高中数学解题方法归纳与经典例题解析(PDF版)

A
C
B D
4
1A C
B D
4
1α
6043
A
C
B
D
O
x
y
高中数学解题方法归纳与经典例题解析
解法一：直接运算法（数量积公式、向量的加法）
CD
AB AC AB CD AC AB AD AB ⋅+⋅=+⋅=⋅)(
60cos ||||43
60cos ||||43CB AB AC AB CB AB AC AB +=⋅+⋅=142
1
44432144=⨯⨯⨯+⨯
⨯.解法二：三角函数法（余弦定理法）由余弦定理，得
132
1
3423460cos 222222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+= CD AC CD AC AD 13
=⇒AD 1327
13421)13(42cos 222222=
⨯⨯-+=⋅-+=AD AB BD AD AB α1413
27134cos ||||=⨯
⨯==⋅∴αAD AB AD AB .
解法三：建立坐标系法
取BC 的中点为O ，建立平面直角坐标系xOy 如图所示：
)32,0(A ，)0,2(-B ，)0,1(-D )32,2(--=AB ，)
32,1(--=AD 1432()32()1(22121=-⨯-+-⨯-=+=⋅⇒y y x x AD AB .
◆◇方法解读◇◆
解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。

解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。

在一定程度上也是解题不错的方法。

解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。

解法一：函数图像法
3
23
442=
=
a ，5
24=
b 由x y 4=的图像与性质知：
b
a >⇒>⇒>5
23
2445232①
3
23
442=
=
a ，3
23
1525=
=c 由)1(>=a a y x 的图像与性质知：a 值越大函数图像越靠近y 轴
a c >⇒>
⇒
3
23
245②
综上所述，得b a c >>.解法二：与特殊值比较法
b a b a >>⇒⎪
⎭⎪⎬⎫=<===>=222242
2255
54
5
23
33
4①
()
c a c a c a <⇒<<⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫=<
=
=<
=222
252
22313313
334②
综上所述，得b a c >>.
解法三：假设法（反证法）①假设b a >，则
1261515
5215
345
23
42424242=>⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⇒>
，假设成立
b
a >∴②假设c a >，则
251625225225243
313343
13
4
>⇒>⇒⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒>
，假设不成立c
a <∴综上所述，得
b a
c >>.
◆◇方法解读◇◆
解法一：函数图像法是解决比较大小题型的常用方法之一，此类题型一般都考察我们对指数函数、对数函数及幂函数的图像和性质的理解及掌握情况，因此要求同学们一定要熟悉掌握基本初等函数的有关图像与性质，做到融会贯通，灵活应用。

解法二：跟特殊值比较法是解决此类题型的专用方法，很有具有特殊和代表性。

这里的特殊值一般是
0或1，但有些时候也会跟其他特殊值比较，比如此题就是跟特殊值2作比较后得出了结论。

同学们要活学活用，灵活应对。

解法三：假设法是老师自己想出来的方法，但假设法（反证法）的确在高中学习中占有重要的地位，在数学和物理中经常用到。

有时候在题目中需要判断一种说法或命题是否正确，不妨假设其成立，再用逻辑推理证明，使问题迎刃而解。

解法一：二次函数图像法
x x x x y 63)36(2+-=-=1)
3(262=-⋅-=-
=⇒a b x 对1
=对x 2y x
O
3
)
2,0(,632∈+-=x x x y 3)1()(max ==∴f x f .
解法二：均值不等式法
由不等式+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤R b a b a ab ,,22
知
3
2)36(331)36(331)36(2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当x x 363-=，即1=x 时，等号成立
故3)1()(max ==f x f .
解法三：单调性法（求导法）
已知函数的定义域为)2,0(，则
66)(63)(2+-='⇒+-=x x f x x x f 2
10)(1
00660)(<<⇒<'<<⇒>+-⇒>'x x f x x x f )(x f ∴在)1,0(上单调递增，在)2,1(单调递减3)1()(max ==⇒f x f .
◆◇方法解读◇◆
解法一：二次函数图像法在初中阶段就已经深入学习，要用此法一定要充分掌握二次函数的图像和性质，
知道如何求二次函数的对称轴，最值等方法。

