概率论与数理统计 5

lim
P
n np
x x
1
t2
e 2 dt (x)
n np(1 p) 2π
（5-2）
定理2说明，当n充分大时，可以用式（5-3）来近似计算二项分布
的概率．实际上，定理2可以写成如下更实用的形式：当n充分大时，
对于任意a<b，有
P(a剟n
b)
P
a np 剟 n np
np(1 p) np(1 p)
序言
极限定理是概率论的基本理论，在理论研究和应用中起着重要的 作用，其中最重要的为“大数定律”与“中心极限定理”。大数定 律描述了随机变量序列的前一些项的算术平均值按某种前置条件下 收敛于这些项所希望的平均值；中心极限定理则是确定在什么条件 下，大量随机变量之和的概率分布近似于正态分布。本章仅就这些 定理的一些最基本的内容进行简要介绍。
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E百度文库Xk
)
1 n
(n)
又由独立性得
D
1 n
n k 1
X
k
1 n2
n
D(Xk )
k 1
1 n2
(n 2 ) 2
n
由切比雪夫不等式得
1厖P
1 n
n
Xk
k 1
1
2 /n 2
在上式中令为 n
即得
1
lim
n
P
n
n
Xk
k 1
1
弱大数定理（辛钦大数定理） 设X1, X2, …, Xn相互独立、服从同一
b np
np(1 p)
b np np(1 p)
a np np(1 p)
例1 某大学举行篮球三分球大赛，总共有100名男生参加，每名男生投篮 若干次，其在比赛中投篮命中的次数为一个随机变量，其数学期望是2，方 差是1.69，求这100名男生参加完比赛后，总共投篮命中180次到220次的概率。
设随机变量 Xi (i 1，2 ，L ，n) ，
则
fA X1 X2 L Xn
由式（5-1）得
lim P n
1 n
n k 1
Xk
p
1
lim P n
fA n
p
1
上式也可表示成
lim P n
fA n
p
…
0
02
中心极限定理
序言
在第二章中曾经提过，现实生活中有大量的实例符合 正态分布。正态分布是一种十分常见的分布．那为什么 正态分布会具有如此特别的重要性呢？大量的实际操作 经验表明，许许多多微小的、彼此没有什么相依关系的 偶然因素共同作用的结果必然导致正态分布。
定理1（列维—林德伯格中心极限定理） 设X1, X2, …, Xn相互独立、服从
同一分布，且具有数学期望 E(X k ) , D( X k ) 2 0, (k 1，2 ，L ) ，则随机变量
n
之和 Xk 的标准化变量 k 1
n
n
n
Xk E( Xk ) Xk n
Yn k 1
k 1
169
169
169
220 200 169
180 200 169
2(1.538)
1
0.875
9
例2 某学生开了家淘宝店，店内有120件相互无关的商品。若每件商品在 一个小时内平均每3分钟就有一个顾客点击查看，问：
（1）在任一时刻至少有10名顾客点击查看店内商品的概率； （2）在任一时刻有8到10名顾客点击查看店内商品的概率．
分布，且具有数学期望 E(X k ) (k 1，2 ，L )
。则序列
1 n
n k 1
Xk
依概率
收敛于 。
伯努利大数定理 设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是
事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 >0，有
lim P n
fA n
p
1
证 因为 fA ~ B(n ，p)
解
（1）设在任一时刻，访问店内商品的顾客数为X，易知 X
~
B
120
，1 20
这里选用棣莫弗—拉普拉斯定理来解题：
P( X厔10) 1 P(0 X 10)
1 P
0 np 剟 X np np(1 p) np(1 p)
一分布的随机变量序列，且具有数学期望 E(Xk ) (k 1，2 ，L ) 。 作前n
个变量的算术平均值
1
n
n k 1
Xk
，则对于任意
0
，有
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
（5-1）
证我们只在随机变量的方差 D( X k ) 2 (k 1，2 ，L )
存在这一条件下证明上述结果。因为
01
大数定律
第一章曾讲过，大量试验证实，随机事件A发生的频率
fn ( A)
nA n
当重复试验的次数n增大时总会稳定在某一个常数附近。
这个常数就称为随机事件A发生的概率。频率的稳定性是概率定义
的客观基础。本节对频率的稳定性做出理论说明。
弱大数定理（辛钦大数定理） 设X1, X2, …, Xn是相互独立、服从同
序言
例如，影响某大学学生成绩分布的因素有很多，如学生的 情绪波动、学生的健康、考卷印刷清晰程度、考试当天天气 情况等，其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小 的，然而学生成绩的分布往往呈现近似地正态分布。为了说 明这种现实结果，概率论中，把研究在什么条件下大量独立 随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心 极限定理。
n
D( Xk )
k 1
n
k 1
的分布函数Fn(x)对于任意x满足
lim
F ( x)
lim
P
n k 1
Xk
n
x
x
n
n
n
2
t2
e 2 dt (x)
2π
（5-2）
此定理还可称为独立同分布的中心极限定理.
这就是说，均值为、方差为2 >0的独立同分布的随机变量X1,
X2, …, Xn之和的标准化变量，当n充分大时，有
100
解 设每名男生投篮命中次数为Xi，则100名男生总共投篮命中次数为 Xi
i 1
且
E( Xi ) 2 ，D( Xi ) 1.69
100
100
则
E( X ) E( Xi ) 200 ，D( X ) D( Xi ) 169
i 1
i 1
P(180剟X
220)
P
180
200 剟X
200
220 200
n
Xk n
k 1
~ N (0 ，1)
n
可以表示为，当n充分大时，
n
近似
X k ~ N (n ，n 2 )
k 1
X
1 n
n k 1
Xk
近似
~N
， 2
n
将定理1应用到n重伯努利试验，
n
n Xi ~ B(n ，p) i 1
定理2（棣莫弗—拉普拉斯定理） 设随机变量 n (n 1，2 ，L ) 服从服从参 数为n, p (0<p<1)的二项分布，则对于任意x，有