关于摩擦及其模型详述

关于摩擦及其补偿方法
众所周知，具有相对运动或相对运动趋势的两个接触面间会产生摩擦力。

摩擦效应依赖于许多因素，如位置、接触面间的相对速度、接触面材料的特性、是否存在润滑以及温度等等，它们中的任何一个发生改变都会引起摩擦力的变化。

因此，摩擦是一种比较复杂的现象,其特性有很大的差异,人们至今也未能完全洞悉其机理。

为了克服摩擦给伺服系统带来的危害，提高伺服系统的性能，人们希望从控制角度出发，能建立一个能比较全面反映摩擦现象的模型。

多年来，人们通过实验对摩擦现象进行研究，提出了各种各样的、形式迥异的摩擦模型，这些模型都大致精确地描述了各种摩擦分量。

到目前为止，已提出的摩擦模型有 30多种，已有不少文献对主要的摩擦特征及模型进行了综述。

我们仅对控制问题中常用的摩擦模型进行概述，很多模型不适合或者极少应用在控制问题中，这里就不再赘述。

最简单也是最常使用的摩擦模型为库仑模型（如图1-1(a)所示），其形式如下：
其中，F 为摩擦力，v为两接触面间的相对速度，摩擦力大小为。

库仑模型没有指定零速率处的摩擦力大小，它可能是零或者取−到之间的任意值，这主要看符号函数如何定义
库仑+粘滞摩擦模型（如图1-1(b)所示）形式如下：
其中，β是粘滞摩擦系数，Fc是库仑摩擦。

静摩擦是两接触面间有相对运动趋势但无相对运动时产生的摩
擦力，当施加的外力小于最大静摩擦力时，静摩擦同所施加的外力相抵消从而使物体保持静止。

因此，静摩擦可以建模为外加力的函数：
式中Fe 是外加力，Fs 是最大静摩擦力，它是由静摩擦变化到库仑摩擦的极限值。

在模型(1-2)中加入静摩擦，便成为经典的“静摩擦+库仑+粘滞摩擦模型”，也叫 Kinetic 摩擦模型，如图 1-1(c)
所示。

Stribeck 通过实验观察看出，从静摩擦到动摩擦的过渡并非像图 1-1(c)所示的那样是不连续的。

实际上，摩擦力由最大静摩擦变为库仑摩擦是一个连续的过程，如图 1-1(d)所示，相应模型称为Stribeck 摩擦模型或者 GKF 摩擦模型，它是比 Kinetic 摩擦模型更一般的摩擦描述：
其中 F (v)为任意函数，其曲线应该具有图 1-1(d)那样的形状。

基于这种考虑，提出了多种不同的能够解释 Stribeck 效应的连续函数形式。

所谓Stribeck效应，是指在低速率区域摩擦随着速率的增大而减小的现象。

使用最多的是如下形式的非线性函数：
将形如(1-4)式的 GKF 摩擦模型用于仿真或控制目的时，遇到的主要困难是零速率的检测问题，这给零速率附近的数值计算带来了很大麻烦。

直到 1985 年，Karnopp提出了一种简化模型，才解决了该
问题，从而避免了在停滞和滑动两种状态下的不同状态方程之间的频繁切换。

Karnopp 模型定义了一个零速率区间，即 v < DV，DV 为一非常小的正数以保证仿真中数值积分算法的稳定，任何在这一零速率区间内的速率都被认为是零速率（概念上的零速率）。

Karnopp 模型形式如下：
此前分析的所有模型都属于静态摩擦模型，因为摩擦力仅依赖于当前速率值。

而同变化的最大静摩擦力、预滑位移以及摩擦记忆等动态摩擦特性相关的摩擦现象只能通过动态模型来描述。

著名的 Dahl 模型是对动态摩擦特性的最简单描述，通过引入一个内部状态变量z ，Dahl 模型可以定义如下：
其中，σ为表征鬃毛刚度的参数。

Dahl模型虽然能反映摩擦记忆现象，但却不包括静摩擦，也不能描述Stribeck效应。

所谓摩擦记忆就是接触面间相对运动速度发生改变时，摩擦力滞后一段时间才会改变的现象。

1995年，C. Canadus de Wit等人在Dahl模型的基础上提出了Lugre摩擦模型，给状态变量赋予了确切的物理含义，且适当地选择了函数 f 和 g 的表达式，使这一模型不但可以描述增加的静摩擦力及摩擦记忆现象，而且可以描述Stribeck曲线,是目前较为完善的一个模型。

