刘蒋巍：【新高考新教材】高一数学：《函数的概念与性质》章节复习课(参考答案)

【新高考新教材】高一数学：《函数的概念与性质》章节复习课
主讲人：刘蒋巍
一．知识回顾与热身训练
1.函数的概念
一般地，在一个变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们称y 是x 的函数（function ），x 是自变量。

函数的三要素有：自变量的范围（定义域），因变量的范围（值域），对应关系。

例如：函数y =的定义域为__
解析：⎩⎨⎧≥-≠+0
1,
01x x 解得：1≤x 且1-≠x ，故函数y =的定义域为
{}1 1|-≠≤x and x x
2.函数的三种表示方法
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系， 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系， 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

3.分段函数的定义：
在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

说明：
（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；
（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。

譬如：已知⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+=),0[,12)
0,(,32)(2x x x x x f ，求)0(f 、)]1([-f f 的值
解析：因为⎩
⎨⎧+∞∈+-∞∈+=),0[,12)
0,(,32)(2x x x x x f ，所以1)0(=f
1)1(=-f ；所以3)1()]1([==-f f f
解题思路总结：(...)))((f f f 类函数迭代问题，只需“由内到外”逐层计算即可。

例题中的)]1([-f f 还可记作：)1()2(-f
热身训练：
已知函数
2
1,1(),1112,1
x f x x x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩
，若21)(=x f ，则=x 解析：当11<≤-x 时，]1,0[2∈x ；当1≥x 时，121-≤-x ； 若21)(=
x f ，则2
1
2=x ，22±=x
4.常见的求函数解析式的方法：
待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

（待定系数法）已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。

解析：设n mx x f +=)(，其中0≠m 。

因为172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，
所以，172])1([2])1([3+=+--++x n x m n x m ；化简，得：1725+=++x n m mx
由多项式恒等，得⎩⎨⎧=+=175,2n m m ，解得：⎩
⎨⎧==7,
2n m
所以，函数)(x f 的解析式为：72)(+=x x f
（配凑法或换元法）已知23)12(-=+x x f ，求函数)(x f 的解析式。

解析：解法1（配凑法）：由23)12(-=+x x f 可得：2
7
)12(23)12(-+=+x x f
所以，函数)(x f 的解析式为：27
23)(-=x x f
解法2（换元法）：令12+=x u ，则21-=u x ；则27
232213)(-=--⋅=u u u f
所以，函数)(x f 的解析式为：2
7
23)(-=x x f
（消去法）已知函数)(x f 满足1
()2()f x f x x -=，求函数)(x f 的解析式。

解析：因为函数)(x f 满足1
()2()f x f x x
-=（*）
用x 1替换x 得：x
x f x f 1
)(2)1(=-（**） （*）式+（**）2⨯，消)1
(x
f 得：x x x x x f 32)2(31)(2+-=+-=
热身训练：
热身1：已知 2
2
11()11x x f x x --=++，求函数)(x f 的解析式。

解析：令x x x x x u ++
-=+++-=+-=
12
112)1(11（1-≠x ，1-≠u ）， 则=x u u +-11；则=)(u f 2
12u
u +（1-≠u ） 所以，=)(x f 2
12x x
+（1-≠x ）
热身2：已知2211
()f x x x x
+=+，求函数)(x f 的解析式。

解析：2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ，其中),2[]2,(1
+∞⋃--∞∈+x
x
所以，2)(2-=x x f ，（),2[]2,(+∞⋃--∞∈x ）
热身3：已知()2()1f x f x x +-=-，求函数)(x f 的解析式。

解析：()2()1f x f x x +-=-（*）
用x -去替代x ，得：1)(2)(--=+-x x f x f （**）
将（**）式2⨯减去（*）得：3
1
)(--=x x f
5.求值域的5种方法 ①配方法
如果所给出的函数是二次函数或者可化为二次函数的形式，一般可采用配方法进行求解。

在求解时要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。

例如：求函数x y =+12+x 的值域．
解析：由012≥+x ，得：21-≥x ，所以，定义域为),21
[+∞-
解法：12++=x x y 1212122221-++⋅
++=x x 1)2
221(2
-++=x 因为021≥+
x ，所以222221≥++x ，故2
1
1)2221(2-≥-++x 所以，函数x y =+12+x 的值域为),2
1
[+∞-.
②分离常数法
例如：求1
1
22+-=x x y 的值域。

