南京工业大学线性代数第3章2节

第二节 线性相关与线性无关
本节我们将进一步研究 n 维向量之间的线性 关系。
其中向量组的线性相关与线性无关是非常重要 的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。
本节内容
一. 向量的线性组合、线性表示； 二. 向量组的线性相关与线性无关； 三. 向量的线性组合与线性相关的关系； 四. 判别向量相关性的例子。
该向量组中至少有一个向量可以由其余 m -1 个向量线性表示。
证 必要性 因为 1, 2 ,, m 线性相关，则 存在 m 个不全为零的数 1, 2 ,, m ，使得
11 22 mm 0
不妨设 10，于是
1
2 1
2
3 1
3
m 1
m
故 1 可以由 2、…、m 线性表示。
充分性 不妨设 1 可以由 2、…、m 线性表 示，即
1, 2 ,, m
使得
？ 11 22 mm (1,2 ,,m ) 0
则显然必有 1 0,2 0,,m 0
而对向量组
1 (1,2,3), 2 (2,3,1), 3 (5,9,10)
不难验证
31 2 3 0
所以它们是线性相关的。
三、线性组合与线性相关的关系 定理1 向量组 1, 2 ,, m（m 2） 线性相关
1 22 33 mm
则有一组不全为零的数 1,2 ,3 ,m使得
1 1 22 33 mm 0
故向量组 1、2、…、m 线性相关。
定理2 设 1, 2 ,, m 线性无关， 而 ，1, 2,,m 线性相关，则 能由 1,2,,m
线性表示， 且表示法是唯一的。
证 由向量组，1, 2 ,, m 线性相关，则
一、向量的线性组合、线性表示
对于两个 n 维向量 、 ，若存在一常数 k, 使 得
k
则称向量 、 成比例。 例如
则 1
2
1
2
3, 6,
2
4
现将这个概念推广到多个 n 维向量。
定义1 对于 n 维行（列）向量 1, 2 ,, m ，
如果存在一组数 1 , 2 ,, m ，使得
例3 设向量 1、2、3 线性无关，试证明向量 组1、1 + 2、 1 + 2 + 3 也线性无关。
证 设有一组数 k1, k2, k 3 , 使得
k1 1+ k2 (1 + 2 ) + k 3 (1 + 2 + 3 ) = 0 即
(k1 + k2 + k 3)1+ (k2 + k 3) 2 + k 33 = 0 因为向量 1、2、3 线性无关，所以
两式相减得
(1- k1) 1+( 2- k2) 2+…+ (m- k m) m=0 由于 1、2、…、m 线性无关，从而有
1=k1，2= k2，m= k m 即表示方法是唯一的。
性质1 在向量组1、2、…、m中，若有部分 向量线性相关，则整个向量组线性相关； 反之， 若整个向量组线性无关，则任意部分向量组也线 性无关。
1 (1,0,1)T , 2 (1,1,0)T , 3 (0,1,1)T
解 设有一组数 k1, k2, k 3 , 使得
即
k1 1+ k2 2 + k 3 3 = 0
k1
1 0
1 k21
k3
0 1
wenku.baidu.com
0
k1
k2
0
k2 k3 0
1 0 1
k1
k3 0
存在一组不全为零的数 1, 2 ,, m , ，使得
11 2 2 m m 0
若 = 0，则 1、…、 m 不全为零，且
11 22 mm 0
这与 1、2、…、m 线性无关矛盾。因此 0， 故有
1
1
2
2
m
m
即 可以由 1、2、…、m 线性表示。
再证唯一性：设 有如下两个线性表示式 = 1 1+ 2 2+…+ mm = k1 1+ k2 2+…+ k mm
又如：任一 n 维向量 =(a1,a2,…,an)T 都是向量组
1
0
0
1
0
,
2
1 ,
...,
n
0
0
0
1
的线性组合, 事实上
称为单位向量组
a11 a2 2 ...,an n
二、向量组的线性相关与线性无关
定义2 已知 n 维行（列）向量组 1, 2 ,, m，
如果存在不有全为零的一组数 1, 2 ,, m，使得
证 由于1、2、…、n 线性无关，因此只需证 明将 1、2、…、n 中任一个向量 i 换成 n+1 后仍线性无关就行。
用反证法。假设1、…i-1、 i+1 …、n、 n+1 线性相关。 先由性质1，1、…i-1、 i+1 …、n 线性无关。再由定理4，n+1可由1、…i-1、 i+1 …、n 唯一线性表示，即
六、思考题一
一个向量 线性相关或线性无关的 充要条件 是什么?
思考题解答：
一个向量 线性相关的 充要条件 是：它是零 向量。
思考题二
综合性题
设向量组1,2 ,, s 线性无关。试讨论下列
向量组
1 1 2,
2 2 3,
s1 s1 s ,
s s 1.
的线性相关性。
思考题解答：
n+1 = 11+…+ i-1 i-1+ i+1 i+1 +…+ nn 与题中条件式相减，得
(k1-1) 1 + … + (ki-1- i-1) i-1 + ki i + (ki+1-i+1) i+1 + … + (kn-n) n = 0 由于1、2、…、n 线性无关，从而有 ki = 0。 这与 k1,k2,…,kn 全不为零矛盾。 所以命题得证。
可见向量组的相关性等价于这个齐次方程组有否
非零解。 而它的系数行列式
你有没有想到：
110
向量个数与维数不 等的情况？
0 1 1 2 0
1 0 1
所以上述方程组，由克莱姆法则，只有唯一零解，
即 k1= k2 = k 3 =0。于是向量组1、2、3是线性
无关的。
例2 设n个n维的向量1、2、…、n线性无关， 向量 n+1 = k1 1+ k2 2+…+ k nn ，其中 k1, k2, …, kn 全不为零。 证明 1、2、…、n、 n+1 中 任意 n 个向量都线性无关。
＝11 2 2 m m
则称向量 是向量组 1, 2 ,, m 的一个线性
组合，或称向量 可以由向量组 1, 2 ,, m
线性表示。其中 1, 2 ,, m称为表出系数
例如，设
1 (1,2,1), 2 (2,3,1), 3 (4,1,1)
不难验证
3 21 2
则 3 就是向量 1、2 的线性组合，又称 3 可 由向量1、2 线性表示。
当 s 是奇数时，所产生的向量组线性无关； 当 s 是偶数时，所产生的向量组线性相关；
注：结论是重要而且很有趣的；证明留给大家 自己去完成。
k1 + k2 + k 3 = 0
k2 + k 3 = 0
k 3= 0
这是关于k1, k2, k 3 的齐次方程组，它的系数行
列式
1 11
由克莱姆法则
1 1 1 0 1
所以 方程组只有零解，即k1= k2 = k 3 =0。 证毕
五、小结
向量的线性组合、线性表示； 向量组的线性相关与线性无关； 线性组合与线性相关的关系。
部分组相关，则全体组也相关； 全体组无关，则部分组也无关。
性质1 在向量组1、2、…、m中，若有部分 向量线性相关，则整个向量组线性相关； 反之， 若整个向量组线性无关，则任意部分向量组也线 性无关。
证明 由相关性定义立即可得。 推论1 含有零向量的向量组必定线性相关。
四、例题
例1 试讨论下列向量组的线性相关性：
11 22 mm 0
则称向量组 1 , 2 ,, m 线性相关；（linearly de-
pendent） 否则， 1 0, 2 0,, m 0
称该向量组线性无关。
例如， n 维行向量组 1 (1,0,,0),
2 (0,1,,0),,n (0,0,,1)
是线性无关的。事实上，若有一组数