Lugre动态摩擦模型定义如下：
函数 g (v)和 f (v)分别代表Stribeck 效应和粘滞摩擦。

在常值速率下，即 dz/ dt=0时，稳态摩擦力由下式给定：
g (v)和 f (v)可能有多种不同的参数化方法，最常用的方法是使得稳态摩擦力的表达式具有式(1-5)那样的形式。

考虑不同系统中存在不同种类的摩擦现象，因此采用不同的摩擦模型、使用不同的控制策略，从而提出了各种各样的摩擦补偿方法。

可以按照不同的标准对各种摩擦补偿方法进行分类，一般根据是否使用摩擦模型将其分为基于非模型的摩擦补偿方法和基于模型的摩擦
补偿方法。

这里，我们根据所采取的控制策略的不同将摩擦补偿方法分为以下五种类型
基于非模型的摩擦补偿
这类方法的思想是把摩擦看作一种外部扰动，通过改变控制结构或控制参数来提高系统抑制扰动的能力，从而抑制摩擦。

很显然，基于非模型的补偿方法补偿的不仅仅是摩擦，而且还包含作用在系统上的所有其它扰动。

这种补偿方法涉及到 PD/PID 控制、高频振动控制、脉冲控制、力矩反馈控制、鲁棒控制以及变结构控制等。

(1) PD/PID 控制
高增益PD控制是人们最早使用的抑制摩擦非线性的控制器。

PD
控制中的微分项能增大系统阻尼，由于摩擦记忆特性，采用高增益PD 控制可以在一定程度上改善低速跟踪性能，抑制爬行现象。

但采用PD 控制会导致稳态误差，提高控制增益虽然能够减小稳态误差，却终究无法消除，况且增益过高还会导致系统不稳定。

为此，加入积分控制，虽然消除了稳态误差，但在系统存在滞-滑运动的情况下又会引起极限环。

为了克服不期望的极限环现象，一种常用的方法是在积分环节中引入死区非线性。

Brandenburg和Schafer等分析了采用积分控制时系统的动态特性以及相应的补偿技术。

B. Armstrong 采用因次分析和扰动分析方法对运动系统中的滞滑问题进行了分析，将滞滑现象建模为系统被控对象和控制器参数的函数，并对其进行了预测。

H. Olsson 讨论了采用描述函数法预测控制系统中滞滑极限环的不同方法。

Armstrong设计了一种非线性PID控制器(NPID)，即应用一种具有时变增益的状态反馈NPID控制律，根据系统条件来调整PID各项的增益值，从而更好地对摩擦进行抑制、提高跟踪精度。

