第二章n维向量

解：
A
1
2
3 4
1 2 2 1
1 1 3 3
1 3 2 1
1 2 2 1
2
1
3 5
0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 2
1 0 0 0
2
1
1
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
A 0
0 0
1 1 2
1 0 2
0 0 0
1
1
2
0
0 0
1 0 0
解：设k11 k22 k33 O 即 (k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 O
1,2 ,3
k1
线性无关，
k2 k3 0
k1 k3 1, 2
0 ,
3k1线性k2无关0.
k2 k3 0
例3：设向量组 1,2 , ,m 线性无关，且
1 2 m
k2 km 0
01 1
k1
k3
km
0
系数行 1
列式为
0
1 (m 1)(1)m1 0
(m 1)
k1 km1 0
11 0
向量组 1, 2 , ， m线性无关。
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
也线性无关。 用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
证明：
1 a11 a12
A
2 m
a21 am1
a22
am2
a1r
a2r
amr
1 a11 a12
B
2
m
考虑A的r+1阶子式
a11
Dr1 ar1 ar1,1
a1r
arr a r 1,r
a1, j
ar, j ar1, j
r( A) r Dr1 0
将D j按最后一列展开，有：
a1 j A1 a2 j A2 arj Aj ar 1, j Dr 0
按向量形式写，上式为：
j 1,2, , n
(a1, a2 , , an ) a1e1 a2e2 anen
2.定义2:设向量组1,2 , ,m，若存在一组不全为
零的数k1, k2， , km使
k11 k22 kmm 0
则称向量组1,2 , ,m线性相关。否则
称向量组1,2 , ,m线性无关。
(1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
(ai1, ai2 , , ain ) i 1,2, m.
矩阵 A的行向量
a1 j
a2 j
amj
矩阵 A的列向量
(a1 j , a2 j , , amj )T j 1,2, ,n
0 = ( 0,0,···,0 )
a21 am1
a22
am2
a1r a1,r 1
a2r a2,r1
amr
am,r 1
m r( A) r(B) m r(B) m
1, 2 , , m线性无关。
向量组的极大无关组
定义1：设 向量组 T 的部分向量组 1,2, ,r 满足
(i) 1,2, ,r线性无关； (ii) T 中向量均可由 1,2, ,r线性表示。
2 1
3 1
1 1
k1 k2 k3 0
3 2 8 12 4 1 0
故 方程组有非零解，即有非零的数 k1, k2 , k3 使
k11 k22 k33 O 1,2 ,3线性相关。
例2：设向量组 1,2 ,3 线性无关，1 1 2 ,
2 2 3, 3 3 1，讨论向量组 1, 2 , 3的相关性。
定理1：向量组1，2， ，m (m 2)线性相关的充要条件是 其中
至少有一个向量可由其 余m 1各向量线性表示。
证："" 若向量组1，2， ，m (m 2)线性相关，则一定存
在一组不全为零的数 k1，k2， ，km ,使
k11 k22 kmm 0
不妨设k1 0，于是有： 1
"" 不妨设
k2 k1
2
km k1
m
1 k22 kmm
1 k22 kmm O
即向量组1，2， ，m (m 2)线性相关。
定理2：设向量组1，2， ，m 线性无关，而向量组， 1，2， ，m 线性相关，则 可由1，2， ，m
线性表示且表示式惟一。
证： 向量组 ,1，2， ，m线性相关，则一定存在 一组不
例:求向量组的极大无关组.
1 (1,2,1), 2 (2,3,1), 3 (4,1,1)
1 1 A 2 2
27
1 1 3 0
2 7
1 3
3
4
1
1
0
7
3
0
0
0
r(A) 2 3 1,2 ,3线性相关。
但1,2线性无关，1,2是一个极大无关组； 1,3也线性无关，1,3也是一个极大无关组。
1 1 0
0 0 0
1
0
4
4时，r( A) 3 4,1,2 ,3,4线性相关。
证明定理4. "": 1,2 , ,m线性相关,
由定理1知，必有某个向量（不 妨设m )可由其余m 1个
向量线性表示为 m k11 km1m1
写成分量形式为 amj k1a1 j k2a2 j km1am1, j
们线性表示，证明1,2 , ,n与 e1, e2 , , en等价。
证： 1,2 , ,n显然可由e1, e2 , , en线性表示， 又由题设e1, e2 , , en可由 1,2 , ,n线性表示， 1,2 , ,n与e1, e2 , , en等价。
相关性的判定及有关重要结论
1.线性相关与线性组合的关系定理
(k1 l1)1 (k2 l2 )2 (km lm )m O
由向量组1，2， ，m线性无关知：
ki li ,i 1,2, , m.
