概率论随机变量的分布函数ppt课件

解（1）由分布函数的性质知1 lim F( x) B 所以B=1. x
由连续型随机变量的分布函数的连续性知
F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以A=1/2
于是X分布函数为： （2）X的概率密度为
F
(
x)
1 2
e
x
1
1 2
e
x
x0 x0
f
(x)
F
(
x)
1 2 1 2
(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.
二、 性质
(1) f ( x) 0;
(1),(2)用于验证一个函 数是否为概率密度
(2) f ( x)d x 1;
(3)
P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若f(x)在点 x 处连续，则有 F(x) f (x)
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
由此知 P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
2. 若X是连续型随机变量，则有 P{X a} 0.
例1 一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为 2，1个标号为3, 任取1个球，以X表示取出的球的 标号，求X的分布函数；并求 P｛2 ≤ X ≤3｝
解：由已知X的可能值为1, 2, 3．
P{X=1}= 2/6, P{X=2}=3/6, P{X=3}=1/6.
所以X的分布律为
X
1
2
3
pk
2/6
ex e
x
x
0
1
e
x
2
x0
(3)P{1 X 2} F (2) F (1) 1 1 e2 1 e1
非负可积函数f ( x), 使对任意实数x 有 F( x) x f (t)d t,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x) 称为 X 的概率
密度函数,简称概率密度. probability density.
注：(1)由定义知道，改变概率密度f (x)在个别点的函数值 不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.
3. 性质(3)表示P{x1<X≤x2｝等于曲线f(x)在区间(x1,x2]上 的曲边梯形的面积。
可得计算公式：P{X a} F(a) a f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a) a f ( x)d x.
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
3/6
1/6
一般地，对于离散型随机变量X 来讲，如果其概 率分布律为 P{ X xk } pk, k=1,2,… 其中x1<x2<… 则X的分布函数为
F( x) P{X x} P{X xk } pk
xk x
xk x
它的图形是一条右连续的阶梯型曲线 在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,…), 该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆
盘上的点的概率与该圆盘的半径平方成正比,并设射击都
能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求 （1） 随机变量X的分布函数． （2）P{1 X 1}.
2
解 (1) 求随机变量X的分布函数F(x)
当x<0时,事件{X≤x}为不可能事件,得 F(x)= P{X≤x｝=0
概率论随机变量的分布函数
二、定义
设X 是随机变量，x为任意实数，称函数
F ( x) P{X x} ( x )
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
当0≤x≤2时，P{0≤X ≤x}=cx2 (c为待定常数)
又因为｛0≤X≤2｝为必然事件,故 1= P{0≤X≤2｝
故
c
1 4
于是 F ( x) P{ X x} P{ X 0} P{0 X x} x2
4
当 x>2时,{ X≤ x｝为必然事件,于是 F(x)= P{X≤ x｝=1
综上所述 F(x)的图形
因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
3e3 x
x0
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
2. f ( x)dx 1说明曲线f(x)与x轴之间的面积 等于1。
0 x0
x
(2)从而 F (x) f (t)dt
x 3e3tdt 1 e3x
0
x0
0
x0
即F
(
x)
1
e 3 x
x0
0 x0
（3）PX 0.1
f (x)dx
0.1
3e3xdx e0.3
0.1
例2: 连续型随机变量X的分布函数
F
(
x)
A B
ex
A
e x
Baidu Nhomakorabeax0 x0
（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P{-1<X<2}
0 , x 0,
F
(
x)
x2 4
, 0 x 2,
1 , x 2,
F(x)
1
1/2
01 2 3
x
（2）P{1 X 1} F (1) F ( 1 ) 1 (1/ 2)2 3
2
2 4 1/ 4 16
第四节 连续型随机变量及其 概率密度
一、定义 如果对于随机变量X 的分布函数F( x), 存在
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
2.非负有界 0 F(x) 1, ( x ),且
3.右连续
lim F(x) F() 0,
x
lim F(x) F() 1
x
F(x+0)=F(x)
性质1--3是鉴别一个函数是否是某随机变量的 分布函数的充分必要条件.