(2) 高频振动控制
Martins利用高频振动信号来平滑零速度附近摩擦的非连续性，从而达到改善摩擦影响的目的。

L. Horowitz等则研究了振动信号的频率对补偿效果的影响。

(3) 脉冲控制
脉冲控制就是在系统中施加大振幅、短周期的控制作用，它可以变静摩擦为动摩擦，从而改善系统的低速性能。

脉冲控制与高频振动控制不同，脉冲序列直接驱动执行元件运动到给定位置，而振动信号是一种叠加在输入信号上的高频信号，并不能单独使系统产生运动。

S.Yang 等提出在低速时采用脉冲控制，并自适应调整脉冲宽度。

B. Armstrong 等将脉冲控制应用到机器人系统中。

(4) 力矩反馈控制
力矩反馈控制是一种基于力矩传感器的控制技术，通过在联接轴上安装力矩传感器对输出净力矩进行测量，形成力矩反馈回路来稳定净力矩。

传感器安装在负载端，这样就能将摩擦环节包括在力矩闭环内，如果力矩闭环有足够的带宽，就能很好地抑制摩擦力矩和其它干扰力矩的影响。

G. Morel 等在机器人关节控制中，提出将力矩传感器安装在机器人基部，然后由基部测量的力矩信号计算出各关节上的净力矩，构成力矩反馈回路。

虽然这种方法具有不依赖于模型、控制效果好的优点，但由于传感器价格高、安装困难，且安装后增加了系统柔性，所以其应用并不广泛。

(5) 鲁棒控制
近年来，许多研究者采用基于干扰观测器的鲁棒控制进行摩擦补偿，其原理是通过建立控制对象的名义模型，由实际对象和名义模型之间的输出误差，得到包括摩擦在内的各种干扰力矩的等效力矩，然后对其进行补偿。

由于该方法是一种线性补偿方法，它对摩擦非线性的补偿程度取决于Q滤波器的带宽，而该带宽的提高又受到实际系统中机械谐振等因素的限制，这正是采用该补偿方法所存在的问题。

A. Tesfaye等采用数值优化方法，使系统灵敏度函数和选定的目标灵敏度函数达到匹配，降低了对名义模型精确程度的要求。

Chen
通过设计一个非线性扰动观测器来实现摩擦补偿，虽然被控系统的稳定性证明是在扰动项为慢时变的假设下得出的，但仿真和实验结果表明，所设计的观测器也能够跟踪某些快速变化的扰动。

M. Iwasaki
通过扰动观测器对库仑摩擦参数进行估计，从而实现速率/位置的高精度控制。

其它相关工作可以参见文献。

(6) 变结构控制
变结构控制是一种非线性控制，也广泛应用在伺服系统的摩擦补偿中。

K. K.Young 等考虑到速度过零时摩擦的不连续性，提出一种基于变结构的摩擦补偿方法。

S. Sivakumar 等总结了摩擦模型的共同特性，在此基础上提出了伺服系统滑模控制的一般设计方法。

P. Korondi 设计了一种基于滑动模态的非连续扰动观测器，从而对系统中的参数不确定性和外部扰动进行反馈补偿。

Q. P. Ha在速率已知和速率未知两种情况下分别提出了基于变结构的观测器对慢时变的摩
擦力进行估计，并基于该估计值对摩擦进行前馈补偿；此外，针对摩擦力可变且存在已知上界的情况，提出了一种鲁棒滑模控制方法
固定摩擦补偿
这类方法是将一个固定的摩擦补偿项加入到一个标准控制算法中。

该固定补偿项是基于某种指定的摩擦模型，并通过特别的辨识过程离线辨识出摩擦参数而得到的。

只有当随时间、温度等引起的摩擦变化可以忽略并且摩擦参数离线估计得非常准确时，使用这类方法才能获得满意的结果。

显然，用来定义补偿项的摩擦模型必须足够精确。

在跟踪和定位两种情况下比较了基于简单的库仑+粘滞摩擦模型和基于非线性的 Stribeck 摩擦模型时的补偿效果，正如所期望的，
当在标准控制算法上加上第二种摩擦补偿项时，系统获得了较好的跟踪或定位性能。

当然这也得益于对摩擦模型参数的细致的离线辨识。

针对一个三旋转接点机器人，基于一种三 S 型函数摩擦模型，提出了一种固定摩擦补偿方法。

由于摩擦模型中不包含静摩擦，因此对静摩擦的补偿只能通过积分控制进行。

通过具有摩擦补偿的逆动力学控制方案，在手写试验中获得了非常好的结果。

考虑接点摩擦时两自由度直接驱动机械手的速率控制问题。

分别在采用逆动力学控制方案和类 PD 控制方案两种情况下比较了基于改进的Dahl 模型和基于传统的库仑+粘滞模型时的补偿效果。

同样，所有摩擦参数均通过离线辨识获得，Dahl 模型中不可测的摩擦状态通过设计观测器估计得到。

研究摩擦模型为 Stribeck 模型时的固定补偿问题，并且都通过一个状态观测器估计得到速率信号。

结合系统的实际情况采用一种改进的Stribeck 摩擦模型进行固定补偿，并分析了补偿对系统造成的影响。

研究摩擦模型为 Lugre 模型时的固定补偿问题，控制输入由位置或者速率控制器加上一个根据 Lugre 动态摩擦模型估计得到的摩擦补偿项组成，所有的摩擦参数均假设为已知（即通过离线辨识得到），而不可测的摩擦状态则通过一个观测器估计得到。