解析：因为0112
>≥+x 恒成立，所以函数1
122+-=x x y 的定义域为R.
11211211122222<+-=+-+=+-=x x x x x y ；又因为112≥+x ，所以11
212
-≥+-=x y 故，函数1
1
22+-=x x y 的值域为)1,1[-
③换元法 换元法，又称变量替换法。

一个复杂的函数，如果将其中某个式子看成一个整体，通过变量替换，就可以化为我们熟知的表达式，这时要注意所代换的表达式的取值范围。

例如 求x x y 21-+=的值域
解析：由021≥-x ，得：21≤x ，即：函数x x y 21-+=的定义域为]2
1
,(-∞
令021≥-=x u ，则2
12
u x -=，
则21212122++-=+-=u u u u y 1)12(212++--=u u 1)1(2
1
2+--=u 1≤ 故，函数x x y 21-+=的值域为]1,(-∞ ④判别式法
例如 求函数y =4
34
322+++-x x x x 的值域．
解析：当1=y 时，434322+-=++x x x x ，解得：0=x
当1≠y 时，函数y =4
34
322+++-x x x x 可化为“044)33()1(2=-+++⋅-y x y x y ”；
则判别式)44)(1(4)33(2---+=∆y y y 22)44()33(--+=y y )7)(17(+--=y y 0≥
解得：77
1
≤≤y 且1≠y
综上，函数y =434322+++-x x x x 的值域为]7,7
1
[
⑤数形结合法
例如 求211++-++=x x x y 的值域.
解析：211++-++=x x x y 表示数轴上坐标为x 的点P 到点)1(-A ，)1(B ，)2(-C 的距离之和。

当点P 在点)1(-A 处时，211++-++=x x x y 取得最小值3，故值域为),3[+∞. 热身训练：
热身1：求函数1
22+--=x x x x y 的值域。

解析：对于二次三项式12+-x x ，其判别式034)1(2<-=--=∆，故0
12>+-x x 恒成立；所以，函数1
22+--=x x x
x y 的定义域为R.
解法1：因为122+--=x x x x y ，所以11122+--+-=x x x x y 1
1
12
+--=x x ； 又因为43)21(122+-=+-x x x 43≥，所以341102≤+-<x x ，因此，13
1
<≤-y
即：函数122+--=x x x x y 的值域为)1,3
1
[-
解法2：（判别式法）当1=y 时，122+-=-x x x x ，10=无解；
当1≠y 时，我们可以将“1
22+--=x x x
x y ”化为“0)1()1(2=+---y x y x y ，（1≠y ）”，
其判别式为y y y )1(4)1(2---=∆]4)1([)1(y y y ---=)13)(1(+--=y y 0≥
解得：131<≤-y ；故，函数122+--=x x x x y 的值域为)1,3
1
[-
解法3：在函数122+--=x x x x y 中，令x x u -=241)21(2--=x 4
1
-≥；
则函数)
1(0122---=+--=u u x x x x y ，可以看作点),(u u A 与点)0,1(-B ，两点连线的斜
率。

考虑临界点)41,41(--A 与点)0,1(-B 连线的斜率为31)41(1)
41(0-=-----；而当x
x u -=2趋于无穷大的时候，点A 与点)0,1(-B 连线的斜率仍然小于1。

