平面向量中的三角形四心问题教师版

平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要
工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与
重心到对边中点的距离之比为2：1。

结论1：
是三角形的重心
所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0
的重心
为故上
在中线同理可得上
在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GC
GB GA GC GB GA GC
GB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,
202
结论2：
的重心
是证明：的重心
是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆0
0)()()()(3
1)(3
1P
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：
的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA
HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心
故同理，有证明：H AB
HC CB HA AC
HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00
)(
结论4：
可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心
是所在平面内一点，则为若3)()(H 222222222
22222HA
HC HC HB HB HA HA
HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)
三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：
命题成立
证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则
是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆
结论6：
的外心
是（所在平面内一点，则
是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()
的外心为故故证明：ABC O OC
OB OA OA
OC OC OB OB OA OA
OC AC OA OC OC
OB CB OC OB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(
四、内心(incenter)
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心,即内切圆的圆心。

结论7：
的内心
是所在平面内一点，则
为若ABC P CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA OP ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ
的内心
为故的平分线上
在同理可得，平分线上
在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e AP AC AB OA OP e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,2121112
1λλ 结论8：
的内心
是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0
的内心是故是平分线
同理可得其他的两条也的平分线
是由角平分线定理，不共线，则
与由于证明：不妨设ABC P ACB CD a
b DB DA DB b DA a
c b a DB DA PC DB b DA a PC c b a PC c DB PD b DA PD a PC c PB PA a PC PD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=0
,0,0
)()(0)()(0b λλλλλ。