解法二：观察该函数的结构，可用均值不等式求其最值。

但是用均值不等式求最值一定要注意三个前提条件“一正、二定、三相等”，如果无法取到等号那讨论将失去意义，同学们应当特别注意。

解法三：通过求导得到函数的单调性，再将函数的极值与端点值进行比较，从而得到最值。

解法一：判别式法
x
x x y x x
y x x
y 22222
cos 1sin )cos 45(cos 45sin cos 45sin -==+⇒+=⇒+=
15cos 4cos 222=-++⇒y x y x
)
(x f y =令]1,1[,cos -∈=u x u ，则
154222=-++y u y u 0
)14(4)4(42222≥--=-=∆y y ac b 0
)1)(1)(12)(12(0)1)(14(01542224≥+-+-⇒≥--⇒≥+-⇒y y y y y y y y 以上是高次不等式，运用穿线法：
因此，有1-≤y 或2
1
21≤≤-
y 或1≥y ①
又由]
1,1[,154)(222-∈-++=u y u y u u f ⎪⎩⎪⎨⎧>=>=-0
9)1(0
)1(22y f y f 因此对称轴一定在)1,1(-内
2
221
242y y a b u -=⋅-=-=对
2
2
221212
<
<-⇒<-<-⇒y y ②
联立①②，解得2
1
21≤≤-
y .故函数的值域为⎦
⎤
⎢⎣
⎡-2
1,21.解法二：求导数法
x
x y cos 45sin +=
x
x x x x x x f cos 45)
sin 4()cos 45(21
sin cos 45cos )(21
+-⋅+⋅-+⋅=
'-x
x
x x x cos 45cos 45sin 2cos 45cos 2
++++⋅=
()2
3
2cos 452
cos 5cos 2+++=
x x ①0
)1)(cos 1cos 2(02cos 5cos 20)(2>++⇒>++⇒>'x x x x x f πππ23
432021cos 01cos 2<<<<⇒-
>⇒>+x x x x 或②3
4320)(ππ<<⇒
<'x x f )(x f ∴)32,
0(π上单调递增，在)34,32(ππ上单调递减，在)2,34(ππ
上单调递增00
450
)0(=⋅+=
f ，21214523
)3
2(
=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⋅+=π
f 21214523
)3
4(-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⋅+-=πf ，0
450)2(=⋅+=πf 2
1)34()(,2132(
)(min max -====ππf x f f x f ⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈∴21,21y .
解法三：换元法+均值不等式法
x
x y cos 45sin +=
令4
5
cos cos 45cos 4522
-=
⇒+=⇒+=u x x u x u 16910451cos 1sin 242
222-+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-=u u u x x 41851691628516916cos 45sin 222222
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⋅-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+=u u u u x x y 当且仅当22169
16u u =
，即3=u 时，等号成立2
121
412≤≤-⇒≤
∴y y 故函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-2
1,21.
O
x
y ),(00y x P ∙d
8
2+=x y
O
x
y
P
∙8
2:+=x y l m
x y l +='2:◆◇方法解读◇◆
解法一：对原函数进行整理后发现，这是一个关于cos x 的一元二次方程，这个方程肯定是有解的，因此将问题转化为解不等式Δ≥0的问题。