故，函数
122+--=x x x x y 的值域为)1,3
1[-
热身2：求函数=y (x +1+x -1+2)(21x -+1)，]1,0[∈x 的值域．
解析：x x u -++=11，]1,0[∈x ；]1,0[12∈-x
412222
2
≤-+=≤x u ；所以，22≤≤u ，且2
2
122
-=-u x 则4222≤+≤+u ，422≤≤u ，所以16)2(4222≤⋅+≤+u u
22)2(2
1
)122)(2(u u u u y +=+-+=]8,22[+∈
故，函数=y (x +1+x -1+2)(21x -+1)，]1,0[∈x 的值域为]8,22[+
热身3：求222222+-+++=x x x x y 的值域.
解析：因为11)1(2222≥++=++x x x ，11)1(2222≥+-=+-x x x ，所以定义域为R.
222222+-+++=x x x x y 2222)10()1()10(])1([-+-+-+--=x x ，表示动点)0,(x P 到点A )1,1(-，B )1,1(的距离之和，作A 点关于x 轴的对称点)1,1(--'A ； 则最短路径长为22)11()11(22=--+--='B A ；故其值域为),22[+∞ 别解：
222222+-+++=x x x x y x x x x 222222-++++=422)22)(22(2x x x x -+++≥
=42224)2(2x x -+4442+=x 22424=≥，当且仅当0=x 时取等号； 故其值域为),22[+∞
6.函数的图像 如果实数a <b ，则数集{x |a <x <b, x ∈R}叫做开区间，记作（a ，b ），集合{x |a ≤x ≤b ，x ∈R}记作闭区间[a ，b ]，集合{x |a <x ≤b }记作半开半闭区间（a ，b ]，集合{x |a ≤x <b }记作半闭半开区间[a ，b )，集合{x |x >a }记作开区间（a ，+∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞，a ].
函数的图象，点集{(x ，y )|y =f (x )，x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域．通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ，b >0)；
（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象； （2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象； （3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象； （4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；
（5）与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称； （6）与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称．
例如：作出下列函数的图像。

（1）22-+=x x y （2）22
-+=x x y
解析：（1）先作出22-+=x x y 的图象，保持该图像x 轴上方部分不动，将该图像x 轴下方部分翻折到上方，就形成了22-+=x x y 的图象。

（2）先作出22-+=x x y 的图像，保持该图像y 轴右侧部分不动，将该图像y 轴
左侧部分擦去，并作该图像y轴右侧部分关于y轴的对称图形，就形成了2
2-
+
=x
x
y的图象。

绘图如下：
（1
）2
2-
+
=x
x
y的图象如下：（2）2
2-
+
=x
x
y的图像如下：
热身训练：
热身1：把函数y=
1
1
+
x
的图象沿x轴向右平移2个单位，再将所得图象关于y轴对称后所得图象的解析式为
1
1
+
-
=
x
y
热身2：k为什么实数时，方程k
x
x=
+
-3
2
2有四个互不相等的实数根。

解析：先画图函数3
2
2+
-
=x
x
y的图象。

作图流程：先画出函数3
2
2+
-
=x
x
y的图象，保持该图像y轴右侧部分不动，将该图像y轴左侧部分擦去，并作该图像y轴右侧部分关于y轴的对称图形，就形成了3
2
2+
-
=x
x
y的图象。

方程k x x =+-322有四个互不相等的实数根，即函数k y =图像与函数322+-=x x y 图像有四个交点。

由图像可知：32<<k 时，方程k x x =+-322有四个互不相等的实数根。

7.函数的单调性
单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1,x 2∈I 并且x 1< x 2，总有
f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间．
（1）所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间上是单调减的。

单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的。

若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间；反之，则为开区间。

（2）设)(x f 在区间1I 和2I 上都分别是单调递增（或递减），且≠⋂21I I Ø，则
)(x f 在21I I ⋃上也是单调递增（或递减）的。

若=⋂21I I Ø，则不一定成立。

如
函数x
y 1
=
在),0(+∞和)0,(-∞上均为单调递减的，但在),0()0,(+∞⋃-∞上不是单调递减的。

（3）设)(x f y =是在区间I 上的单调递增（或递减）函数，且)(x f 的值域为E ，则它在I 上必存在反函数，且反函数在E 上必是单调递增（或递减）函数。

特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的。

（4）关于复合函数))(( ))((x u x f y ϕϕ==
①若)(u f y =与)(x u ϕ=单调性相同，则))(()(x f x F ϕ=是增函数。

②若)(u f y =与)(x u ϕ=单调性相反，则))(()(x f x F ϕ=为减函数。

（5）设)()(x g x f 、是定义在同一区间上的两个函数。

①若)()(x g x f 、是增函数（或减函数），则)()(x g x f +也必为增函数（或减函数）
②若)()(x g x f 、恒大于0，且)()(x g x f 、都是单调增（或减）的，则)()(x g x f ⋅也是增函数（或减函数）。

例如：求函数)0(9
)(>+=x x
x x f 的单调区间。

解析：不妨设210x x <<，则021<-x x ，021>x x
所以，2121122121221121)
9)(()99()()9(9)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=+-+=-
因此，)()(21x f x f -的正负取决于219x x -的正负。

