专升本高等数学 第三章微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用

【考试要求】

1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．

2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞

”、“0

0”和“0

∞”型未定式极限的方法．

3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．

4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．

5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．

【考试内容】

一、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数()y

f x =满足下述的三个条件：

（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，

那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a

b ξ<<），使得()0f ξ'=．

说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则

称点0x 为函数

()f x 的驻点．

2．拉格朗日中值定理

如果函数()y f x =满足下述的两个条件：

（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a

b ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：

()()()()f b f a f b a ξ'-=-．

说明：当

()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，

这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．

3．两个重要推论

（1）如果函数

()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．

证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证）

，应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）

． 由假定，

()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．

因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明

()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即

()f x 在区间I 上是一个常数．

（2）如果函数

()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函

数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）．

证：设()

()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，

根据上面的推论（1）可得，()

F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．

二、洛必达法则

1．x a →时“

”型未定式的洛必达法则

如果函数

()f x 及()F x 满足下述的三个条件：

（1）当x a →时，函数

()f x 及()F x 都趋于零；

（2）在点a 的某个去心邻域内

()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；

（3）()

lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），

那么 ()()

lim lim

()()

x a x a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当

()lim

()x a f x F x →''为无穷大时，()

lim ()

x a f x F x →也是无穷大． 2．x →∞时“

”型未定式的洛必达法则 如果函数

()f x 及()F x 满足下述的三个条件：

（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；

（2）当

x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；

（3）()

lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），

那么 ()()

lim lim ()()

x x f x f x F x F x →∞→∞'='．

说明：我们指出，对于x a →或x →∞时的未定式“

∞

∞

”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞

∞

”型极限时的注意事项

（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“

00”型或“∞

∞

”型，如果不是则不

能使用洛必达法则．例如：2sin lim x x

x π

→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故

2

sin sin 22lim 2

x x x ππ

ππ→==． （2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“0

”

型或“

∞

∞

”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推． （3）洛必达法则是求“00”型或“∞

∞

”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他

求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求2

tan lim

tan x x x

x x

→-时，可先用~tan x x 进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故

2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333

x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2lim

lnsin3x x

x

+

→时，

0000lnsin 2sin3cos222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x

++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限

均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．

（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不

存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x x

x

→∞+，