但这里的自变量是受限制的，即|cos x |≤1，也就是说这个方程在[-1,1]上一定有解，这是容易忽视的一点。

解法二：求导数法基本的思路是：先利用导数判断函数的单调性，从而得到函数的极值，再将极值与函数的端点值比较，进而得到最大值和最小值，最后得出函数的值域。

但是有时候求导比较困难，或者说容易粗心丢分，所
以要求同学们要足够的细心，还要有耐心。

解法三：注意到函数的解析式中有根号，一般要用换元法先将根号去掉，去掉根号后发现可以用基本不等式处理。

用均值不等式求最值要满足三个必要条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。

解法一：常规法
设P 点的坐标为),(00y x ，则
因为点P 在椭圆上1
9162
20=+⇒y x 2
0020209161691616y x y x -±=⇒-
=),9
1616(02
0y y P -
±∴2
2
02
02
2
00)
1(28
9
16162|
|-++--±=
+++=
⇒y y B
A C By Ax d 又3
30≤≤-y ∴只有当2
009
1616y x -
-=时才有最短距离即5
8
9
161625
8
9
1616202
002
0-+-=
+---=
y y y y d 令]3,3[,893
8
8916162)(22-∈-+-=-+-
=x x x x x x f ，则1
9381)2()9(2138)(221
2+--=+-⋅-⋅⋅='-x
x
x x x f ①2
2
2
9381938019380)(x x x x x x x f -<⇒<-⇒
>+--⇒
>'73
973
98173)9(964222<
<-
⇒<⇒-<⇒x x x x ②373
973
930)(<<-
<<-⇒<'x x x f 或
)(x f ∴在)73
9,3(-
-单调递减，在73
9739<
<-
x 单调递增，在
373
9<<x 单调递减
873739)(max -=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴f x f 即5
8735
)(max
min -=
-=
x f d .
解法二：数形结合法
当点P 到直线的距离最小时，设过点P 的直线方程为m x y l +='2:，如图所示，则
73
0)14416(734)64(4222±=⇒=-⋅⋅-=-=∆m m m ac b 显然舍去73-=m （这是距离最大的时候对应的截距）故0
732:=+-'y x l 因此最短距离即为两直线l l '与之间的距离
5
873||2
2
21min -=
+-=
∴B
A C C d .
解法三：参数方程法设)sin 3,cos 4(ααP ，则
5
|
8)sin(73|5
|
8cos 8sin 3|)1(2|
8sin 3cos 4
2||
|2
22
200-+=
--=
-++-⋅=
+++=
ϕαααααB A C By Ax d 当且仅当1)sin(=+ϕα时，5
873min -=
d .
◆◇方法解读◇◆
解法一：通常的思路是假设点P 的坐标，点P 又在椭圆上，因此满足椭圆方程，此时将有关y 的式子代替x ，使得未知数变为一个。

然后再利用点到直线的距离公式列出式子，最后转化为求解函数最值的问题。

此方法思路简单，但过程繁琐，不建议使用。

解法二：数学结合是解决高中数学最常用的方法之一，而且通过图形能够形象地反映问题的性质，便于分析和理解，是非常好用的解题方法。

解法三：本题最好的解决方法就是参数方程法，利用椭圆的参数方程，假设出点的坐标，最后将复杂的问题转化为求三角函数的最值问题，从而顺利、快速的解决了问题。

由此得到这样的启发：数学模块并不是孤立的，很多知识结构存在着这样或者那样的联系，这给我们学习数学增加难度的同时，也为我们提供了更多的解决问题的思
路和方法。

解法一：运算法
A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ⊆⇒= ，A 错误
B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误
C.A B A B A =⇒⊆ ，又φφ=⇒=A B C B B C U U ，C 正确
D.A B A B A =⇒⊆ φ≠⇒B A C U ，D 错误解法二：特殊值法
由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则A.()()A C B C B C A C U U U
U ⊆⇒⊆⇒⎩⎨
⎧==}3,2{}3{}3{}
3,2{，A 错误
B.()()U A C B C B C A C U U U U =≠=⇒⎩⎨
⎧==}3,2,1{}3,2{}
3{}
3,2{ ，B 错误
C.φ=⇒==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确
D.φ≠=⇒==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误
解法三：韦恩图法
如下图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误
.
解法一：复数的四则运算法
i i i i i i i i z i z i 2
2
32232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-+=
⇒+=- i z 2
2
3223+--=
∴⇒第四象限.解法二：利用相等复数法（待定系数法）设复数bi a z +=，则bi
a z -=i i
b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--⇒+=--⇒+=-∴⇒+--=+=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-⇒i bi a z b a b a b a 2232232232
232)(3第四象限.
◆◇方法解读◇◆
解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。