当3021≤<<x x 时，则921<x x ，故0921>-x x ，则
0)
9)((2
12112>--x x x x x x ，即：
0)()(21>-x f x f
即：)()(21x f x f >，故)(x f 单调递减。

当213x x <<时，则921>x x ，故0921<-x x ，则
0)
9)((2
12112<--x x x x x x ，即：
0)()(21<-x f x f
即：)()(21x f x f <，故)(x f 单调递增。

故，函数)0(9
)(>+=x x
x x f 的单调减区间为]3,0(，单调增区间为),[3+∞
一般化思考：（1）函数x
x x f 9
)(+=单调区间是什么？
（2）函数)0()(>+=b x b
x x f 单调区间是什么？
（3）函数)0,()(>+=b a x b
ax x f 单调区间是什么？
（4）函数)0,,()(>++=c b a c x b
ax x f 单调区间是什么？
（5）函数)0,,,()(>+++=m c b a c m
x b
ax x f 单调区间是什么？
抽象函数单调性：
例如：已知)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且1)2(),()()(=-=f y f x f y
x
f ，如
果x 满足2)31
()(≤--x f x f ，求x 的取值范围。

解析：因为)()()(y f x f y
x
f -=，
所以)4()2()2()4()2()24
()2()2(112f f f f f f f f =+-=+=+=+=
故，不等式“2)3
1
()(≤--x f x f ”可化为“)4()]3([f x x f ≤-⋅”
因为函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，所以4)3(≤-x x 即：0432≤--x x ，亦即：0)1)(4(≤+-x x ，解得：41≤≤-x 又因为)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，
所以，⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≠>->3
031,0x x x ，解得：3>x
综上，x 的取值范围为{}43|≤<x x
热身训练：
定义在(0,)+∞上的函数()f x ，对于任意的,(0,)m n ∈+∞，都有
()()()f m n f m f n ⋅=+成立，当1>x 时，0<)(x f .
（Ⅰ）计算(1)f ；
（Ⅱ）证明()f x 在(0,)+∞上是减函数；
（Ⅲ）当1
(2)2
f =-时，求满足2(3)1f x x ->-的变量x 的取值范围.
解析：（Ⅰ）令1==n m ，得：)1()1()1(f f f +=，解得0)1(=f （Ⅱ）不妨设210x x <<，则
11
2
>x x 则0)()()()()()(
)()(1
21112111212<=-+=-⋅=-x x
f x f x f x x f x f x x x f x f x f 故，0)()(12<-x f x f ，即：)()(12x f x f <， 故()f x 在(0,)+∞上是减函数。

（Ⅲ）因为1(2)2f =-，所以，)4()22()2()2()2
1
(211f f f f =⨯=+=-+-=-
不等式2(3)1f x x ->-可化为：)4()3(2f x x f >- 由（Ⅱ）得：()f x 在(0,)+∞上是减函数，
所以4302
<-<x x ，即：⎪⎩⎪⎨⎧<---<0
43,3022
x x x x ，亦即：⎩⎨⎧<+--<0)1)(4(),3(0x x x x ，
解得：01<<-x 或43<<x
故，满足2(3)1f x x ->-的变量x 的取值范围为)4,3()0,1(⋃-
8.函数的奇偶性
奇偶性：设函数)(x f y =的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数；若对任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
（1）奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。

（2）既为奇函数又为偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为0，定义域是关于原点对称的区域。

（3）在共同的定义域上，两个偶（奇）函数的和、差仍为偶（奇）函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，两个奇（偶）函数的积为偶函数。

（4）在共同的定义域上，)(x f 与
)
(1
x f 具有相同的奇偶性。

（5）定义域关于原点对称的任何一个函数，都可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和。

例如： 判断下列函数的奇偶性：
x x
x x f -+-=11)
1()()1( ⎩
⎨⎧<+-≥-=)0( )1()0( )1()( )2(x x x x x x x f 解析：
(1) 由
011≥-+x
x
，即：0)1)(1(≥-+x x 且1≠x ，可得：11<≤-x ，因此定义域{}11|<≤-x x 不关于原点对称。

故，)(x f 为非奇非偶函数。

(2) 函数⎩⎨⎧<+-≥-=)
0( )1()
0( )1()(x x x x x x x f 定义域关于原点对称，且0)0(=f ；
令0>x ，则0<-x ；)()1()](1)[()(x f x x x x x f =-⋅=-+--=-，故函数)(x f 为偶函数。

