专升本高等数学 第三章微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用
【考试要求】
1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．
2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞
”、“0
0”和“0
∞”型未定式极限的方法．
3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．
4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．
5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．
【考试内容】
一、微分中值定理
1．罗尔定理
如果函数()y
f x =满足下述的三个条件：
（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，
那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a
b ξ<<），使得()0f ξ'=．
说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则
称点0x 为函数
()f x 的驻点．
2．拉格朗日中值定理
如果函数()y f x =满足下述的两个条件：
（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a
b ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：
()()()()f b f a f b a ξ'-=-．
说明：当
()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，
这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．
3．两个重要推论
（1）如果函数
()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．
证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证）
，应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）
． 由假定，
()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．
因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明
()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即
()f x 在区间I 上是一个常数．
（2）如果函数
()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函
数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）．
证：设()
()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，
根据上面的推论（1）可得，()
F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．
二、洛必达法则
1．x a →时“
”型未定式的洛必达法则
如果函数
()f x 及()F x 满足下述的三个条件：
（1）当x a →时，函数
()f x 及()F x 都趋于零；
（2）在点a 的某个去心邻域内
()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；
（3）()
lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），
那么 ()()
lim lim
()()
x a x a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当
()lim
()x a f x F x →''为无穷大时，()
lim ()
x a f x F x →也是无穷大． 2．x →∞时“
”型未定式的洛必达法则 如果函数
()f x 及()F x 满足下述的三个条件：
（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；
（2）当
x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；
（3）()
lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），
那么 ()()
lim lim ()()
x x f x f x F x F x →∞→∞'='．
说明：我们指出，对于x a →或x →∞时的未定式“
∞
∞
”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞
∞
”型极限时的注意事项
（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“
00”型或“∞
∞
”型，如果不是则不
能使用洛必达法则．例如：2sin lim x x
x π
→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故
2
sin sin 22lim 2
x x x ππ
ππ→==． （2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“0
”
型或“
∞
∞
”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推． （3）洛必达法则是求“00”型或“∞
∞
”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他
求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求2
tan lim
tan x x x
x x
→-时，可先用~tan x x 进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故
2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333
x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2lim
lnsin3x x
x
+
→时，
0000lnsin 2sin3cos222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x
++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限
均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．
（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不
存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x x
x
→∞+，
(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x x x x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin lim lim(1)1lim 101x x x x x x x x x x
→∞→∞→∞+=+=+=+=．
4．其他类型的未定式
除了“
00”型或“∞∞
”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞
”、“0
0”及“0
∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“
00”或“∞∞
”型；对于“1∞”、“00”及“0
∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞
∞
”型未定式．
三、函数单调性的判定法
1．单调性判定法
设函数()y
f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，
（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内
()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．
说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中
()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有
()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减
少）的．
2．单调区间的求法
设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则
求函数
()f x 的单调性的步骤如下：
（1）求出函数()f x 的定义域；
（2）求出函数
()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导
数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）；
（3）用函数
()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判
定定理逐个判定各个部分区间的单调性．
3．用单调性证明不等式
函数
()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：
（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式
成立的x 的范围I ； （2）求
()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）；
（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．
例如：试证明当1x
>时，1
3x
>-
．
证明：原不等式即为 13x -+ ，故令1
()3f x x
=-+，0x >，
则
2211
()(1)f x x
x '=
-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内
()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又
由于
(1)0f =，故()0f x >，即 130x -+
>，亦即 1
3x
>-． 四、函数的凹凸性与拐点
1．函数凹凸性的定义
设函数
()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有
1212()()
22x x f x f x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
1212()()
2
2x x
f x f x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数
()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判
定曲线的凹凸性，如下所示．
2．函数凹凸性的判定法
设函数
()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内
()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．
说明：若在(,)a b 内除有限个点上
