四川大学2009年数学分析考研真题与解答
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四川大学2009数学分析考研真题与解析
1·求下列极限。 （a ）∑=∞
→n
k k n
n C n
2
.ln 1lim
解： 原极限=()
2
2
11
111
2
1ln ln lim
ln 1lim
n
n C C C
n
n k n k k
n
k
n n k n
n
k n ++-
=∑
∑
∑+==+∞
→=∞
→
=∑=∞
→-++n
k n k n n n 1
1ln
1
21
lim
=∑
=∞
→∞
→--
⋅+n
k n n n
k n
n n 1
111
ln 1lim
1
2lim
=⎰
=
--1
2
1)1ln(2
1
dx x
(b)()
.sin lim 2
2n n n +∞
→π
解： 原极限=n
n n n n n n n n ++=-+∞
→∞
→2
2
sin
lim )sin(lim πππ
=12sin 111lim sin ==⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++∞→ππ
n n
（c ）().sin sin
lim
2
3
2
dt
t t t tdt
x x
x ⎰⎰
-→
解： 原极限=()
()
.1262lim
sin sin
2lim
53
3
2
2
3
=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+--=-⋅→→x x x x x
x x x x
x x x ο
（d ）x
x x
e x
x cos 11lim
----+
→
解： 原极限=()
()()
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++
→22
22
2
2
24218212
lim
x x x x x x x
x
x οοο
=.324
18121-=--
2·计算下列积分。 （a ）,2
2
2
dxdy y x y x D
⎰⎰--+其中(){}
.1;R
,2
22
≤+∈=
y
x y x D
解： 原积分=rdr
r r r d ⎰
⎰-+1
2
202
sin cos θ
θθ
π
=dr
r r d 2
20
1
4sin ⎰⎰
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+π
πθθ
=()
()
θ
θθπ
θ
θd dr r r
dr r r ⎰⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+
-20
1
sin 2
3
sin 0
32sin sin
=θθθπ
d ⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-204413sin 6sin
=
8
5π
(b) ⎰l yzds ,其中l 是球面⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>=++332
2
2
2a a z
y x 与平面1=++z y x 的交线.
解： 原积分=()ds z z ds zx yz l
l
⎰⎰-=+121
)(2
1
=()()ds
z y x
ds z y x l
l
⎰⎰++-
++
2
22
6
1
6
1
=⎰-l
ds a 612
=()
.3
13
13
126
12
2
2
2
-
-=
-
⋅-a a
a a ππ
（c ）设
()
x f 在()+∞∞-,内有连续导函数，求积分
()
()[]dy
xy f y
y
x dx y
xy f y L
112
2
2
-+
+⎰
，其中L 是从点⎪⎭
⎫
⎝
⎛32,3A 到()2,1B 的直线
段。