热身训练：
热身1：已知函数()y g x =， (1,1)x m m ∈-++为奇函数，则函数4()5f x x mx =++的奇偶性为 ．
解析：因为函数()y g x =， (1,1)x m m ∈-++为奇函数， 所以定义域关于原点对称。

即：011=+++-m m ，则有0=m 则5)(4+=x x f ；)(55)()(44x f x x x f =+=+-=- 所以，)(x f 是偶函数。

热身2：若函数()1
x a
f x bx +=-+为区间]1,1[-上的奇函数，则它在这一区间上的最大值是______
解析：因为函数()1
x a
f x bx +=-
+为区间]1,1[-上的奇函数， 所以，0)0(=-=a f ，所以0=a ，所以函数1
)(+-=bx x
x f 又因为)1()1(f f -=-，即：1
1
11+=
+---
b b ，解得：0=b 故，x x f -=)(；则它在这一区间上的最大值是1)1(=-f
抽象函数的奇偶性：
例如：设函数)0 )((≠∈=x R x x f y 且对任意非零实数21,x x 满足
)()()(2121x f x f x x f +=
（1）求证：0)1()1(=-=f f ； （2）求证：)(x f y =为偶函数.
解析：（1）令121==x x ，得：)1()1()1(f f f +=，解得：0)1(=f
再令121-==x x ，即：)1()1()1(-+-=f f f ，解得：0)1(=-f ；因此，
0)1()1(=-=f f
（2）令11-=x ，x x =2，则)()1()(x f f x f +-=-，即：)()(x f x f =-； 故，)(x f y =为偶函数. 热身训练：
热身1：设函数)(x f 定义在R 上，对任意R b a ∈,，有
)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++，且0)0(≠f ，求证：)(x f 是偶函数.
解析：令0==b a ，则)0(2)0()0(2f f f =+，即：0)0()0(2=-f f ，解得：
1 0)0(or f =，又因为0)0(≠f ，所以1)0(=f
令0=a ，则)()0(2)()(b f f b f b f ⋅=-+，将1)0(=f 代入化简得：)()(b f b f -=，又因为R b ∈，
由此可知：)()(x f x f -=，即：)(x f 是偶函数。

热身2：设函数)(x f （R x ∈）不恒大于0，且满足)()()(b f a f b a f +=+， 求证：)(x f 是奇函数.
解析：令0==b a 时，)0()0()0(f f f +=，解得0)0(=f ； 令b a -=，得)()()0(a f a f f -+=；即：)()(a f a f --= 由于函数)(x f （R x ∈）不恒大于0，所以)(x f 是奇函数。

9.图像的对称性
对于函数)(x f y =对定义域内一切x ，
（1）若)()(x f x f =-，则函数图像关于y 轴对称； （2）若)()(x f x f -=-，则函数图像关于原点对称；
（3）若)()(x a f a x f -=+或)2()(x a f x f -=（a 为常数），则函数图像关于a x =对称。

（4）)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称；)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称；
)(x f y =与)(x f y --=关于原点对称；)(x f y =与)(y f x =关于x y =对称。

例如：设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴，y 轴正方向分别平行移动s t ,长度单位后得到曲线1C （1）写出曲线1C 的方程；
（2）证明：曲线C 与1C 关于点)2
,2(s
t A 对称；
（3）如果曲线C 与1C 有且只有一个公共点，证明：t t s -=4
3
且0≠t
解析：（1）设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴正方向平行移动t 个长度单位后得到：)()(3t x t x y ---=，再沿y 轴正方向平行移动s 个长度单位后得到：
s t x t x y +---=)()(3
故，曲线1C 的方程为s t x t x y +---=)()(3.
（2）证明：在曲线C 上任取一点B ),(y x ，点B 关于点)2
,2(s
t A 的对称点，记为
),(111y x B ，
根据题意，得：
221t x x =+，2
21s
y y =+；故，1x t x -=，1y s y -=；将1x t x -=，1y s y -=代入曲线C 的方程，得：)()(1311x t x t y s ---=-；故，s t x t x y +---=)()(1311；
因此，),(111y x B 在曲线1C 上；反过来，曲线1C 上的点关于点A 的对称点也在曲线C 上。

