物理光学梁铨廷版习题答案

， =
又
，∴
=
，
即得证。 1.11 平行光以布儒斯特 角从空气中射到玻璃
上，求：（1）能
流反射率 和 ；（2）能
流透射率 和 。 解：由题意，得
得
，
同理， =85.2 。
1.12 证明光波在布儒斯 特角下入射到两种介质
的分界面上时，
，
其中
。
，
证
明
：
又 为布儒斯特角，则 = .....①
，因为
为布儒斯特角，
3.5 在白光形成的单缝的 光波波长为 632.8nm。问
夫琅禾费衍射图样中，某 细丝直径是多少？
色光的第 3 级大与 600nm 解：由
的第 2 极大重合，问该色
，所以直径
光的波长是多少？
即为缝宽
解：单缝衍射明纹公式：
当
时，
3.8 迎面开来的汽车，其
，因为 与 不变， 两车灯相距
，汽车
离人多远时，两车灯刚能
(
)相比较, 分
辨本领提高了, 即 。
。
3.12 若望远镜能分辨角
距离为
rad 的两
的光源波长为多少？是 公式
，
何种器件的光源？ 则
解：由公式
，所以 。
2.13 月球到地球表面的
距离约为
km，月
球的直径为 3477km，若把 月球看作光源，光波长取 500nm，试计算地球表面
上的相干面积。 解：相干面积
算它的频率宽度和相干 长度。 解：证明：由
，则 有
（频率增大时 波长减小），取绝对值得 证。 相干长度
当
时，
为人眼所分辨？（假定人
眼瞳孔直径
，光
，所以
在空气中的有效波长 ）。
解：此为夫琅禾费圆孔衍
。
射，由公式
，
所以 3.6 在不透明细丝的夫琅
禾费衍射图样中，测得暗
。 3.9 在通常的亮度下，人 眼瞳孔直径约为 2mm，若 视觉感受最灵敏的光波 长为 550nm，问：（1）人 眼最小分辨角是多大？ （2）在教室的黑板上， 画的等号的两横线相距 2mm，坐在距黑板 10m 处 的同学能否看清？
2.19F-P 干涉仪两反射镜
的反射率为 0.5，试求它
的最大透射率和最小透
射率。若干涉仪两反射镜
以折射率
的玻璃
平板代替，最大透射率和 最小透射率又是多少？ （不考虑系统吸收）
2.20 已知一组 F-P 标准具 的间距分别为 1mm 和 120mm，对于
解：当反射率
时， 的入射光而言，求其相应
由光强公式 可得最大透射率
求电磁波的频率、波长、 长 和 原 点 的 初 相 位 是 多
周期和初相位。
少？（2）波的传播和电
解：由 Ex=0，Ey=0， 矢 量 的 振 动 取 哪 个 方
Ez=
向？（3）与电场相联系
的磁场 B 的表达式如何
写？
，则频率υ=
解：（1）振幅 A=2V/m，
频
率
υ
=
=0.5 × 1014Hz ，
周期 T=1/υ=2×10-14s， =
解：由题意，得
， 所以
波长为 656.28nm，空气折
射率
，试
求注入气室内的气体的 折射率。 解：设注入气室内的气体 的折射率为 ，则
，所以
， 条纹迁移方向向下。 2.6 在杨氏双缝干涉实验 装置中，以一个长 30mm 的充以空气的气室代替
薄片置于小孔 前，在观 察屏上观察到一组干涉 条纹。继后抽去气室中空 气，注入某种气体，发现 屏上条纹比抽气前移动 了 25 个。已知照明光波
第一章 光的电磁理 论
波长λ=cT=3×108×2× 10-14=6×10-6m。
1.1 在真空中传播的平面 电磁波，其电场表示为 Ex=0 ， Ey=0 ， Ez=
1.2.一个平面电磁波可以 表 示 为 Ex=0 ， Ey=
， Ez=0 ， 求 ：（ 1 ） 该 电
，（各量均用国际单位）， 磁 波 的 振 幅 ， 频 率 ， 波
隔至少要多大？在这种
情况下，干涉仪的自由光
谱范围是多少？设反射
率
。
解：由分辨极限公式
，得 F-P 干涉仪间隔
镀上一层光学厚度为
（
）的介质
膜。问：（1）介质膜的作 用？（2）求此时可见光 区（390 780nm）反射最
大的波长？ 解：（1）作用：因为上下 表面光程差
自由光谱范围 。
，所以该介质膜对 的反 射达到最小，为增透膜；
。 2.14 若光波的波长宽度 为 ，频率宽度为 ，
