代数方程-解法

代数方程 解法

化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元

分式化整式：化整式的方法：去分母，换元

无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元

多元化一元：代入和加减消元

1.一元一次方程和一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要有四种：

（1）直接开平方法：

适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。

（2）配方法：

适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。

配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2=h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求

解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

其基本步骤是：

①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；

②把常数项移到等式的右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；

⑤利用直接开平方法解此方程

用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方

（3）公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式()

042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。

注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2-4ac ＜0时，原方程无实数解。

（4）因式分解法：

适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2.含字母系数的整式方程的解法

3.特殊的高次方程的解法

（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

的解法

二项方程的定义：

如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是 ),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+

二项方程的解法及根的情况：

一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为a

b x n -= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二项方程的根的情况：

对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ，

当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果0ab ，那么方程没有实数根。

（3）因式分解法解高次方程

解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。

用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。

例题 解下列方程：

（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2+x-2=0

解：（1）方程左边因式分解，得

x(2x 2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0

得x=0或x+4=0或2x-1=0