因此，曲线C 与1C 关于点)2
,2(s
t A 对称。

（3）证明：由（2）得：曲线C 与1C 关于点)2
,2(s
t A 对称，又因为曲线C 与1C 有
且只有一个公共点；所以，这个唯一的公共点只能是对称点)2
,2(s
t A 。

所以，
)2
()2(23t
t s -=， 即：t t s -=4
3
，且0≠t （若0=t ，则0=s ，曲线1C 的方程为x x y -=3与曲线C 重
合。

）
热身训练：
热身1：函数(2)f x +是偶函数，则(1)2f x -+的对称轴为________ 解析：因为函数)2()(+=x f x g 为偶函数，所以)()(x g x g =-；即：
)2()2(+=+-x f x f ；
所以函数)(x f 图像关于直线2=x 对称。

而函数(1)2f x -+是将函数)(x f 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的。

（而上下平移不影响对称轴，仅左右平移影响对称轴。

）
所以，(1)2f x -+的对称轴为3=x
热身2：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，满足：（1）图象过原点； （2） )1()1(x f x f +=-； （3）2)()(x x f x g -=是奇函数 解析：（1）因为二次函数c bx ax x f ++=2)(图象过原点， 所以，0)0(=f ，即：0)0(==c f ，故0=c （2）因为0=c ，所以bx ax x f +=2)(，
又因为)1()1(x f x f +=-，所以)1()1(2x b x a -+-)1()1(2x b x a +++= 即：024=+bx ax ，即：a b 2-=
（3）由（1）、（2）得：ax ax x f 2)(2-=
所以，ax x a x ax ax x x f x g 2)1(2)()(2222--=--=-= 又因为2)()(x x f x g -=是奇函数，
所以，0)()(=+-x g x g ，即：02)1(2)()1(22=--++-⋅-ax x a ax x a 即：0)1(22=-x a 对任意R x ∈成立，故，01=-a ，则1=a 因此，x x x f 2)(2-=
二．典型例题
例题1（定义域与函数的定义）
（定义域）已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ，则函数y ＝f (x )的定义域为________，
函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________． 答案：]4,1[-
]
2
3,1[- （多选题）下列各组函数表示不同函数的是（
） A ．2()f x x =，2()()g x x = B ．()1f x =，0()g x x =
C ．2
()f x x =，()||g x x = D ．()1f x x =+，21
()1
x g x x -=-
答案：ABD
例题2（分段函数）
（1）已知函数⎩⎨⎧<≥+=0 10
, 1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范
围是____
解析：因为1)0(=f )(lim 0
x f x →=,所以)(x f 是连续函数。

且当0≥x 时，严格单调递
增。

故)2()1(2x f x f >-，能推出2120x x -<≤或⎩⎨⎧>-≤01,
022
x x ，解得：)12,1(--∈x
（2）对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．
答：⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≤+<<+≥+-=31,143231,2,32,42)(x x x x x x x f
f (x )的最大值为3
8
)32(=f
例题3（值域）
（1）函数x x x f 3245)(---=的值域是 .
（2）求函数6
3
422-+++=x x x x y 的值域
解析：由0)3)(2(62≠+-=-+x x x x ，得2≠x 且3
-≠x
解法1：（分离参数法）63422-+++=x x x x y )3)(2()3)(1(+-++=x x x x 21-+=x x 2
3
1-+
=x （3-≠x 且2≠x ），所以1≠y 且52≠
y ；即，值域为),1()1,5
2
()52,(+∞⋃⋃-∞ 解法2：（判别式法）当1=y 时，63422-+=++x x x x ，634-=+x x ，解得：
3-=x
而当3-=x 时，分母062=-+x x ，矛盾！
当1≠y 时，我们可以将“6
3
422-+++=x x x x y ”化为“036)4()1(2=---+-y x y x y ”，
其判别式为0)36)(1(4)4(2≥+-+-=∆y y y ，即0)25(2≥-y 当5
2
=
y 时，方程036)4()1(2=---+-y x y x y 可化为“0962=++x x ”，即0)3(2=+x ，3-=x ；而当3-=x 时，分母062=-+x x ，矛盾！
所以1≠y 且52≠y ；即，值域为),1()1,5
2
()52,(+∞⋃⋃-∞
（3）求函数)(x f =113632424+--+--x x x x x 的最大值.
解析：04
3
43)21(12224>≥+-=+-x x x ；
0)3()2()96()44(136322222424≥-+-=+-++-=+--x x x x x x x x x ， 故函数)(x f 定义域为R. 函数
)(x f =113632424+--+--x x x x x 222222)0()1()2()3(-+---+-=x x x x
在平面直角坐标系中，设点),(2x x P ，点)2,3(A ，点)1,0(B ； 则函数)(x f 的几何意义是：抛物线2x y =上的点),(2x x P 到点)2,3(A ，点)1,0(B 的距离之差。

