人教版初中数学第二十六章反比例函数知识点

第二十六章反比例函数一、学习目标

1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

k

y

x

=（k为常数，

k≠），能判断一个给定函数是否为反比例函数.

2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数

k

y

x

=（k为常数，0

k≠）的函数关系和性质，能利用这些

函数性质分析和解决一些简单的实际问题.

4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.

5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法.

二、知识结构

三、重点难点

1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.

2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.

四、中考所占分数及题型分布

本章一般会出1道选择或者填空，出1道简答题.

第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数

26.1.1 反比例函数

例、用函数解析式表示下列问题中的关系：

（1）京沪线铁路全程为1463千米，某次列车的平均速度v （千米/小

时）随此次列车的全程运行时间t （小时）的变化而变化

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪的长y （米）随宽x （米）的变化而变化

（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S 随全市总人口n （人）的变化而变化 上述解析式都具有k y x

=的形式，其中k 是非零常数. 1、一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x =

（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.

注：（1）．()0k y k x

=≠可以写成()10y kx k -=≠的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数()0k ≠这一限制条件；

（2）．()0k y k x

=≠也可以写成xy k =的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；

（3）．反比例函数k y x

=的自变量()0x ≠，故函数图象与x 轴、y 轴无交点. 例.下列等式中，哪些是反比例函数? 并指出常数k 的值.

（1）3

x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-

= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 （8）y=3x －1 例. 若函数12n y x -=是反比例函数，则n=______.

解：∵反比例函数自变量x 的系数为-1

∴n-1=-1，解得n=0

26.1.2 反比例函数的图象和性质

1．函数解析式： ()0k y k x =≠ 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线. k 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.

k 越小，图象的弯曲度越大.

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.

当0k >时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；

当0k <时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大.

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则(),a b --在双曲线的另一支上.

图象关于直线y x =±对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则(),b a 和(),b a --在双曲线的另一支上.

4．k 的几何意义

如图1，设点P （a ，b ）是双曲线()0k y k x

=≠上任意一点，作PA x ⊥轴于A 点，PB y ⊥轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是12

k ）. 如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为2k .

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

（2）直线1y k x =与双曲线2k y x =的关系： 当120k k ⋅<时，两图象没有交点；当120k k ⋅>时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 例. 已知反比例函数的图象经过点()2,6A .

（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？

（2）点()3,4B ，点142,425C ⎛

⎫-- ⎪⎝⎭

和()2,5D 是否在这个函数的图象上？ 解：（1）设函数表达式为xy k =，将点A 的坐标代入得：

26,12k k ⨯== ，则函数为12y x

=； 120>，所以函数分布在第一、三象限，根据图象可知： y 随x 增大而减小；

（2）将点B 、C 、D 的坐标分别代入得：

3412⨯=，所以点B 在此函数图象上；

()2.5 4.812-⨯-=，所以点C 在此函数图象上；

251012⨯=≠，所以点D 不在此函数图象上.

例. 正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x =

的图象有一个交点的横坐标是2. (1)当3x =-时，求反比例函数k y x =的值; (2)当31x -<<-时，求反比例函数k y x =的取值范围. 解：(1)在y x =中，当2x =时，2y =，则交点坐标是()2,2， 把()2,2代入k y x =

，得: 4k =， 当3x =-，43y =； (2)当3x =-时， 43y =； 当1x =-时，4y =-，