所以表示式惟一。
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。
推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。
3.数乘: k (ka1, ka2 , , kan )
线性运算满足8条运算规律,见教材.
向量组的线性相关性
一、线性相关性
1.定义1: 设向量 ,1,2 , ,m，若存在一组数
k1, k2， , km使
k11 k22 kmm
则称向量可由向量1,2 , ,m线性表示， 或称向量是向量1,2 , ,m的线性组合。
b21
b22
s bs1 bs2
a1n
a2n
arn
b1n b2n
bsn
1 2
1
2
C
s
12
s
O O
r
O
r r( A) r(C) s
推论1：若向量组1,2, ,r可由向量组 1, 2 , , s 线 性表示，且r >s,则向量组1,2, ,r线性相关。
解： 1 1 A 2 2
2 3
1 1
1 0
2 7
1 3
1 0
2 7
1
3
3
4
1
1
0 7
3
0 0
0
r( A) 2 3 1,2 ,3线性相关。
例2：为何值时，向量组 1 （1，1，1，1，2），2 （2，1，3，2，3），
3 （2，3，2，2，5），4 （1，3， 1，1，）线性相关？
推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)<n.
定理5：若 m 个 r 维向量
i (ai1, ai2 , , air ) (i 1,2, , m)
线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量
i (ai1, ai2 , , air , ai,r 1) (i 1,2, , m)
或T 中任一向量 . ,1,2, ,r线性相关。 则称1,2 , ,r是向量组 T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.
注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是
等价的.
对A作初等变换
1 a11
a12 a1n
A
mm1
am1,1 am1
am1,2 am2
am1,n amn
a11
am1,1
0
a12
am1,2 0
a1n
am1,n 0
r(A) m
"": r( A) r m,不妨设 r 0,且A的最左上角的 r阶子式Dr 0
1A1 2 A2 Aj r1Dr 0
Dr 0, 1,2, ,r1线性相关, 从而1,2 , ,m线性相关。
推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。
推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们
构成的矩阵A= Amn的秩r(A)=m。
推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.
定理4：m个n维向量i (ai1, ai2 , , ain ) (i 1,2, m)线性 相关的充要条件是由 i (i 1,2, m)构成的矩阵
1
a11
a12
a1n
A
2 m
a21
am1
a22
am2
a2n
amn
的秩r( A) m.
例1：讨论1 (1,2,1),2 (2,3,1),3 (4,1,1)的相关性。
证明向量组 1, 2 , ， m线性无关(m 1).
证 : 设k1( 1) k2 ( 2 ) km ( m ) O 由 1 2 m
k1(2 m ) k2 (1 3 m ) km (1 m1) = O
即：
(k2 km )1 (k1 k3 km )2 (k1 km1)m = O
零向量
(a1,a2 , ,an )
负向量
维数相同，即同型。
ai
bi ,i
1,2,
, n.
2.定义2: (a1, a2 , , an ),数值 a12 a22 an2 称为向量的长度或范数或模 ,记为 。
0 0 0 0
1称为单位向量。 ( 1 , 1 , 1 ), ( 1 , 1 )
333
22
e1 (1,0, ,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1).
二、n 维向量的线性运算 设向量
(a1, a2 , , an ), (b1,b2, ,bn ),
1.加法: (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 2.减法: (a1 b1, a2 b2 , , an bn )
极大无关组的性质
定理1：设有两个n维向量组
(I ) 1,2, ,r , (II ) 1, 2 , , s ,
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
示，则r s.
证：设 1 a11 a12
A
2
r
a21 ar1
a22
ar2
1 b11 b12
B
2
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性 表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示， 则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。
例1：设 n 维向量组 1,2 , ,n , e1, e2 , , en可由它
第二章 n 维向量
n 维向量及其线性运算
一、n 维向量的概念
1.定义1: 由数a1,a2, an组成的有序数组，称为
n维向量，简称为向量。
向量通常用斜体希腊字 母, , 等表示。
(a1, a2 , , an ), a1 列向量
行向量
ai 第i个分量
a2
an
(a1, a2 ,
,an )T
(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. (3) 任一含有零向量的向量组线性相关.
3.讨论向量组的相关性：
例1：讨论1 (1,2,1),2 (2,3,1),3 (4,1,1)的相关性。
解：设 k11 k22 k33 O
124
k1 2k2
2k1 3k2
4kk3300系数行列式为
全为零的数 k, k1，k2， ，km ,使
k k11 k22 kmm 0
这里必有 k 0，否则，有
k11 k22 kmm 0
由向量组1，2， ，m线性无关知：
k1 k2 km 0
故 可由1，2， ，m线性表示。
设 k11 k22 kmm
l11 l22 lmm