基于摩擦特征部分已知的摩擦补偿
和固定摩擦补偿类似，基于摩擦特征部分已知的补偿方法也是在标准控制算法上加上一个摩擦补偿项，不过不需要知道确切的摩擦模型，只需要知道一些主要的摩擦特征，例如最大静摩擦力。

所要求的摩擦特征参数也是离线估计得到的。

作用在机器人的每个节点上的力矩都根据 Karnopp 模型进行描述。

为了消除稳态误差，在标准 PD 控制算法的基础上引入一个特定的非连续非线性补偿项，只要静摩擦的上界是已知的，便能证明滞-滑摩擦系统是渐近稳定的。

近年来，人们又对这种方法进行了改进和提高，特别是将这种方法进行扩展，从而应用到数字控制系统中。

对于数字控制系统，由于采样-保持操作会引起时间延迟，进而可能造成稳定的极限环。

Kang 提出了一种新的鲁棒数字摩擦补偿器，它由位置反馈环的数字比例控制器+滞后摩擦补偿器部分和速率反馈环的模拟微分控制器部分组成，整个系统的稳定性依赖于采样间隔、速率依赖死区的上下界以及最大静摩擦力的值。

自适应摩擦补偿
人们采用基于模型的自适应补偿方法进行在线摩擦补偿。

这种方法是基于一个特定的静态或者动态摩擦模型，摩擦参数通过在线估计得到，从而使系统即便在摩擦参数发生变化的情况下也能获得满意的补偿结果。

由于摩擦特性会随着时间、温度和系统的运行条件变化而发生变化，为了在不同情况下保持稳定、满意的控制性能，自适应摩擦补偿方法很自然的成为受人们欢迎的解决方法。

自 90 年代初以来，这种方法引起了广大研究者的极大兴趣。

然而，当采用一个完善的动态模型进行摩擦补偿时，会遇到两个主要问题：第一，某些摩擦参数以一种非线性的形式出现在摩擦模型中；第二，依赖于未知摩擦参数的内部摩擦状态是不可测的。

Gilbart最早提出采用模型参考自适应控制补偿库仑摩擦的控制方案，其中设置了一阶参考模型，通过选择李氏函数来消除其中的加速度项。

Friedland和 Park 针对库仑摩擦模型采用非线性降阶观测器估计库仑摩擦参数，并保证在速度不为零的条件下参数估计误差渐近收敛到零。

在此基础上，A. Yazdizadeh提出了构建库仑摩擦参数观测器的一般形式，并且实现了在系统速度不为零的情况下参数估计误差的渐近收敛。

上述两种方法仅考虑了参数估计误差的收敛性，却不能保证整个系统的稳定性。

针对该问题，T.L. Liao 提出了一种指数稳定的自适应摩擦补偿方案，通过自适应观测器估计未知的库仑摩擦参数，并采用一种线性化的控制律实现系统的渐近跟踪。

J. T. Huang 将方法进行了扩展，从而在系统中的摩擦为库仑+粘滞模型时仍能很好地估计摩擦参数并实现渐近跟踪。

提出的基于观测器的固定摩擦补偿方案基础上探讨了自适应的情况，从而解决了两种情况下“结构化”的摩擦变化问题。

在第一种情况下，假设除了粘滞摩擦系数外的所有静态摩擦参数由于法向力的变化而发生一致变化，而由于两接触面的材料及它们之间的润滑情况没发生变化，所有动态摩擦参数均不变。

