工学无限弹性介质中的弹性波

( )( • ( )) 2 ( ) ( )
2 t 2
(
)
其中： • () 2
• ( ) 0 2 () (2)
2 ( ) (2 )
2 t 2
( )
2
t 2
2 t 2
(
)
2
t 2
( )( • ( )) 2 ( ) ( )
◆弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。
地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近 的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而 岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石受 力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震源 作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这 就是地震波。
此外，还有一类沿着一个弹性介质表面或两个不
同弹性介质界面传播的波，称为界面波。若与弹性介 质相邻的是稀疏介质(如空气)，则界面波称为表面波。 界面波的一个特征是，质点扰动振幅随质点离界面距 离的增大而迅速衰减，所以界面波只存在于表面或界 面附近。常见的界面波有瑞利波、乐甫波等。弹性波 在弹性体内传播时，会形成拉压波、弯曲波和剪切波。 弹性波绕经障碍物或孔洞时还会发生复杂的衍射现象。 现代电子技术的发展，推动了弹性波的实验研究；此 外，还发展了弹性波传播问题的数值解法。
振动在空间的传播过程称为波动，简称为波。
在弹性动力学中，把所研究的弹性体称为弹性介质。当外 力很小且作用时间很短时，自然界大部分固体都可以近似地看成 为理想弹性介质。
实践证明：弹性介质受到外力作用时，并非在弹性介质的 所有各部分都立即引起位移、应变和应力，而是在作用开始时， 距离外力作用处较远的部分保持不受干扰。
在外力作用开始后，在作用处产生变形，从而使该处质点 产生振动，这种振动，通过介质内质点间的相互作用而在介质内 由近及远向外传播。
质点振动在弹性介质中的传播过程，称为弹性波。
用波的振幅、频率、位相、波速等来描述弹性波的特性。
在弹性动力学中，研究的整个弹性体恰似一个多自由度
的振动系统，当某一点处受扰动（可能是位移、速度、应力 等的改变量）时，该质点将发生振动并引起该处微元体产生 变形，由于变形弹性体的拉压力（对固体或液体）和剪切应 （对固体）的存在，又会引起周围介质也跟着振动起来。弹 性波就是在弹性介质中传播的扰动。
uv
uuv uuv uuv
F Fp FS
式中为标量位，uuv为矢量位。
将位移矢量公式
uv U
和 体u力v 矢量
程式
2U
t 2
( )( •U ) 2U
F
代uFv入 拉 梅方 uuv 中可得:
( )( • ( )) 2 ( ) ( ) 2 ( )
t 2
本章研究在无限弹性介质中的弹性波，主要讨论：
1、在无限弹性介质中存在哪些弹性波； 2、弹性波的传播速度； 3、能量密度和能流密度。
无限弹性介质，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介 质中传播还未遇到分界面的情况时的介质。
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◆弹性波在传播过程中遇到两种不同介质的分界面要发生反射、 透射，同时存在绕射现象。
• 变形物体受突加载荷作用后，将产生变形。这种变 形和与之伴随而生的应力并不能立即传递到物体的 其它部分。在开始时刻，物体的变形仅仅在加载区 域的临近区域产生，而这个邻域以外的部分则仍处 于未扰动状态。其后，物体的变形和应力便以波的 形式向远处传播。
• 由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的多， 因此，物体运动方式主要表现为波的传播。
弹性波控制方程的建立
在弹性力学中弹性波对传播介质的动力学效应由波动方
程来描述。 现在由以位移表示的运动微分方程——拉梅方程 出发来推导出波动方程。
拉梅方程的矢量形式为：
2u t 2
(
)
t
x
2u
X
2v t 2
(
)
t
y
2v
Y
2tU2t2rw2 (())ztt2U2rwFrZ
r
rr
( ) gU 2U F
uv 为上体式积中应t 变为，介为质体密力度。uF，v 而为位U位移移矢场量矢公量式， 为,拉 梅常数，
为：
ur
ur
ur
U grad rot＝
应即标位量移和场矢矢量量式称是为uv由位无移旋位场，和一无个源是场标迭量加位而，成一，个对
是矢量位。
根据场论，任一矢量场，如果在其定义域内有散度 和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一矢 量uFv也位可的表旋示度为场：之和来表示，故作用在弹性介质上的体力
波前
波尾
◆波在介质中传播时是将扰动或能量由此处传递到彼处，而介 质的质点并不随波迁移。
◆根据波前的形状，通常把波分为平面波、球面波、柱面波等。
平面波
球面波
◆波前和波尾随时间不断向前推进，不指明哪一时间的波前 和波尾，没有明确意义。
我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果，通常可以认 为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波，地震波实质 上就是一种在岩石中传播的弹性波。
无限弹性介质中的弹性波
◆在介质中传播的扰动总存在着一个前沿。当弹性波在介质中传 播的某瞬间，介质中某个区域内质点振动着，而介质的这个区 域由两个闭合的面所限制，此两个面称为波阵面。
◆在一个面以外的区域波的影响尚未达到，这个面称为弹性波 在此瞬时的波前；
◆在另一个面以内的区域波引起的振动已经停止，这个面称为 波尾；
• 根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用方式， 波的传播过程将呈现各种不同的特性。
无限弹性介质中的弹性波 ◆弹性体既能传播拉压应力，又能传播剪切应力;
产生各微元体间受到 拉压作用而传播的涨 缩波（无旋波），这 时单元体只发生膨胀 或压缩，单元体对角 线不发生转动。
…
…
产生各微元体间受到 剪切作用而传播的畸 变波（等体积波）， 这时单元体只发生对 角线转动，其体积不 发生变化。
第八章 无限弹性介质中的弹性波
主讲教师：欧阳辉
中国地质大学力学教研室
无限弹性介质中的弹性波
声带振动，使周围空气获得一个密度的改变量,即产生一个 初始“扰动”。
无限弹性介质中的弹性波
手拨两端固定的琴弦，在其被拨处将产生一个速度或位移的 改变量，产生一个初始“扰动”。
无限弹性介质中的弹性波
炸药在地表层爆炸，使地应力获得一个改变，产生一个初始 “扰动”。