高等数学导数的概念1

联系：函数 f (x)在点 x0处的导数 f (x0) 就是导函数
f (x) 在 x x0处的值，即
f (x0 ) f x xx0
注：通常，导函数也简称为导数．
练习1 [电流强度]
设有非稳恒电流通过导线．通过该导线横截面的电量为
Q Qt. 求时刻 t0 的电流强度 I t0 .
I t0
导数的意义 (1) 已知变速直线运动路程函数S = S (t)，瞬时速度
t0 s(t0 )
(2)已知非均匀金属杆[0, x]上的质量函数m m(x)
在x0 (x0 [0, x])处的线密度x0 m(x0 )
(的3)切曲线线斜y=率f(x）k 在 点f M(x（0 )x0，f (x0)）处
★ 这时，对于任一 x I ,都有唯一确定的导数值 f (x）与之对应，这样就构成x的一个新函数， 这个新函数叫做函数 f (x) 的导函数.
记作 y, f (x), dy 或 df (x) dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
导数与导函数的区别与联系 区别： f (x0 ) 是一常数。 f (x) 是一函数。
f ( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
2、单侧导数
左导数:
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) ;
右导数:
f
(
x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) ;
函数 f ( x)在点 x0处可导 f ( x0 )= f ( x0 ).
x 1 x
y
1
(3) lim lim
1
x0 x x0 1 x
即f (1) 1
由于切点(1,1)
k切线 1，k法线 1，
切线方程： y -1 -1(x -1),即x y - 2 0
法线方程： y -1 1(x -1),即x y 0
例:求 y x2在任意点x (x (,))处的导数，
第二章 导数与微分
在许多实际问题中，需要的研究某个变量相对 于另一个变量变化的快慢程度--- 速度。如物体的 运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应 速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归 结为函数的变化率问题，即导数。
第一节 导数的概念
一、实例 二、导数的概念 三、导数的基本公式 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系
并求 f (1)
解 (1)y f (x x) f (x) 2xx (x)2
(2) y 2x x x
(3) lim y lim (2x x) 2x 即f (x) 2x
x x0
x0
f (1) 2(1) 2
可见 y x2在 (,) 内每一点可导
3. 导(函)数
★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点处 都可导, 就称函数 f (x)在开区间I内可导.
lim v
t 0
lim s t0 t
lim t 0
f
(t0
t) t
f (t0 )
2、金属杆的线密度
设一根质量非均匀分步的细杆放x在轴上，在
[0,x]上的质量m=m(x），求杆上 x0处的线密度
解 细杆[0，x0 ]的质量m m(x0 )， o x0 x0 x
x
在[0，x0 x]质量m m(x0 x),
y f (x) BB
y
x
xx0 0xx
C x
(2)切线AC的斜率为割线AB的斜率的极限。
即
tatng llixximm00ttagnllxiixmm00
yy xx
lim x0
f (x0 x) f (x0 ) 。 x
变化率数学模型
以上例子如果不考察问题的实际内容，从研究的问题 来看，都是瞬时变化率问题，从数学结构来看，都具有 完全相同的数学模型
一、引例
1.变速直线运动的瞬时速度问题
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。
求t0时刻的瞬时速度v(t0 )：从t0到t0 t这段时间内,
平均速度
v s f (t0 t) f (t0 )
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t
t
当 t 0时, 平均速度的极限为
s
f (t0 ) f (t0 t)
瞬时速度
v(t0 )
于是在x这段长度内，细杆的质量为 m m(x0x) m(x0)
平均线密度为
m
m( x0
x)
m( x 0 )
x
x
细杆在x 0 处的线密度 ( x0
)
lim
x0
m(x0
x) x
m(x0
)
3.曲线的切线问题
明确:(1)什么是切线? (2)如何求切线?
说明
（1)x0点的切线AC 是割线AB极限
y
A
0
x0
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
平均变化率 y
x
某点的变化率 lim y
x0 x
二、导数的定义
1、定义
设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义。如果极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，
x0 x x0
x
则称函数f(x)在点x0处可导，且称此极限值为函数f(x) 在点x0处的导数,记为
即
f
( x0
),
y
/
x x0
,
dy dx
/
x x0
,
df (x) dx
/
x x0
f
( x 0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
。
如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导。
注意
(1) f (x0 )表示函数f (x)在x0处的变化速度
（2）导数定义其它形式
案例 [汽车的行驶速度]
单位时间通过
的路程
若物体作匀速直线运动，则其速度为常量 v s t
例如：小王驱车到80km外的一个小镇，共用了2个
小时， v s 80 40 (km/h)为汽车行驶的平均
t 2
速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在
不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算
汽车行驶的瞬时速度呢?
（导数的几何意义）
y
f(x0) O
y=f(x)
法线
M
x0
切线方程为：
yy 0f (x 0)(xx 0)。 法线方程为：
yy 0
f
1 (x0 )
(xx 0)。．
x
例:求 y 1 在x=1处的导数，并求曲线在这点处的 切线方程、x 法线方程。
解 (1)y f (1 x) f (1) x
1 x (2) y 1
lim
t 0
Q t
lim Qt0
t 0
t Qt0
t
I t0 Qt0