解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出a ，b 的值，这种方法在有些时候非要有用。

解法一：解方程法
将原式的不等号看成等号，得⎪⎩⎪
⎨⎧-==+= 1
12 2③②①y y x x y 由①②，得4521413321
411221=+⋅=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+=y x z y x y x x y 由①③，得25)1(21331
21122-
=-+⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅=+=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-=⇒⎩⎨⎧-==y x z y x y x y 由②③，得2
)1(13311
1123=-+⋅=+=⇒⎩
⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧-==+y x z y x y y x 比较321,,z z z 的大小，得z =3x +y 的最大值是2.解法二：作图法
x
y 2=12=+y x 1-=y y
x z
x y +-=3∙
P O
由图可知，只有当待定直线z x y +-=3过点)1,1(-P 时，直线的截距z b =才最大，即2)1(133=-+⋅=+=y x z man .
◆◇方法解读◇◆
解法一：解方程法虽然来得快，但是并不是所有线性规划题型都适用，具有一定的局限性。

解法二：作图法比较直观，但是很多同学作图不规范、区域找不准也容易造成丢分。

因此一定要掌握好作图法的精髓，避免不必要的丢分。

解法一：整体代入法
由题意，不妨设),(y x b =
，则
根据αcos ||||b a b a
=⋅，得
⎪
⎭⎫
⎝⎛-⋅+⋅-+=-21)1()3(32222y x y x 2
23y x x y +=-⇒①
又7)1()3(||)1,3(222
=--+-=-⇒---=-y x b a y x b a 2
3
)(2133)()3(22222+
--=-⇒+--=-⇒y x x y y x x y ②
联立①②，得
2
3||21||23)(2122
22
2
+
-=⇒++-=+b b y x y x 1||0)1|)(|3|(|03||2||2=⇒=-+⇒=-+⇒b b b b b
.
解法二：公式法2||a a
=由题意，得
7
||3
2cos ||||2||2)(||22222=+-=+⋅-=-=-b b a a b b a a b a b a
π0
3||2||7||21||22422=-+⇒=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅-⇒b b b b
1||0)1|)(|3|(|=⇒=-+⇒b b b .
解法一：直接求零点法令0)(=x f ，则
0)cos 1(sin 2cos sin 2sin 22sin sin 2)(=-=-=-=x x x x x x x x f 0
cos 10sin =-=⇒x x 或2
0π
π=
==x x x 或或故函数x x x f 2sin sin 2)(-=在]2,0[π上有3个零点.解法二：数形结合法（函数图像法）令02sin sin 2)(=-=x x x f ，则
x
x 2sin sin 2=令x x g sin 2)(=，x x h 2sin )(
=，则
)(x g y =和)(x h y =的图像如图所示：
由图可知：)(x g y =和)(x h y =的图像有三个交点因此函数x x x f 2sin sin 2)(-=在]2,0[π上有3个零点.解法三：求导数法
2
cos 2cos 4)1cos 2(2cos 22cos 2cos 2)(2sin sin 2)(22++-=--=-='⇒-=x x x x x x x f x x x f 令]1,1[,cos -∈=u x u ，则
]
1,1[,224)(2
-∈++-=u u u u h 1
21
0)1)(24((0224)(2=-=⇒=-+⇒=++-=u u u u u u u h 或6
7322110)(ππ<<⇒-
<<-⇒>x u u h （右图）πππ26
73201210)(<<<<⇒<<-⇒<x x u u h 或（右图）)(x f ∴在)32,
0(π上单调递减，在)67,32(ππ上单调递增，在)2,6
7(ππ
上单调递减0)67()32(0
)2(23167(2
332(0
)0(<⋅⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧=--===ππππ
πf f f f f f 又 函数)(x f 在)6
7,32(
π
π上严格单调递增)(x f ∴在)6
7,32(
π
π内必有唯一的零点综上所述，函数x x x f 2sin sin 2)(-=在]2,0[π上有3个零点.
◆◇方法解读◇◆
解法一：问函数在某定义域内有几个零点，最直接的方法就是将其零点求出来，但此题非常特殊，一般情况下是无法直接求出函数零点的，这时需要另寻他法。