()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或
()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）．
3．曲线的拐点的求法
一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果
曲线
()
y f x =在经过点
00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点
00(,())x f x 为这曲线的拐点．
我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：
（1）求()f x ''；
（2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的
点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右
两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，
点00(,
())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式
说明：若要求函数()y
f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存
在的点把区间I 分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若
()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．
五、函数的极值与最值
1．函数极值的定义
设函数
()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一
x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，
那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的
整个定义域来说，
0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．
2．函数取得极值的必要条件
设函数
()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．
说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不
一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这
函数的驻点，但0x
=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此
外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处
不可导，但函数在该点取得极小值．
3．判定极值的第一充分条件
设函数
()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．
（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则
()f x 在0x 处取得极大值；
（2）若0
0(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则
()f x 在0x 处取得极小值；
（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．
4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤
设函数
()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；
（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；
（3）考查
()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值
点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数
()f x 的全部极值．
5．判定极值的第二充分条件
设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么
（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当
0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．
说明：该极值判定条件表明，如果函数
()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么
该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是
极小值．但如果0()0f x ''=，
则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()f
x 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，
42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果
函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．
6．求
()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤
设函数
()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多
有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：
（1）求出
()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，
，m x 及不可导点1x '，2x '，
，n x '；
（2）计算
()i f x （1,2,
,i m =），()j f x '（1,2,
,j n =）及 ()f a ，()f b ；
（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是
()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是
()f x 在[,]a b 上的最小值．
说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小
值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那
么不必讨论
0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．
六、函数的渐近线的求法
1．水平渐近线
若lim
()x f x a →∞
=（包括lim ()x f x a →-∞
=或lim ()x f x a →+∞
=），则直线y a =就是
函数
()f x 的水平渐近线．
2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）
若0
lim
()x x f x →=∞（包括0
lim ()x x f x -→=∞或0
lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就
是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．
【典型例题】
【例3-1】验证罗尔定理对函数
()ln sin f x x =在区间5[,]66
ππ
上的正确性．
解：显然函数
()ln sin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66
ππ
上可导，
1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==
⋅=，且5()()ln 266
f f ππ
==-，故满
足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66
ππ
ξ
∈，使得()0f ξ'=，即
cot 0ξ=，2
π
ξ=
即为满足条件的点．
【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．
解：显然函数
2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，
()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)
ξ∈，使得
(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1
(0,1)2ξ=∈，
1
2
ξ=即为满足条件的点．
【例3-3】不求导数，判断函数
()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零
点，这些零点分别在什么范围． 解：显然
()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在
区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，
使得
1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得
2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有
三个零点，故
()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．
【例3-4】证明arcsin arccos 2
x x π
+=
，其中11x -≤≤．
证明：设
()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-，
因为
()(0f x '=
+=，
所以
()f x C =，[1,1]x ∈-．
又因为
(0)arcsin 0arccos002
2
f π
π
=+=+=
，即
2
C π
=
，
故
arcsin arccos 2
x x π
+=
．
说明：同理可证，arctan arccot 2
x x π
+=
，(,)x ∈-∞+∞．
【例3-5】求下列函数的极限．
1．求 332132
lim 1
x x x x x x →-+--+．
解：该极限为1x →时的“0
0”型未定式，由洛必达法则可得
原式22113363
lim lim 321622
x x x x x x x →→-===---． 2．求
arctan 2
lim 1
x x x
π
→+∞
-．
解：本题为x →+∞时的“0
0”型未定式，由洛必达法则可得
原式22221
1lim
lim 11
1x x x x x x
→+∞→+∞-
+===+-． 3．求
0lnsin 2lim
lnsin3x x
x
+→． 解：该极限为0x
+→时的“
∞
∞
”型未定式，由洛必达法则可得
原式0001
cos 22
2sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x x
x x
+++
→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅． 4．求 2
tan lim tan3x x
x π
→．
解：本题为2x π
→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得
原式2222222
sec cos 32cos3(sin3)3
lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ
→→→
⋅-⋅===⋅- 22
cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ
→→
-===-．
5．求
2
tan lim
tan x x x
x x
→-． 解：该极限为0x →时的“0
0”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得
原式22320000tan sec 12sec tan 21
lim lim lim lim 3663
x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式2
2sec
1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）：
原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333
x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求
11
lim(
)sin x x x
→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“11
00
-”型，然后
通分化为“
”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22
x x x x x x x x x x
x x x x →→→→---=====．
7．求
lim x x x +
→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln 0⋅”型，进
而化为“
”型，故 原式02
0001lim ln 1lim ln lim
lim ()
ln 00
lim 1x x x x x
x x x
x x x x
x x e e
e e e e +→+
++
→→→+
--→=
======．
8．求
cos lim
x x x
x
→∞+．
解：原式1sin lim lim(1sin )1
x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的
条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x x
x x
→∞
→∞=+
=+=+=．
【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．
32()29123f x x x x =-+-．
解：因
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--， 令
()0f x '=，得11x =，22x =．
用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：
由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．
2
．
()f x = ．
解：函数的定义域为(,)-∞+∞
，
()f x '=
（0x ≠）
，当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：
所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x
>时，ln(1)x x >+成立．
证明：设
()ln(1)f x x x =-+，则
1()111x f x x x
'=-
=
++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故
()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，
又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，
即
ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．
2．试证当1x >
时，1
3x
>-．
证明：令
1
()(3)f x x =--，则
2211()(1)f x x
x '=
-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故
()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，
又因为
(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，
即
1(3)0x -->，也即
1
3x
>- 成立．
【例3-8】证明方程5
10x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．
证明：令
5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间
[1,0]
-上连续，且
(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个
零点．
另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内
单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．
综上所述，方程5
10x
x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．
【例3-9】求下列函数的极值． 1．
32()395f x x x x =--+．
解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，
令
()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：
由上表可得，函数的极大值为
(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．
2．2
33()2
f x x x =-．
解：函数的定义域为(,)-∞+∞
，且有
13
()1f x x
-
'=-=
，
令
()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点
0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：
由上表可得，函数的极大值为
(0)0f =，极小值为1(1)2
f =-
． 【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．
解：因为
2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，
令
()0f x '=，得 12x =-，21x =，
计算
(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，
比较上述结果可知，最大值为
(4)142f =，最小值为(1)7f =．
【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．
43()341f x x x =-+．
解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有
32()1212f x x x '=-，2
()36()3
f x x x ''=-，
令
()0f x ''=，得10x =，223
x =
， 列表讨论如下：
由上表可得，曲线
()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2
[0,]3
，拐点为
(0,1)和211
(,)327
．
2
．
()f x =
解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532
()9
f x x -''=-，
当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线
在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f
x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所
以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．
【历年真题】
一、选择题
1．（2009年，1分）若函数
()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（ ）
（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若
0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）
． 23 x
()f x
2
(,)3
+∞ 0 (,0)
-∞2(0,)3
+
-
+
对应拐点
对应拐点
凹
凸
凹
()f x ''
2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1
sin
y x x
=（ ） （A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线
（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线
解：由1sin
1lim sin
lim 11
x x x x x x
→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线； 01
lim sin 0x x x
+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确．
3．（2008年，3分）函数
()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ
等于（ ）
（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）
1
ln 2
解：对函数
()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，
(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1
ln 20ξ-=
，故 1
ln 2
ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33y
x x =-上切线平行于x 轴的点为（ ）
（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0) （D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2
330y x
'=-=可得，
1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行
于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函
数
()f x 在该区间内（ ）
（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：
()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．
二、填空题
1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是 ．
解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；
当1x
<时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，
故函数的单调递减区间为[1,2]．
2．（2009年，2分）当62x ππ
≤≤时，sin ()x f x x
=
是 函数（填“单调递增”、“单调递减”）．
解：当6
x π
=
时，
sin
36()66f π
πππ=
=；当2x π=时，sin
22()22
f π
