(完整版)离散型随机变量及其分布范文

平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以 的数学期望又称为平均数、均值。
期望的一个性质：若 ，则
知识点七：方差；
方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是 ， ，…， ，…，且取这些值的概率分别是 ， ，…， ，…，那么,
＝ ＋ ＋…＋ ＋…称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量 的期望．
几种常见的分布列的求法：
(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.
(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在 次射击中发生 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.
则第二次取到新球的概率是（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
答案：A
分析设 表示“第一次取到新球”的事件， 表示“第二次取到新球”的事件。
4、某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设 表示一产品经检查被定为正品， 表示产品确为正品，求 。
(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.
知识点六：期望
数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 … …为 的数学期望，简称期望
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。，超过7的水要溢出，求水库存水量 的分布函数
参考答案：
1．分布列
2．
3．
4．（1） ；（2）
5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好
6．
7．（1） ；（2） ；（3） ；
8．
⒈连续型随机变量 的密度函数是 ，
则 。
答案： ，
(7)正态分布密度函数：简称正态曲线
，
其中 是圆周率； 是自然对数的底； 是随机变量的取值； 为正态分布的均值； 是正态分布的标准差.正态分布一般记为 。即若 ，则 ，
(8)正态分布 是由均值 和标准差 唯一决定的分布
通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响，
例题
1．在事件 发生的概率为 的伯努利试验中，若以 记第 次 发生时的试验的次数，求 的分布。
（2）由分布函数的性质知， ；
；
（3）由于 最多除 和0点外处处可导，且在 处连续，若取
则 ，且对一切 有 ，从而 为随机变量 的密度函数。
3．设 ，且 ，求
[解]因为
所以
于是
4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克） ，一般品种蛋重 。
（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。
…，
于是得到随机变量 的概率分布如下：
…
…
…
…
称这样的随机变量 服从几何分布，
记作
知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；
(1)要确定随机变量 的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；
(2)分清概率类型，计算 取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；
(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.
二项分布的期望与方差：若 ，则 ，
几何分布的期望和方差：
若 ，其中 ，…， ．则 ， .
知识点八：正态分布；
(1)频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ，出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。
3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。
4．已知某元件使用寿命 服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数 的分布律
解（1）
（2）
（3）
连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量 可能取的值为 取每一个值 的概率为 ，则称表
[解]
小结求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2．设随机变量 的分布函数为
求（1） 的值；（2） 落在 及 内的概率；（3） 的概率密度函数。
[解]（1）有分布函数的右连续性，在 点处有 ，即
⒉设 为随机变量，已知 ，
那么 。
答案：18
3、设随机变量 ，则 （ ）。
A. 1；B. ；C. 0D.
答案：D
4、设随机变量 ，求 。
解
＝ （查表）
5.设随机变量X的密度函数是
求(1)常数a; (2)P(X<2.5)
解(1)根据密度函数的性质
1＝ =1－(a－2)3
所以a=2
(2)P(X<2.5)=
(2)总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为 的样本，就是进行了 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
(3)总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
[解]（1）设 ：任取一蛋其重量大于50克。
：任取一蛋为优良品种
：任取一蛋为一般品种
则 互斥，且 ，
由全概率公式得
（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率 ，小于50克的概率
设任取2个，有 个大于50克，则
于是所求概率为
练习与答案
1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。
标准差： 的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作
方差的性质：① ；② .
方差的意义：
(1)随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
(2)随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
=
（3）对于任意事件 ，则 。
答案：
分析
=
2、事件 若满足 ，则 与 一定（）
（A）不相互独立；（B）互不相容；
（C）相互独立；（D）不互斥
答案：D
分析由加法公式，有
而且 时，只有 时，才能保证上式成立，即 φ，
故选择D正确。
3、袋中有5个球（3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次，
，（ …， ）
于是得到随机变量 的概率分布如下：
…
…
…
…
由于 恰好是二项式展开式：
中的各项的值，所以称这样的随机变量 服从二项分布，记作 ，其中 ， 为参数，并记
知识点五：离散型随机变量的几何分布：
在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数 也是一个正整数的离散型随机变量．“ ”表示在第 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把 次试验时事件 发生记为 、事件 不发生记为 ， ， ，那么
离散型随机变量及其分布
知识点一：离散型随机变量的相关概念；
随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 、 等表示
离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量， ，其中 、 是常数，则 也是随机变量
知识点二：两点分布：
0
1
若随机变量X的分布列:则称X的分布列为两点分布列.
特别提醒：(1)若随机变量X的分布列为两点分布,则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布
(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.
(4)总体分布密度密度曲线函数 的两条基本性质：
① ≥ ( )；②由曲线 与 轴围成面积为 .
(5)解决总体分布估计问题的一般程序如下：
①先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；
②分别计算各组的频数及频率（频率 ）；
③画出频率分布直方图，并作出相应的估计.
(6)条形图是用其高度表示取各值的频率；直方图是用图形面积的大小表示在各区间内取值的频率；累积频率分布图是一条折线，利用任意两端值的累积频率之差表示样本数据在这两点值之间的频率.
=
6．设随机变量 的分布函数为
求（1） 的值；（2） 落在 及 内的概率；
（3） 的概率密度函数。
[解]（1）有分布函数的右连续性，在 点处有
，即
（2）由分布函数的性质知，
；
；
（3）由于 Fra Baidu bibliotek多除 和0点外处处可导，
且在 处连续，若取
7．设 ，且 ，求
[解]因为
所以
于是
8．设随机变量 的密度函数为
，
求：⑴ ；⑵ .
…
…
…
…
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列
知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；
任何随机事件发生的概率都满足: ，并且不可能事件的概率为 ，必然事件的概率为 ．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
；
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即
知识点三：超几何分布：
一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则
称超几何分布列.
0
1
为超几何分布列，
知识点四：离散型随机变量的二项分布；
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是
解⑴ = =
= = 0.875
⑵ = =
= =
9．盒中装有分别标 数字的球，从中任取2个，
用 表示所取2球中最大的数字.求 的概率分布.
．解 = ， = ，
= ， = ，
所以 的概率分布为：
二）、例题分析
1、（1）“ 三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为。
答案： 。
（2）事件 满足 则 。
答案：分析根据概率的加法公式与乘法公式，我们有
5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50小时内完成，应选何种工艺条件？
6．设某批零件的长度服从 ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于 的概率。
7．设 分别为服从 ， ， 的随机变量，求 的概率密度函数