比较常见的方法如零点定理法、函数单调性法、函数图像法等。

解法二：图像法是将一个函数的零点问题转化为另外两个函数图像的交点问题，即运用了数形结合的思想。

通过画出另外两个函数的图像，从图像上来看，两个函数有几个交点，原函数就有几个零点。

但注意这里的“交点”不再是函数图像与x
轴的交点。

解法三：除以上两种方法外，还可以用零点定理结合函数单调性解决该问题，这种方法综合性较强，但却是高中数学最常考的，因此同学们务必掌握！
解法一：解方程组法
5
1cos sin -
=+αα ①又1
cos sin 22=+αα ②
1)sin 5
1
(sin 22=--+⇒αα0
12sin 5sin 252=-+
⇒αα即0
)4sin 5)(3sin 5(=+-αα
解得53sin =α或5
4sin -=α由
5
3
sin 2=⇒≤≤απαπ54sin 51cos -=--=∴αα，43
5
453
cos sin tan -
=-==ααα74311
43
tan 11tan 4tan tan 14tan
tan )4tan(-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--=+-=+-=-∴ααπαπαπα.
解法二：整体代入法
ααααα
αααααπαπ
απαcos sin cos sin cos sin 11
cos sin tan 11tan 4tan tan 14tan
tan 4tan(+-=
+-=+-=+-=-5
1
cos sin -
=+αα ①
251cos cos sin 2sin 51)cos (sin 222
2
=
++⇒⎪⎭⎫
⎝⎛-=+αααααα25
12
cos sin 251cos sin 21-=⇒=
+ααααααααααααααcos sin 4)cos (sin cos cos sin 2sin )cos (sin 2222-+=+-=-25
49
25124512
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又0cos sin 2
>-⇒≤≤ααπαπ
5
7cos sin =-αα②
∴原式=75
157
cos sin cos sin -=-=+-ααα
α.
解法三：万能公式法
5
1cos sin -
=+αα 251cos cos sin 2sin 51)cos (sin 222
2
=
++⇒⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+⇒αααααα25
24cos sin 22sin -
==ααα012tan 25tan 122524tan 1tan 22sin 2tan 12tan
2sin 222=++⇒-=+=⇒+=
αααααx x
x 0
)3tan 4)(4tan 3(=++⇒αα解得)
(3
4tan 43
tan 舍或-=-=αα74311
43
tan 11tan 4tan tan 14tan
tan )4tan(-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--=+-=+-=-∴ααπαπαπα.
◆◇方法解读◇◆
解法一：解方程组法是非常常规的方法，是大多数同学普遍使用的方法。

但是应用该方法计算相当繁琐，而且不易计算。

解法二：观察所求式子的结构，采用整体代入法是本题的技巧，但是该方法不是所有题目都适用，同学们要灵活的运用，不能死记硬背，机械记忆。

解法三：此题也可以用万能公式法，但是很多同学记不住万能公式。

因此有些必要的公式还需要同学们加强记忆和巩固，只有基本功扎实了，才能应付灵活多变的数学难题。

解法一：距离公式法
C B A ,,三点共线AC
BC AB =+⇒取O 点的坐标为)0,0(，则
)2,(k A ，)3,2(-B ，)4,3(-k C 2
2)23()2(-+--=⇒k AB
x
y
O 8
8-22)34()23(--++=⇒k BC 2
2)24()3(--+-=⇒k k AC 由AC BC AB =+，解得3-=k .解法二：共线向量法
C B A ,,三点共线AC BC AB ////⇒)1,2()2,()3,2(k k OA OB AB --=--=-=①
)7,23()3,2()4,3(-+=---=-=k k OB OC BC ②
//1221=-⇒y x y x BC AB 301)23()7()2(-=⇒=⋅+--⋅--k k k .
解法三：斜率法
C B A ,,三点共线AC
BC AB k k k ==⇒又 )2,(k A ，)3,2(-B ，)
4,3(-k C k
k k AB --=
---=∴21
223①2
37
)2(334+-=
----=
k k k BC ②
32
3721-=⇒+-=--⇒=k k k k k BC
AB .◆◇方法解读◇◆
解法一：距离公式法属于常规法，容易想到。