在第二种情况下，由于温度的变化及接触面材料的磨损，所有静态和动态的摩擦参数均发生一致变化。

两种情况下的一致性摩擦参数变化均可通过唯一的可变参数来描述，基于此提出了两种不同的自适应控制器。

进一步完善了摩擦补偿方法，提出了三种不同的观测器来估计不可测的摩擦状态，从而使得系统的输入反馈控制部分不需要必须满足一个严格正实条件，并在此基础上提出了两种自适应摩
擦补偿方案。

第一种控制器补偿了除 Stribeck 效应相关参数之外的所有系统和摩擦参数变化；第二种控制器补偿了用于描述由于法向力变化引起的 Stribeck 效应相关参数一致变化的唯一可变参数，提出的第一个问题，不同的是使用了一种观测器/滤波器结构，从而不仅消除了严格正实条件，并且有效地补偿了观测器的暂态过程。

提出了两种自适应摩擦补偿方案来处理 Lugre 动态摩擦模型中两种类型的参数不确定性。

第一种情况也是假设由于温度的变化和材料的磨损引起了除 Stribeck 效应相关参数之外的所有摩擦参数的变化，但这种变化为非一致性的。

第二种情况则和种情况完全相同。

提出的两种自适应方案都有一个突出的特点，就是设计了一种全新的双观测器结构，利用两个非线性观测器来估计不可测摩擦状态的不同非线性效应。

摩擦模型采用 Lugre 动态摩擦模型的降阶模型，即 Stribeck 摩擦模型，首先针对跟踪控制问题，提出了一种自适应控制器来补偿在Stribeck模型中以线性形式出现的摩擦参数的不确定性，接着针对定位控制问题，提出了另一种自适应控制器来补偿 Stribeck 模型中所有参数的不确定性，包括以线性或非线性形式出现的参数。

对于跟踪控制中非线性摩擦参数不确定性的补偿问题，作了深入的阐述。

传统的自适应控制只能应用在参数可线性化的情况，提出了一种自适应控制方案的一般构架，用来补偿机器人动态模型中出现的不确定非线性参数。

应用这种方法时首先需要将摩擦模型分解成线性部分（即摩擦参数以线性的形式出现）和非线性部分（即摩擦参数以非线性的形式出现），然后还要求非线性部分能够写成两个关于非线性参数的Lipschitzian函数的乘积形式。

在进行自适应摩擦补偿时，一些学者根据系统的具体情况和应用要求，选用了大家较少采用的摩擦模型。

例如，采用多项式摩擦模型设计了自适应补偿方案，而采用时延模型进行自适应摩擦补偿。

另外，为了更精确的描述系统中的非线性动态摩擦，从而对其进行更好的补偿，人们又将低速时摩擦具有非局部记忆特性的滞后现象考虑在内，提出了一种 Lugre 模型的改进模型，并基于此进行自适应补偿。

基于软计算的摩擦补偿
所谓基于软计算的摩擦补偿，就是利用神经网络、模糊控制等智能控制方法来重新构建待补偿的摩擦力或者进行控制器增益的适当
自调节。

同传统控制方法相比，智能控制方法不需要对象的数学模型，而且在处理复杂性、不确定性方面的能力要强得多。

(1) 神经网络控制方法
神经网络具有以任意精度逼近连续函数的性质，并且具有自适应性和自学习性等特点，因此在摩擦补偿领域得到越来越多的应用。

这方面的研究主要有两类，一类是假定摩擦特性完全未知，通过神经网络的学习和训练逼近摩擦特性，另一类是假定摩擦模型部分已知，神经网络被用来学习模型中的未知信息。

在第一类研究中，S. S. Ge 通过高斯径向基函数（RBF）神经网络来逼近系统中的摩擦模型，并采用滑模控制抑制摩擦的近似误差和外部扰动；M. K.Ciliz 通过一个三层神经网络来近似摩擦模型，并同采用其他摩擦模型时得到的补偿结果作了对比；X. Qian 通过实验测得了系统的摩擦曲线，然后用RBF网络对其进行拟合，从而进行前馈补偿；考虑到神经网络对于分段连续函数的逼近能力有限，R. S. Rastko 提出了一种新的神经网络结构，具有额外的“跳变”神经元，以实现对分段连续函数的逼近，并分别提出了基于此神经网络的死区补偿方法和摩擦补偿方法。