即：10)12()03()(22=-+-=≤-=AB PB PA x f
故，函数)(x f =113632424+--+--x x x x x 的最大值为10
例题4（奇偶性、单调性）
已知函数f (x )的定义域是R ，对任意x 、y ∈R ，都有f (x +y )＝f (x )+f (y )，且x >0时，f (x )<0,f (1)=2-,则f (x )在[3-,3]上的最大值为 ，最小值为 ． 解析：令0==y x ，则)0()0()0(f f f +=，解得：0)0(=f ；
令x y -=，则有)()()0(x f x f f -+=，即：)()(x f x f -=-；故)(x f 为R 上的奇函数。

任取21x x <，则012>-x x ，又因为x >0时，f (x )<0，
所以，0)()()()()(121212<-=-+=-x f x f x f x f x x f ，即：)()(21x f x f > 所以，)(x f 为R 上的减函数。

所以，f (x )在[3-,3]上的最大值为)3(-f ，最小值为)3(f . 而6)1()1()1()2()1()21()3(=-+-+-=-+-=--=-f f f f f f f
0)3()3()33()0(=+-=+-=f f f f ，所以6)3()3(-=--=f f ；
故，f (x )在[3-,3]上的最大值为6，最小值为6-
例题5（函数图像）
（1）设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ． 答案：2.
解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =
（2）已知函数2011...212011...21)(-++-+-+++++++=x x x x x x x f （R x ∈），且)1()23(2-=+-a f a a f ，则满足条件所有整数a 的值和是______ 解析：从函数解析式的结构不难发现函数)(x f 具有与函数11)(-++=x x x g 相似的性质。

因为⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤--<-=-++=1,211,21,211)(x x x x x x x x g ，且)()(x g x g =-，即)(x g 为偶函数。

进行一般化思考，若0>m ，在⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤--<-=-++=m x x m x m
m
m x x m x m x x h ,2,2,2)(中，
)()(x h x h =-，
故m x m x x h -++=)(为偶函数。

