神奇的多边形内切圆与外接圆

神奇的多边形内切圆与外接圆

作者：王森淼 组长：王临沨

多边形与其外接圆、内切圆都有着神奇的关系。今天，我们就来深入研究一下。

内切圆：

在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与多边形内部的一个圆形相切，该圆就是多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。圆亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形的内心是三角形三条角

平分线的交点。（如右图） 其中，三角形一定有内切圆，正多边形有内接圆，

其他的图形不一定有内切圆。因为其他的图形内角角平分线不一定交于一点。且内切圆圆心定在多边形内部。

外接圆：

在数学中，一个二维平面上的多边形的外接圆是一个使

得该多边形的所有顶点都在其上的圆形，这时称这个多边形

为圆内接多边形，外接圆的圆心被称为该多边形的外心。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。（如右图）

一个多边形只有一个外接圆，也就是说对于一个多边形，它的外接圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有外接圆。三角形和正多边形一定有外接圆。

为了全面、深入、系统地研究内切圆、外接圆与多边形之间的关系。我们分为四个部分进行研究。

1、任意三角形内切圆、外接圆与三角形之间的关系

2、正n 边形内切圆、外接圆与正n 边形之间的关系

3、圆的外切正n 边形、内接正n 边形之间的关系

4、圆周率的推导

1、求任意三角形的内切圆半径r

C

∵a+b+c 一定

∴内切圆半径r 与 三角形面积S 成正比 ∵周长一定时，等边三角形面积S 最大 ∴r 最大

由此，我们可以得出：

周长一定时，等边三角形的内切圆面积最大。

2、求任意三角形的外接圆半径r

因为若要证明出外接圆半径公式，需要用到正弦公式

所以我们要先证明正弦定理（这只是一部分，在任意三角形外接圆半径计算公式中，还有后半部分）。

（1）、正弦公式证明

（2）、任意三角形外接圆半径计算公式

如图，延长BO 交外接圆于A ´,延长AO 交外接圆于P ,

我们同样可以通过同弧内圆周角相等，来证明∠A=∠A ’

A

B

二、正n 边形内切圆、外接圆与正n 边形之间的关系

三、圆的外切正n 边形、内接正n 边形之间的关系

如图，图中有一个圆和两个正n 边形，这个圆是大正n 边形的内切圆，是小正n 边形的外接圆。那么，这两个正n 边形的面积之比如何求出呢？我们须先找出正n 边形的面积公式。

E

2

2180222sin 180()cos()111801802sin cos 22180180sin cos 180180sin cos ABO n AF

AB AF r r

r n OF OF r r

r n

S AB OF r r n n r

n n S n r

n n ∆⎛⎫=⨯=⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭

=⨯=⨯⎡

⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

正边形

如图所示， ABCDE 为圆的外切正n 边形，FGHIJ 为圆的内接正n 边形 由前面可知：

2

1

2

2180180sin cos 180

180sin cos S n m n n S n m n

n

⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

外切正n 边形内接正n 边形

2

22

2

211

2

180180sin cos 180180sin cos 180180sin cos 180cos S n m n

n n m S n n S n m n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎝⎭⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

内接正n 边形

内接正n 边形外切正n 边形

四、圆周率的推导

前面已经证明：圆的内接正n 边形的边长

1802sin AB r n ⎛⎫=⨯⨯

⎪⎝⎭

所以：圆的内接正n 边形的周长

1802sin C n r n ⎛⎫

=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭

当圆的内接正n边形的边数越来越大，它的周长越接近圆周长。

圆周率

180

2sin

180

sin

2

n r

n

n

r n π

⎛⎫

⨯⨯⨯

⎪⎛⎫

⎝⎭

===⨯ ⎪

⨯⎝⎭

圆周长

直径

当n=6时，

6

180

6sin 3.0000

6

π

⎛⎫=⨯=

⎪

⎝⎭

当n=18时，

18

180

18sin 3.125667

18

π

⎛⎫=⨯=

⎪

⎝⎭

当n=180时，

180

180

180sin 3.141433

180

π

⎛⎫=⨯=

⎪

⎝⎭

当n=1800时，

1800

180

1800sin 3.141591

1800

π

⎛⎫=⨯=

⎪

⎝⎭

当n=1800时，

18000

180

18000sin 3.1415926

18000

π

⎛⎫=⨯=

⎪

⎝⎭

圆周率是个无限不循环小数，随着n值的逐渐增大，它的精确度也就越来越高。祖冲之在没有三角函数的时候就能把圆周率算到3.1415926至3.1415927之间，很了不起！

感谢：维基百科、百度百科