高中数学解题方法归纳与经典例题解析(PDF版)

A

C

B D

4

1A C

B D

4

1α

6043

A

C

B

D

O

x

y

高中数学解题方法归纳与经典例题解析

解法一：直接运算法（数量积公式、向量的加法）

CD

AB AC AB CD AC AB AD AB ⋅+⋅=+⋅=⋅)(

60cos ||||43

60cos ||||43CB AB AC AB CB AB AC AB +=⋅+⋅=142

1

44432144=⨯⨯⨯+⨯

⨯.解法二：三角函数法（余弦定理法）由余弦定理，得

132

1

3423460cos 222222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+= CD AC CD AC AD 13

=⇒AD 1327

13421)13(42cos 222222=

⨯⨯-+=⋅-+=AD AB BD AD AB α1413

27134cos ||||=⨯

⨯==⋅∴αAD AB AD AB .

解法三：建立坐标系法

取BC 的中点为O ，建立平面直角坐标系xOy 如图所示：

)32,0(A ，)0,2(-B ，)0,1(-D )32,2(--=AB ，)

32,1(--=AD 1432()32()1(22121=-⨯-+-⨯-=+=⋅⇒y y x x AD AB .

◆◇方法解读◇◆

解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。

解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。在一定程度上也是解题不错的方法。

解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。

解法一：函数图像法

3

23

442=

=

a ，5

24=

b 由x y 4=的图像与性质知：

b

a >⇒>⇒>5

23

2445232①

3

23

442=

=

a ，3

23

1525=

=c 由)1(>=a a y x 的图像与性质知：a 值越大函数图像越靠近y 轴

a c >⇒>

⇒

3

23

245②

综上所述，得b a c >>.解法二：与特殊值比较法

b a b a >>⇒⎪

⎭⎪⎬⎫=<===>=222242

2255

54

5

23

33

4①

()

c a c a c a <⇒<<⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫=<

=

=<

=222

252

22313313

334②

综上所述，得b a c >>.

解法三：假设法（反证法）①假设b a >，则

1261515

5215

345

23

42424242=>⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⇒>

，假设成立

b

a >∴②假设c a >，则

251625225225243

313343

13

4

>⇒>⇒⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒>

，假设不成立c

a <∴综上所述，得

b a

c >>.

◆◇方法解读◇◆

解法一：函数图像法是解决比较大小题型的常用方法之一，此类题型一般都考察我们对指数函数、对数函数及幂函数的图像和性质的理解及掌握情况，因此要求同学们一定要熟悉掌握基本初等函数的有关图像与性质，做到融会贯通，灵活应用。

解法二：跟特殊值比较法是解决此类题型的专用方法，很有具有特殊和代表性。这里的特殊值一般是

0或1，但有些时候也会跟其他特殊值比较，比如此题就是跟特殊值2作比较后得出了结论。同学们要活学活用，灵活应对。解法三：假设法是老师自己想出来的方法，但假设法（反证法）的确在高中学习中占有重要的地位，在数学和物理中经常用到。有时候在题目中需要判断一种说法或命题是否正确，不妨假设其成立，再用逻辑推理证明，使问题迎刃而解。

解法一：二次函数图像法

x x x x y 63)36(2+-=-=1)

3(262=-⋅-=-

=⇒a b x 对1

=对x 2y x

O

3

)

2,0(,632∈+-=x x x y 3)1()(max ==∴f x f .

解法二：均值不等式法

由不等式+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤R b a b a ab ,,22

知

3

2)36(331)36(331)36(2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⋅≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当x x 363-=，即1=x 时，等号成立

故3)1()(max ==f x f .

解法三：单调性法（求导法）

已知函数的定义域为)2,0(，则

66)(63)(2+-='⇒+-=x x f x x x f 2

10)(1

00660)(<<⇒<'<<⇒>+-⇒>'x x f x x x f )(x f ∴在)1,0(上单调递增，在)2,1(单调递减3)1()(max ==⇒f x f .

◆◇方法解读◇◆

解法一：二次函数图像法在初中阶段就已经深入学习，要用此法一定要充分掌握二次函数的图像和性质，

知道如何求二次函数的对称轴，最值等方法。

解法二：观察该函数的结构，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要注意三个前提条件“一正、二定、三相等”，如果无法取到等号那讨论将失去意义，同学们应当特别注意。

解法三：通过求导得到函数的单调性，再将函数的极值与端点值进行比较，从而得到最值。

解法一：判别式法

x

x x y x x

y x x

y 22222

cos 1sin )cos 45(cos 45sin cos 45sin -==+⇒+=⇒+=

15cos 4cos 222=-++⇒y x y x