同理，)(x f 也为偶函数。

所以，函数)(x f 为偶函数，且在]1,(--∞上单调递减，在]1,1[-上为常函数，在),1[+∞上单调递增； 根据此性质，由)1()23(2-=+-a f a a f 得：1232-=+-a a a 或
⎩
⎨
⎧≤-≤-≤+-≤-111,
12312a a a 即：0342=+-a a 或0122=+-a a 或
22
5
3≤<-a ；又因为a 为整数，所以11=a ，32=a ，23=a .故，满足条件所有整数a 的值和是6.
例题6（抽象函数）
设)(x f 为定义在区间),0(+∞上的增函数，且对于任意的0>x ，
1))(1
()(=+x f x
f x f ，则=)1(f _________
三．链接新高考
单选题
1.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－1，2] C.[－1，2]
D.[2，5]
答案：C
2.若函数f (x )＝x －1
x 2 在x ∈[1，4]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )
A. 3116
B. 2
C. 94
D. 114 答案：A
多选题
1.已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )
A. 对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )
B. 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)
C. 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0
D. 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0
答案：CD 2.已知函数()3
2
bx f x ax +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32
b >
B ．01a <≤，2b =
C ．1a =-，2b =
D ．1
2
a =
，1b = 答案：ABD
填空题
1. 已知函数4
2)(2
++=
x x x x f ，则)(x f 的值域为________
2. 函数f (x )定义域为R ，x 、y ∈R 时恒有f (xy )=f (x )+f (y )，若
2)27()27(=-++f f ，则f (1261()1261-++f )= ．
解析：因为x 、y ∈R 时恒有f (xy )=f (x )+f (y )，所以)1()1()1(f f f +=，解得0)1(=f 又因为2)27()27(=-++f f ，
所以2)5()]27()27[()27()27(==-⋅+=-++f f f f
0)51(2)51()5()1(=+=+=f f f f ，所以2)5
1(-=f 因为x 、y ∈R 时恒有f (xy )=f (x )+f (y )，
所以)251()12611261()1261()1261(
f f f f =-⋅+=-++ 而4)5
1()51()5151()251(-=+=⋅=f f f f 故，4)1261()1261(
-=-++f f 3.已知定义在R 上的函数y =f (x )满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有f (x +4)=f (x )；②对于任意的0≤1x <2x ≤2时，)()(21x f x f <；③y =f (x +2)的图象关于y 轴对称，则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是 .
)5.6()7()5.4(f f f <<
4.若函数f (x )＝ 3x 2＋7 (x ∈R )，g (x )＝x 2＋16x 2＋1
－1 (x ∈R )，则函数g (f (x )) 的最小值是
5. 设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成
立，则实数a的取值范围是
．
6.设x，y∈R，且满足
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
-
-
=
-
+
-
1
)1
(
2017
)1
(
1
)1
(7
201
)1
(
3
3
y
y
x
x
，则x+y=___________.
解析：根据原方程组
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
-
-
=
-
+
-
1
)1
(
2017
)1
(
1
)1
(7
201
)1
(
3
3
y
y
x
x
的结构，可以构造辅助函数
t
t
t
f2017
)(3+
=；
不妨设
2
1
0t
t<
<，则0
2
1
<
-t
t，0
2
1
>
t t；
则
2
1
3
2
3
1
2
1
2017
2017
)
(
)
(t
t
t
t
t
f
t
f-
+
-
=
-)
(
2017
)
)(
(
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t t
t
t
t-
+
+
+
-
=
)
2017
)(
(2
2
2
1
2
1
2
1
+
+
+
-
=t
t t
t
t
t0
<；故t
t
t
f2017
)(3+
=在)
,0[+∞上单调递增。

又因为)
(
)
2017
(
2017
)
(
)
(3
3t
f
t
t
t
t
t
f-
=
+
-
=
-
-
=
-，所以t
t
t
f2017
)(3+
=为奇函数。

故函数t
t
t
f2017
)
(3+
=在R上单调递增。

即：该函数既是增函数，又是奇函数。

原方程组可化为：
⎩
⎨
⎧
=
-
-
=
-
1
)1
(
1
)1
(
y
f
x
f
，可得：)
1(
)1
(
)1
(y
f
y
f
x
f-
=
-
-
=
-；
所以，y
x-
=
-1
1，2
=
+y
x
注：立方和公式：)
)(
(2
2
3
3b
ab
a
b
a
b
a+
-
+
=
+
立方差公式：)
)(
(2
2
3
3b
ab
a
b
a
b
a+
+
-
=
-
解答题
1.已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min＝0，∴
4（2a＋6）－（4a）2
4＝0，∴a＝－1或
3
2.
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，∴－1≤a≤
3
2，
∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a≤1时，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g(a)∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤74，4； 当1<a≤32时，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－(a －12)2＋94，∴ g(a)∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫54，2. ∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，4.
2.已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).
(1) 求f (1)的值；
(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；
(3) 如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
答：（1）0)1(=f
（2）)(x f 为偶函数，证明略
（3）x 的取值范围为：}5333
13137|{≤<<<--<≤-x x x x 或或
3.已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，且a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b
>0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1，1]上是增函数；
(2) 解不等式)1()2
1(x f x f -<+. 答：（1）证明略
（3）由（1）得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-x x x x 12
1,111,1211，解得：410<≤x
拓展引申
拓展1：设b a 、为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意的]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为_____
解析：因为函数b ax x f +=)(，所以b f =)0(，b a f +=)1(；则)0()1(f f a -=，)0(f b =；
)]0()1([)0(f f f ab -⋅=)0()1()0(2
f f f ⋅+-=4)1()]1(21)0([22f f f +--=4
)1(2f ≤ 因为1)(≤x f ，所以4
14)1(2≤≤f ab 当1)0(2)1(±==f f ，即：21±==b a 时，ab 取最大值4
1.
拓展2[1]：（1）已知0>x ，求证：21424-≥-x x x （2）若正数y x ,满足328=-y x ，求22344y x y x --+的最小值.
参考文献
[1]刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J] .中学数学教学参考,2018,(7):60-61。