数列通项公式和求和公式总结

一 公式法例 1 数列

{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有

1234127

,0,,,,6954

n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

二 利用n a 与n S 的关系例2 若数列{}n a 的前n 项和为3

3,2

n n S a =-求{}n a 的通项公式.

三 累加法 例3 数列

{}n a 中已知111,2n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

四 累乘法例4数列

{}n a 中已知112

1,

n n a n a a n

++==, 求{}n a 的通项公式. 五 构造法 例5 ①数列

{}n a 中已知113,33n n a a a +==+, 求{}n a 的通项公式;

②数列

{}n a 中已知

()2

*121,2,21

n

n n S a a n n N S ==≥∈-, 求{}n a 的通项公式.

③数列

{}n a 中已知0,n n a S >是

数列的前n 项和,且1

2n

n n

a S a +

=,求{}n a 的通项公式 一 利用公式例6 等比数列

{}n a 的前n 项和21n n S =-求2222123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+的值.

二 分组求和例7 求数列

39251,,,,,2482n n ⎛

⎫

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝

⎭

的前n 项和. 三 错位相减例8 求和()23230n

n S x x x nx x =+++⋅⋅⋅+≠

四 裂项相消例9 求和()()

1111

14477103231n

S n n =

+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+ 五 倒序相加例10 设

()442x x f x =+,求和122001200220022002S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+

+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

1. 求数列

1357,,,,24816⋅⋅⋅,21

2

n n -的前n 项和.2 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 3. 求数列a,2a 2

,3a 3

,4a 4

,…,na n

, …(a 为常数)的前n 项和。

4. 求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++

5. 求数列

311⨯，421⨯，5

31

⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S

6. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n

8.

已知数列{}n a 是等差数列，且1171713951=+-+-a a a a a ，求153a a +的值.

9. 已知数列{}n a 的通项公式为n

n a n ++=

11 求它的前n 项的和.

10. 在数列{}n a 中，).2(122,12

1≥-==n S S a a n n 证明数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，并求出S n

的表达式. 11. 数列{}n

a 为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n 项和为6560，且前n 项中数值

最大的项为54. 求其首项a 1及公比q . 12. 已知数列!

)1(!32!21++++=n n

a n 求2008a . 13. 设{}n

a 为等差数列，S n

为数列{}n a 的前n 项和，已知S

7

= 7, S 15 = 75. 记T n 为数列

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n . 14. 求数列)21

12(815,413,211n

n +

- 的前项和 15. 已知：n S n n ⋅-++-+-+-=+1

)1(654321 .求n S .

16. 求和2

22222100994321-++-+- . 17. ()()

111

1

123234345

12n S n n n =

+++

+

⨯⨯⨯⨯⨯⨯++，求n S 。

18. 设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式。

19. 已知数列}{n a ：)3)(1(8

++=n n a n ，求∑∞

=+-+1

1))(1(n n n a a n 的值。

20. 求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+

n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 21. 求数列的前n 项和： ,231

,,71,41,

1112-++++-n a

a a n 22. 求数列)}2)(1({++n n n 的前n 项和。

24. 求︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒+︒89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

的值。

25. 已知数列}{n a 的通项公式)

12)(12()2(2

+-=n n n a n ，求它的前n 项和.

26. 已知数列}{n a 的通项公式,)]

1([1

22

++=

n n n a n 求它的前n 项和. 27. 求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n 28. 已知数列.}{,)10

9(

)1(n n n

n S n a n a 项和的前求⨯+= 30. 解答下列问题：（I ）设),3(9)(2-≤-=

x x x f （1）求)(x f 的反函数);(1

x f

-

（2）若;),2(),(,111

1n n n u n u f u u 求≥-==--

（3）若;}{,,3,2,1,1

1

n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=

+

31. 设函数

),2)(1

(,1:}{,332)(1

1≥==+=

-n b f b b b x x x f n n n 作数列求

和

：

.)1(11433221+-⋅-+-+-=n n n n b b b b b b b b W

32. 已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2

)2

1(

+=n n n a S S 满足，（I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证

.21

1121<+++n

S S S 33.已知数列{n a }的各项分别为}{,,,,,16

5434322n a a a a a a a a a a 求 ++++++的前n

项和n S .