Song 在 PD 控制的基础上采用小波神经网络（WNN）近似摩擦函数并对其进行补偿。

提出采用 CMAC（小脑模型关联控制器）网络来近似系统中的摩擦环节，通过对 CMAC 网络权值的迭代调整来辨识摩擦，实现高精度控制。

Y. H. Kim 等采用神经网络来辨识系统中的摩擦和干扰力矩，提出了基于增强学习的摩擦补偿方法。

在第二类研究中，C. Canudas de Wit 假设 Lugre 摩擦模型中Stribeck 效应相关函数未知，采用 RBF 网络对其进行近似，从而提出了相应的摩擦补偿方法。

S. S. Ge 讨论了仅 Stribeck 效应相关函数未知和所有摩擦参数均未知两种情况下的摩擦补偿问题，仍采用RBF 神经网络对摩擦的未知部分进行近似。

(2) 模糊控制方法
自 1965 年 Zadeh 提出模糊集的概念以来，到现在模糊控制的发展已日益成熟。

一些学者对模糊控制在伺服系统中的应用进行了研究，但针对摩擦补偿方面的研究还比较少，且控制效果不明显。

Teeter 等提出了一种简单的模糊摩擦补偿方法，仅采用一条模糊规则调整
PI 控制的参数。

Tzes 等采用模糊聚簇技术对摩擦非线性环节进行建
模，从大量数据中提取出摩擦环节的模糊模型，并对其进行补偿。

黄进等提出采用自调整量化因子模糊控制器进行摩擦补偿，根据系统参数变化在线地调整量化因子，增强补偿效果。

S. Suraneni 等提出了一种基于动态模糊逻辑的自适应算法来补偿滞滑摩擦和死区。

Y.F. Wang等提出了一种基于模糊基函数的自适应模糊系统，并采用该系统对摩擦进行补偿。

X. Gao 提出了一种新的自适应模糊 PD 控制器，并引入了一种补偿摩擦的新控制算法，通过调节自适应控制器参数，从而提高气动位置伺服系统的精度。

J. Lin 同样提出了一种新的模糊控制器补偿系统中的非线性摩擦。

基于软计算的智能控制方法为解决伺服系统中的摩擦补偿问题
开辟了新的途径，但各种基于智能控制的摩擦补偿方法也有各自的缺点。

如：神经网络的训练时间较长，算法实时性差，系统的暂态响应难以保证；模糊规则的获取难度大，控制结果不理想等。

然而，在我们看来，摩擦补偿的方法虽然很多，但目前绝大多数文献中采用的方法都比较单一，缺少不同方法间的融合。

实际上，在所综述的所有这些摩擦补偿方法中，没有一种可以被认为是本质上优于其它方法的，也就是说，没有一种补偿策略可以确切地说比其它补偿策略更有效。

这是因为影响每种补偿策略的实际实现和具体性能的因素有很多，即诸如传感器的精度、驱动器的特征以及实时性的限制等实际实现问题都可能制约着某种补偿方法的应用，或者严重影响其所获得的效果。

对于控制器的设计者来说，给定已有的硬件和软件控制结构，必须根据被控系统的具体特征以及系统硬件/软件控制结构的具体特征，来选择一种特定的摩擦补偿方法。

这里，我们强调两点：
1) 只有当执行某种特定任务时的实际摩擦模型和所假定的摩擦模型非常一致时，选择基于模型的补偿方法才是合适的。

2) 当采用某种特定的摩擦补偿方法时，如果执行的任务或者跟踪的轨迹不同，获得的补偿效果也有可能大不相同。

在这种情况下，应选取那种在执行不同
任务或跟踪不同轨迹时获得的系统性能比较平均的补偿方法，而不是那种只在某种特定条件下获得高精度的方法。

实际上，在进行摩擦补偿时，为了取得更好地补偿效果并避免不必要的高增益，往往不是单一地采用某种补偿方法，而是根据系统的具体情况将不同的补偿。