πππ==；故当
6
2
x π
π
≤≤
时，
sin ()x
f x x
=
是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点
是 ． 解：令
2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比
较函数值
(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函
数的最大值点为1x =．
4．（2007年，4分）曲线24x t y t ⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为 ．
解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11
422t t t t y k t
x =='
=
=
='
，故
切线方程为
42(1)y x -=-，即 22y x =+．
5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是 ．
解：
()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，
(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，
且当2x
>时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．
6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为 ．
解：因
ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，
故切线斜率
1
[(ln 1)]
1x x k x x ==+=，
所以切线方程为
11(1)y x -=⋅-，即 y x =．
三、应用题或综合题
1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)y
x x =-，048x <<．
2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，
令
0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无
盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的
函数值
()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得
()f ξξ=．
解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．
(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，
故(0)0F ≥，(1)0F ≤．
若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)
0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；
当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，
(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点
(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．
综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得
()f ξξ=．
3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2
512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？
解：设堆料场的宽为x m ，则长为
512x m ，设砌墙周长为y ，则512
2y x x
=+， 令
2
51220y x
'=-
=，得 2
256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，
才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．
解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则
（1）当1x
=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立；
（2）当01x <
<时，111
()(
1)0a a
f x ax a a x
--'=-=->，故()f x 单调增加，可得
()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；
（3）当1x
>时，111
()(
1)0a a
f x ax a a x
--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．
综上，当0x
>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1a
x ax a -≤-．
5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．
解：函数的定义域为(,)-∞+∞．
先求单调区间和极值．令2
633(2)0y x x
x x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，
用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，
0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．
再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=
-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，
函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，
0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函
数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．
6．（2007年，8分）求函数1
1
y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．
解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．
先求单调区间和极值．令22
1(2)
10(1)(1)
x x y x x +'=-
==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当
(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调
减少；当(1,0)x ∈-时，
0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数
单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和
(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．
再求凹凸区间和拐点．因
43
2(1)2
(1)(1)x y x x -+''=-
=
++，故当
(,1)x ∈-∞-时，
0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没
有拐点．
7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积
最大？
解：设扇形的半径为x ，则弧长为2l
x -，设扇形的面积为y ，则由题意
2
11(2)22y l x x x lx =-=-+．令202
l y x '=-+=得，4l x =．
唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为
4
l
时，扇形的面积最大． 8．（2006年，10分）求函数
321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．
解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2
321(31)(1)0y x
x x x '=--=+-=，
得驻点1
3
x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1
(,1)3-，(1,)+∞．当
1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1
(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减
少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1
(,]3-∞-和
[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132
()327
f -=，极小值(1)0f =．
再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x =
．当1
(,)3
x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(
,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，16
27
y =
，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116
(,)327
．
9．（2006年，10分）设函数
()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程
1
1
()0()
x
x
f t dt dt f t +=⎰
⎰
在(0,1)内有且仅有一个根．
证明：先证存在性．设0
1
1
()
()()
x x
F x f t dt dt f t =+⎰⎰
，[0,1]x ∈．
因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011
01
1(0)
00()()
F dt dt f t f t =+=-<⎰
⎰，
1
1
(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，
故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．
再证唯一性，即证()F x 的单调性．1
()()0()
F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，
所以结合上面根的存在性可知，方程0
1
1
()0()
x
x
f t dt dt f t +=⎰
⎰
在(0,1)内有且仅有一个根．
10．（2005年，8分）已知()y f x =与2
arctan 0
x
t y e dt -=⎰
在(0,0)处切线相同，写出
该切线方程并求2lim ()n nf
n
→∞
． 解：切线斜率
()
22
arctan arctan 0
20
11x x
t
x x e k e dt
x --==⎛⎫'
=
==
⎪ ⎪+⎝⎭
⎰
，故切线方程为
01(0)y x -=⋅-，即 y x =．
因()y
f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，
故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n
→∞→∞→∞''
'===='
．。