388 4.1096 j10.9589 Y 11.3728 j 31.2151 6.3739 j17.7053 6.3739 j 17.7053 10.4835 j 34.5283 j 5.6612 j 5.6612 j 5.4348 15
y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) 0 y40V4 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) I 4
Y11V1 Y12V2 I1
Y21V1 Y22V2 Y23V3 Y24V4 0
Y32V2 Y33V3 Y34V4 0 Y42V2 Y43V3 Y44V4 I 4 y
Y44
Ypq
1 1 1 1 j 0.2382 2 2 2 2 z45 k45 z45 0.98 j 0.184 0.96 j 0.184 k45 1 1 1 1 Yqp j 0.01155 k z 0.98 j 0.184 0.96 j 0.184 z45 k45 45 45
2
y 240 y 420 z 24
1
z12
4
z 45
5
y 230 y320
z 23 z34
y340
y 430
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电气信息工程系
解 ：根据上述变压器Π型等值电路的导纳矩阵元素的计算公式。所以，导纳矩 阵元素为：
1 1 j 9.5238 z12 j 0.105 1 1 1 Y22 y230 y240 2 z23 z24 k21z12 Y11 Y12 Y21 1 1 j 9.0703 k21z12 1.05 j 0.105
i yik k
图4-4（a）
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电气信息工程系
（2）在网络的原有节点i、j之间增加一条导纳为yij的支路见 图4-4(b)。由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶 次不变。因而只要对与节点i、j有关的元素分别增添以下 的修改增量即可，其余的元素都不必修改。即
i yik k i yij j
图4-4（a） 图4-4（b）
图4-4（a）
其他的网络变更情况，可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据 导纳矩阵元素的物理意义，导出相应的修改公式。
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电气信息工程系
例4-2 在例4-1的电力系统中，将接于节点4、5之间的变压器的变比 由k45 = 0.96，调整为k’45 =0.98，试修改节点导纳矩阵。 解：将节点p、q之间的变压器的变比由k调整为k’，相当于先切除变比 为k的变压器再接入变比为 k’的变压器，所以与节点 p、q有关的导 纳矩阵元素的修正增量为：
j
式中，yi0为节点i与零电位节点之间的支路导纳；yij为节点i与节点j 之间的支路导纳。
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电气信息工程系
Yik
Ii Vk
V j 0 , j k
(i 1,2,
, n)
(2)当k≠i时，网络中除节点k以外所有节点都接地，从节点i流入网络的电 流同施加于节点k的电压之比，即等于节点k、i之间的互导纳Yik。在这种 情况下，节点i的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以Yik应 等于节点k、i之间的支路导纳的负值，即
5
I 4 y40 E4 ，分别称为节点1和4 其中 I1 y10 E1 和 的注入电流源。 以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫 电流定律，写出4个独立节点的电流平衡方程如下：
y10V1 y12 (V1 V2 ) I1 整理可以写成 y20V2 y12 (V2 V1) y23(V2 V3) y24 (V2 V4 ) 0
Yii Y jj yij Yij Y ji yij
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电气信息工程系
（3）在网络的原有节点i、j之间切除一条导纳为yij的支路。这种情况 可以当作是在i、j节点间增加一条导纳为-yij的支路来处理，因此，导 纳矩阵中有关元素的修正增量为：
i
yik
k
Yii Y jj yij Yij Y ji yij
电气信息工程系
三、节点导纳矩阵的修改

网络接线改变时，节点导纳矩阵也要作相应的修改。假定在接线 (0) 改 变 前 导 纳 矩 阵 元 素Y 为 ，接线改变以后应修改 ij (0) 为 Yij Yij Yij 。现在就几种典型的接线变化，说明修改增量的 计算方法。 （1）从网络的原有节点i引出一条导纳为yij的支路，同时增加一 个节点k，见图4-4(a)。 由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一 列。新增的对角线元素Ykk = yik。新增的非对角线元素中，只有Yik = Yki =-yik，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只有节点i的自 导纳应增加△Yii=yik。
1
y
1
y
24
12
2 y
y
23
y
4
y
40
34
I
10
3
20
I
6
2
电气信息工程系
图4-1(c)
一般对于有n个独立节点的网络，可以列写n个独立节点方程 ★
Y11V1 Y12V2 Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2nVn I 2 Yn1V1 Yn2V2 YnnVn I n
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电气信息工程系
二、节点导纳矩阵元素的物理意义
如果令 Vk 0 和 V j 0 ( j 1,2, 代入（4-3）的各式，可得：
, n, j k )
Ii Yik Vk
说明：
V j 0 , j k
(i 1,2,
, n) （4-6）
⑴当k＝i时，网络中除节点i以外所有节点都接地，从节点i注入网络 的电流同施加于节点i的电压之比，即等于节点i的自导纳Yii。换句话 说，自导纳Yii是节点i以外的所有节点都接地时，节点i对地的总导纳。 显然，Yii应等于与节点i相接的各支路导纳之和，即： Yii yi 0 yij
p p
z
kz
1:k q q
kz k 1
k 2z 1 k
图4-3 变压器支路的等值电路
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电气信息工程系
例4-1 某电力系统的等值网络示于图4-2。已知各元件参 数的标幺值如下： z12=j0.105 ， k2l=1.05 ， z45=j0.184 ， k45=0.96 ， z24=0.03+j0.08 ， z23=0.024+j0.065 ， z34=0.018+j0.05 ， y240=y420=j0.02 ， y230=j0.016 ， y320=j0.016 ，y340=y430=j0.013。试求节点导纳矩阵。
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 YV =I Ynn Vn In
矩阵Y称为节点导纳矩阵。它的对角线元素Yii称为节点i的 自导纳，其值等于接于节点i的所有支路导纳之和。非对角线元 素Yij称为节点i、j间的互导纳，它等于直接联接于节点i、j间 的支路导纳的负值。 若节点i、j间不存在直接支路，则有Yij＝0。由此可知节点 导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。
j 0.016 j 0.02
1 1 1 0.024 j 0.065 0.03 j 0.08 1.052 j 0.105
9.1085 j 33.1002 1 1 Y23 Y32 4.9989 j13.5388 z23 0.024 j 0.065 z12 2 1 1 1 Y24 Y42 z24 0.03 j 0.08
4.1096 j10.9589 1 1 Y33 y320 y340 z23 z34
1 1 0.024 j 0.065 0.018 j 0.05 11.3728 j 31.2151 1 1 Y34 Y43 6.3739 j17.7053 0.018 j 0.05 电气信息工程系 z34 j 0.016 j 0.013
Ypp 0
Yqq 1 1 k 2 z k 2 z
y 240 y 420 z 24
Ypq Yqp
1 1 k z kz
1
z12
2
4
z 45
5
y 230 y320
z 23 z34
y 430 y340
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电气信息工程系
将上述关系式用于节点4和5，可得：
Y55 0
1 T
G1
2 3
4
G2
图4-1(a) 简单电力系统
3
电气信息工程系
一、节点方程

在图 4-1(a) 中，略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷 用阻抗表示，可得到一个有5个节点（包括零电位点）和7 条支路的等值网络，如图4-1(b)。
1
G1
T
2 3
4
G2
y
y
10
1
y
24
12
2
y y
23
y
3
4
y
40
34
（4-3）
或
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
记成
YV =I
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电气信息工程系