结构力学第4章 静定拱结构

一、工程中的拱结构
轴线为曲线、仅在竖向荷载下能产生水平反力(推力)的结构称为拱。

图4-1所示为拱结构的工程实例。

图4-1工程中的拱结构
二、拱式结构的特征及其应用
1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。

2、特点：
（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。

（2）用料省、自重轻、跨度大。

（3）可用抗压性能强的砖石材料。

（4）构造复杂，施工费用高。

3、拱的种类：
图4-2拱的种类4、拱各部分的名称：
一、支座反力的计算
C
拱顶铰
B
A拱肋
跨度拱趾铰
(a) 等高三铰拱
C
高差h
A
B
(b) 不等高三铰拱
严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰刚架结构反力计算相同。

本书介绍的是等代梁解法。

图4-4实体三铰拱
第二节实体三铰拱的数解法
图4-5
等代粱
l
l 1
l 2a 3
b 3
b 2
b 1
a 2a 1
F P1
F P2
F P3
F P1
F P2
F P3
F A y
F B y
F A y
F B y
F B x
F A x 00A C
B
A
B C
(b)
(a )
f
0C
H M F =
H
B A F F F ==x x 0Ay Ay F F =0By
By F
F =
二、拱内截面内力的计算
图4-6
拱内截面内力
1、拱的内力计算原理仍然
是截面法。

2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。

对于竖向荷载作用三铰拱，
其内力计算有简捷公式。

(c)C
B A
00F B y
F A y
F P3
F P2
F P1
B F B x
A
F A x F A y
F B y
(a )
C F P3
F P2
F P1
a 1
a 2
b 1
b 2b 3
a 3
l
ϕK F A y F A x
F P1
K
M K F NK
F QK
x K
K ϕy K
x
y
K K
(b)
y
F M
M H 0
-=ϕ
ϕsin cos H 0
Q Q F F F -=ϕ
ϕcos sin H 0
Q N F F F --=A
0Ay
F
Q F 0
M (b) 代梁受力
F Ax =F H F Ay
x A y k F y F
x
y
ϕ
M
(a) 截面k 坐标方向力
图4-7
拱内截面内力
需要指出的是，非竖向荷载作用不等高三铰拱等情形，上述公式是不适用的。

这时需要由截面法直接求解内力。

三拱的内力图
将跨度等分成若干份，利用内力计算公式求等分点处截面上的内力，再用直线连接等分点内力值即可作出拱的内力图。

四算例
例1 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线,
试求支座反力，并绘制内力图。

)
(42x l x l
f
y -=(1)反力计算
)
(115)
(10500↑==↑==kN F F kN F F By
By Ay
Ay kN
M F C
H 5.820==y
x
A o
F H =82.5kN F H =82.5kN
B
F By =115kN
F Ay =105kN
100kN
1
234
5
6
78q=20kN /m 4m
8×1.5m=12m
图4-8
(2) 内力计算
为了绘制内力图将拱沿跨度方向分成八等分，计算出每个截面的弯矩、剪力和轴力值。

得到的内力图如图
.
.
7
.
7
.
.
0.273m0.273m
1
3
.
1
1
3
.
1
6
7
.
5
5
.
6
7
.
5
5
.
6
1
5
.
9
4
1
.
6
.
5
2
.
4
.
1
3
3
.
5
3
.
1
3
2
.
5
1
2
7
.
4
1
.
6
7
9
.
9
8
2
.
5
8
6
.
2
2
1
.
4
9
9
.
1
1
1
8
.
4
2
.
9
1
4
1
.
5
1
.
8
7
1
.
4
M图（单位kN.m）
F Q图（单位kN）
F N图（单位kN）
例2 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物
线,试求支座反力，并绘制内力图。

(1)反力计算
)(
42
x l x l
f y -=)
(5)(70
0↑==↑==kN F F kN F F By
By Ay
Ay 图4-10
(2) 内力计算
为了绘制内力图将拱沿跨度方向分成八等分，计算出每个截面的弯矩、剪力和轴力值。

得到的内力图如图
kN
f
M F C
H 60==
图4-11
第三节实体三铰拱的图解法1
、三铰拱的压力线
图4-12
截面合力的图解作法：
(1)确定各截面上合力的大小和方向
(2)确定各截面合力的作用线
图4-13
第四节
实体三铰拱的的压力线及合理拱轴的概念
1、压力线
在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量M k、F Q k、F N k。

这三个内力分量可用它的合力R代替。

将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。

2、合理拱轴的概念：
（1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、
剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。

（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后
令其等于零即可确定合理拱轴。

（3）求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱的各截面处于无弯距状态，即
=-=y F M M H H
F M y 0
=
1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴线为一抛物线。

)
(42
x l x l
f -=
y 3、几种典型荷载作用下的合理拱轴
(a )
f
B
C A
y
x
A
B q
q
l (b)
图4-14
(2)三铰拱在均匀水压力作用下，合理轴线为一圆弧。

常数=-
=q F N R C A B
d s
q
F N M F Q o'q n F N +d F N M+dM F Q +d F Q d ϕ2d s τρ
(a )(b)
图4-15
(3)在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线。

)1(-=x F ch q H c γγy A B
x y
f C
l l 22q q q j d
图4-16。