， 频率宽度
试证明：
。式中，
和 分别为光波的频率 和波长。对于波长为
Hz。
632.8nm 的氦氖激光，波 长宽度为
2.15 在图 2.22（a）所示 的平行平板干涉装置中，
，试计 若平板的厚度和折射率
分别为
和
，利用折射定律和小角度
，望远镜的视场角 近似，得
璃光楔的楔角时，在长
5cm 的范围内共有 15 个亮
条纹，玻璃折射率
，所用单色光波
长
，问此光楔
的楔角为多少？
。
2.18 利用牛顿环测透镜 曲率半径时，测量出第 10 个暗环的直径为 2cm，若 所用单色光波长为 500nm，透镜的曲率半径 是多少？ 解：由曲率半径公式
。
解：由公式
楔角
，
又 所以
，所以 ，
级亮条纹位置
，
光束第 10 级亮条纹位
的宽度为
置 又
，所以间距
由公式 距离
，得双缝间
=
。
2.4 设双缝间距为 1mm，
双缝离观察屏为 1m，用钠
。 2.5 在杨氏双缝干涉的双
缝后面分别放置
和
，厚度同为 t
的玻璃片后，原来中央极
大所在点被第 5 级亮纹所
占据。设
nm，求
玻璃片厚度 t 以及条纹迁
移的方向。
=
=
。 1.20 求如图所示的周期 性三角波的傅立叶分析 表达式。 解：由图可知，
，（ m
， 所
为 奇 数 ）， 以
= ，
。
=
1.21 试求如图所示的周
期性矩形波的傅立叶级
数的表达式。 ，
解：由图可知，
=
，
） =
=
，
，
，
=
， 所以
=
，
所以
。 1.22 利用复数形式的傅 里叶级数对如图所示的 周期性矩形波做傅里叶 分析。 解：由图可知，
长为
nm 和
两种单色
。
光，问两种光的第 10 级
2.3 波长为 589.3nm 的钠 亮条纹之间的距离是多
光照射在双缝上，在距双 缝 100cm 的观察屏上测量 20 个干涉条纹的宽度为 2.4cm，试计算双缝之间
少？ 解：因为两束光相互独立
传播，所以 光束第 10
的距离。 解：因为干涉条纹是等间 距的，所以一个干涉条纹
2.8 若双狭缝间距为 0.3mm，以单色光平行照 射狭缝时，在距双缝 1.2m 远的屏上，第 5 级暗条纹
照明两小孔的光源是一 个直径为 2mm 的圆形光 源。光源发光的波长为 500nm，它到小孔的距离 为 1.5m。问两小孔可以发 生干涉的最大距离是多
中心离中央极大中间的 少？ 间隔为 11.39mm，问所用 解：因为是圆形光源，由
和 的不透明屏，如图 所示，试导出这种光阑的 夫琅禾费衍射强度公式。
解： ，
解：（1）
（夫
，
琅禾费圆孔衍射）
（C 为常数），所以
rad。 (2)
，所以不能看清。
3.7 边长为 a 和 b 的矩孔 的中心有一个边长为
， 因为场中心强度(场中心 对应于
)
为 所以
。 其中
，
，
， 。
。 3.11 在一些大型的天文 望远镜中，把通光圆孔做 成环孔。若环孔外径和内 径分别为 a 和 a/2，问环 孔的分辨本领比半径为 a 的圆孔的分辨本领提高 了多少？ 解： 由
Hz，问这 种激光的波列长度是多 少？ 解：由相干长度
列长度
，所以波
。
第二章
，
。 2.2 在杨氏干涉实验中， 若两小孔距离为 0.4mm， 观察屏至小孔所在平面 的距离为 100cm，在观察 屏上测得的干涉条纹间 距为 1.5cm，求所用光波 的波。
光的干涉及其应用 解：由公式
，得光
波的波长
光照明双缝。钠光包含波
3.10 人造卫星上的宇航 员声称，他恰好能分辨离 他 100km 地面上的两个点 光源。设光波波长为 550nm，宇航员眼瞳直径 为 4mm，这两个点光源的 距离是多大？ 解:由夫琅禾费圆孔衍
射，
，所以
，环孔衍射图样第一个零 点的角半径为
， 按照瑞利判据, 天文望 远镜的最小分辨角就是
，与中心部分没 有遮挡的圆孔情形
..... ②
所以
，
由①、②得，
，
。
（1）
0， =
， （2）由
，又根据折射定律
，可
，得
。
，
1.18 两个振动方向相同
的单色波在空间某一点
则
，其中
产生的振动分别为
，得证。 和
1.17 利用复数表示式求
两
个
波
