2020-2021学年山西省长治市第二中学校高二第一学期期中考试数学(文)试题 word版

长治市第二中学校2020-2021学年高二第一学期期中考试
数学试题（文科）
命题人【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．命题“0x ∀>，1
ln 1x x
≥-”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，01ln 1x x ≥- B ．00x ∃>，01ln 1x x <- C ．00x ∃>，0
1ln 1x x ≥-
D ．00x ∃≤，0
1ln 1x x <-
2．演绎推理“因为对数函数()10log y ≠>=a a x a 且是增函数，而函数x y 2
1log =是对数函数，所以x y 2
1log =是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．大前提和小前提都错误
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()q p ⌝∨⌝
B ．()q p ⌝∨
C ．()()q p ⌝∧⌝
D ．q p ∨
4．已知向量()2,-=λ,()1,1λ+=，则“1=λ”是“⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A ．10
B ．310
C ．210
D ．35
6．设三角形ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则c
b a S
r ++=
2；
类比这个结论可知：若四面体ABC S -的四个面的面积分别为4321,,,S S S S 内切球的半径为r ，四面体ABC S -的体积为V ，则r 等于（ ）
A ．
4321S S S S V
+++
B ．
43212S S S S V
+++
C ．4
3213S S S S V
+++
D ．
4
3214S S S S V
+++
7．命题“已知R b a ∈,,若022=+b a ，则0==b a ”的逆否命题是（ ） A ．已知R b a ∈,,若0≠≠b a ，则022=+b a B ．已知R b a ∈,,若0≠=b a ，则022≠+b a C ．已知R b a ∈,,若00≠≠b a 且，则022≠+b a D ．已知R b a ∈,,若00≠≠b a 或，则022≠+b a
8．设l n m ,,表示不同直线，γβα,,表示三个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l n l m ⊥⊥,，则n m // B ．若,//m m βα⊥，则βα⊥
C ．若γβγα⊥⊥,，则α//β
D ．若n m n m //,,==γβγα ，则βα//
9．在实数范围内，使得不等式11
>x
成立的一个充分而不必要的条件是（ ） A ．0>x
B ．1<x
C ．10<<x
D ．2
10<
<x 10．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工
的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为（ ） A ．
π43
8
+ B ．
π83
8
+ C ．π48+
D ．π88+
11．已知一块形状为正三棱柱111C B A ABC -(底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱)的
实心木材，321==AA AB 。

若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值为（ ） A ．4
π
B ．
C ．
D ．
12．棱长为2的正方形
中，为棱的
中点，点，分别为面
和线段
上的动点，
则周长的最小值为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置． 13．设a R ∈，命题:1p a ≤，命题2
:1q a ≤，则p ⌝是q ⌝的__________条件．(填“充要”“充
分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
14．已知一个棱长为6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm 的钢球，则
球心到盒底的距离为 cm ．
15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：
“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_______． 16．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱
锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）设命题():220p a x a a -≤≤+>，命题2:60q x x +-≤．
（1）若 1a =，命题“p q ∧”为真，求实数 x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．（本题满分12分）如图，在四棱锥
中，平面
，
，
．
（1）若
为
的中点，求证：
平面
；
（2）求三棱锥的体积．
19．（本题满分12分）如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 平面⊥,CD AD BC AD ⊥,//,
且 2=
=CD AD ,22=BC ,2=PA ．
（1）求证：PD CD ⊥；
（2）求直线AC 与PD 所成角的余弦值．
20．（本题满分12分）已知命题
：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；命题：关
于x 的方程02=+-a x x 有实数根
．
（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）如果“”为真命题，且“
”为假命题，求实数的取值范围．
21．（本题满分12分）如图，已知多面体111C B ABCA ，A A 1，B B 1，C C 1均垂直于平面ABC ，
120=∠ABC ，41=A A ，11=C C ，21===B B BC AB ．
（1）证明：1111C B A AB 平面⊥；
（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．
22．（本题满分12分）设命题
：函数的值域为
；命题：不等
式
对一切
均成立．
（1）若p ⌝为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题p ，q 至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围．
2020—2021学年第一学期高二期中考试数学答案（文科）
1-5BAAAB 6-10CDBDC 11-12CB
13. 充分不必要 14.10 15.丙 16.32
17.答案：1.当 1a =时, :13p x ≤≤ 实数x 的取值范围是[1,2] 2.由260x x +-≤得: 32x -≤≤ 若q 是p 的充分不必要条件,则[3,2]
-[]2,2a a -+
即023
a a >⎧⎨-≤-⎩所以5a ≥ 所以,实数a 的取值范围是[)+∞,5 18
19.（2）
6
6 20．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎨
⎧
a >0
Δ<0
⇔0≤a <4；
关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤1
4
；
(1)()[)+∞∞-,40,
(2)如果p 真，且q 假，有0≤a <4，且a >1
4
，
∴14<a <4；如果q 真，且p 假，有a <0或a ≥4，且a ≤1
4
，∴a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫
14，4.
21. (1)证明 由AB ＝2，AA 1＝4，BB 1＝2，AA 1⊥AB ，BB 1⊥AB 得AB 1＝A 1B 1＝22，所
以A 1B 21＋AB 21＝AA 2
1， 由AB 1⊥A 1B 1.
由BC ＝2，BB 1＝2，CC 1＝1，BB 1⊥BC ，CC 1⊥BC 得B 1C 1＝5， 由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°得AC ＝23，
由CC 1⊥AC ，得AC 1＝13， 所以AB 21＋B 1C 21＝AC 21
， 故AB 1⊥B 1C 1，又A 1B 1∩B 1C 1＝B 1， 因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1. (2)解 如图，过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，交直线A 1B 1于点D ，连接AD . 由AB 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1⊂平面ABB 1，得
平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1，由C 1D ⊥A 1B 1得C 1D ⊥平面ABB 1， 所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角． 由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21 得cos ∠C 1A 1B 1＝
67，sin ∠C 1A 1B 1＝1
7
， 所以C 1D ＝3，故sin ∠C 1AD ＝
C 1
D AC 1＝39
13
. 因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913
. 22、（1）若命题
是真命题，则有①当
时，符合题意；
②由，得，∴，∴所求实数的取值范围．
（2）命题是真命题，不等式对一切均成立，
（3）令，，，当，，∴．
(1) []2,0 (2)①若
真假，则，得；
②若假真，则，得．
③若
真真，得241
≤<a 综上，实数的取值范围[)+∞,0。