但应用此法主要的困难是去掉根号这一步，要等式两边同时平方两次才能将根号去掉，计算量相当大，一般来说不建议应用此方法。

解法二：将三点共线问题转化为共线向量问题，是解决该题最好的方法和思路。

因此在以后遇到的数学问题当中，转化思想仍然值得每位同学理解和掌握。

解法三：斜率法也是解决该题很好的方法，应用此法可以减少很多计算，过程简单，逻辑鲜明。

解法一：偶函数特性法
由题意，得8438<-<-x 43
4
1234<<-⇒<<-⇒x x 即不等式的解集为)4,3
4(-.解法二：特殊函数法
由题意，不妨取2
)(x x f -=，则
2
28)43()8()43(->--⇒>-x f x f 0)43)(123(64162492<--⇒<+-⇒x x x x 43
4
<<-
⇒x 即不等式的解集为)4,3
4(-.
◆◇方法解读◇◆
解法一：根据偶函数的定义和性质，画出草图，便于分析结论。

草图只要满足题意，可以任意画，只要方便解题即可。

解法二：特殊函数法是解决此类问题非常好的方法之一。

首先题干只给了函数的某些性质，具体解析式并没有直接给出，这是典型的抽象函数。

同学们可根据题干描述，找到性质与之相对应的特殊函数，
从而使问题迎刃而解。

这种方法在选择题或填空题中非要好用，因为它并不要求过程的严谨性，但用此法的前提是要熟悉一些常见函数的图像与性质。

解法一：图像平移法
75)2(2++=-x x x f 是将)(x f 的图像向右平移2个单位长度得到
因此再将75)2(2++=-x x x f 的图像向左平移
2个单位长度，得
21
97)2(5)2()22(22++=++++=-+x x x x x f 即219)(2++=x x x f .
解法二：赋值法
为了得到)(x f ，不妨令2+=x x ，则
21
97)2(5)2()22(22++=++++=-+x x x x x f 即219)(2++=x x x f .解法三：换元法令2-=x u ，则2
+=u x 75)2(2
++=-x x x f 2197)2(5)2()22(2
2
++=++++=-+⇒u u u u u f 21
9)(2++=⇒u u u f 即219)(2++=x x x f .解法四：构造法
7
544)44(75)2(22++-++-=++=-x x x x x x x f 21
)2(9)2(318)189()2(39)2(2
2
2
+-+-=++-+-=++-=x x x x x x 将2-x 看成整体x ，即219)(2++=x x x f .解法五：待定系数法（特殊值法）由题意知，)(x f 为二次函数不妨设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则由75)2(2++=-x x x f ，得
当2=x 时，有c
b a f +⋅+⋅=+⋅+=007252)0(2
2
①
当0=x 时，有c b a f +-⋅+-⋅=+⋅+=-)2()2(7050)2(22②
当3=x 时，有c b a f +⋅+⋅=+⋅+=117353)1(22③
联立解得21,9,1===c b a 即219)(2++=x x x f .
◆◇方法解读◇◆
解法一：应用图像平移法一定要清楚函数图像平移的原则：左加右减，上加下减。

左右平移变化的是x (横坐标)，上下平移变化的是y (纵坐标)。

解法二：赋值法的本质是换元法，所以此方法与换元法相一致，值得一提的是x =x +2的意思是将x +2赋给x ，这里的等号不是严格意义上的等号，否则出现0=2的逻辑错误。

解法三：换元法是求函数解析式最重要的方法之一，同学们一定要熟悉掌握。

但此方法也有局限性，不是所有题
目都适用，有些题目只能用其他方法如解方程组法、整体代入法等。

解法四：构造法也叫配凑法，也是求函数解析式常用的方法之一，配凑的原则是“形式一致性”，只有配凑与函数自变量一致的形式，才能整体换元。

解法五：待定系数法最重要的思想是已知函数的类型，从而假设出函数的解析式，进而转变为求函数的系数或参数。

解法一：利用复合函数的求导法则
)209ln()(2+-=x x x f 的定义域为0)5)(4(02092>--⇒>+-x x x x 5
4><⇒x x 或令209)(2+-=x x x u ，则2
92=-
=a b x 对)(x u ∴在)4,(-∞单调递减，在),5(+∞单调递增
又u u f ln )(= 在),0(+∞上单调递增
故)(x f 在)4,(-∞单调递减，在),5(+∞单调递增
解法二：利用导数与函数单调性的关系
)209ln()(2+-=x x x f 的定义域为),5()4,(+∞-∞ 20
992)209(20
91)(222+--=
'+-⋅+-=
'x x x x x x x x f 52
9
0920)(>⇒>
⇒>-⇒>'x x x x f。