和
的
合成。
解
：
。若
Hz ，
V/m， 8V/m，
，
，求
该点的合振动表达式。
解
：
= =
= =
= =
= 。
1.9 证明当入射角 =45º 时，光波在任何两种介质 分界面上的反射都有
=
=
1.10 证明光束在布儒斯
特角下入射到平行平面
玻璃片的上表面时，下表
面的入射角也是布儒斯
特角。
证明：由布儒斯特角定
义，θ+i=90º，
设空气和玻璃的折射率
。 证明：
分别为 和 ，先由空气 入射到玻璃中则有
，再由 玻璃出射到空气中，有
基片的折射率
）
现代光学
3.1 波长
的
单色光垂直入射到边长
为 3cm 的方孔，在光轴（它
通过方孔中心并垂直方 孔平面）附近离孔 z 处观
察衍射，试求出夫琅禾费
衍射区德大致范围。 解：要求
解：由题意，得
，
，又
，
，
， 所以
要使膜系对 全增透，由
公式
。
条纹的间距为 1.5mm，所
用透镜的焦距为 300nm，
。 2.7 杨氏干涉实验中，若 波长 =600nm，在观察屏 上形成暗条纹的角宽度 为 ，（1）试求杨氏干 涉中二缝间的距离？（2） 若其中一个狭缝通过的 能量是另一个的 4 倍，试 求干涉条纹的对比度？
解：角宽度为 ， =
所以条纹间距
。 由题意，得
。 此光源为氦氖激光器。 ，
所以干涉对比度
2.12 在杨氏干涉实验中，
，
，
1.23 氪同位素 放电管
发出的红光波长为
6Hale Waihona Puke Baidu5.7nm，波列长度约
为 700mm，试求该光波的
波长宽度和频率宽度。
解：由题意，得，波列长
度
，
由公式
， 又由公式 以频率宽度
，所
。 1.24 某种激光的频宽
2.1 在与一平行光束垂直 的方向上插入一透明薄 片，其厚度
，若光波波长为 500nm， 试计算插入玻璃片前后 光束光程和相位的变化。 解：由时间相干性的附加 光程差公式
为 ，光的波长
，问通过望远
，
镜能够看见几个亮纹？ 解：设能看见 个亮纹。 从中心往外数第 个亮纹 对透镜中心的倾角 ，成 为第N个条纹的角半径。
( 为平行平板周围介质 的折射率) 对于中心点，上下表面两 支反射光线的光程差为
设 为中心条纹级数， 为中心干涉极小数，令
(, )，从中心往外 。因此，视场中心是暗点。
的标准具常数。如果某激 光器发出的激光波长为 632.8nm，波长宽度为 0.001nm，测量其波长宽 ； 度时应选用多大间距的
最小透射率
标准具？
解： 。
当用玻璃平板代替时， ，
，则
所以
，
。
，
。 2.21 有两个波长 和 ， 在 600nm 附近相差
0.0001nm，要用 F-P 干涉
仪把两谱线分辨开来，间
Ey=0 ， Ez=0 ， 内沿与 y 轴成θ角的 方 Ex=
向传播的平面波的复振 幅；（2）发散球面波和汇 ，试求：（1）光的频率； 聚球面波的复振幅。 （2）波长；（3）玻璃的 解 ：（ 1 ） 由 折射率。
，可得
解：（1）υ= =
=5
×1014Hz；
（
2
）
； λ （2）同理：发散球面波
，
汇聚球面波
Hz
初相位 φ0=+π/2（z=0， ， 波 长 λ
t=0）， 振幅 A=100V/m，
=
=
，原点的初相位 φ0=+π = /2；（2）传播沿 z 轴，振 动方向沿 y 轴；（3）由
B= By=Bz=0 Bx=
，可得 ，
； （3）相速度 v=0.65c，所 以折射率
n=
1.3.一个线偏振光在玻璃
中 传 播 时 可 以 表 示 为 1.4 写出：（1）在 yoz 平面
（2）由
，可知，
对波长为 ，
，
2.22 在照相物镜上通常
，反射最大的波长满足 ，则
，取
时则
符合条件的可见光的波
长分别为 687.5nm 和
458.3nm。
。
第三章 光的衍射与
2.23 在玻璃基片上镀两
层光学厚度为 的介 质薄膜，如果第一层的折 射率为 1.35，为了达到在
正入射下膜系对 全增 透的目的，第二层薄膜的 折射率应为多少？（玻璃
数，第N个条纹的级数为 由上式，得
，则
，因此，有 12 条暗环， 11 条亮环。
， 两式相减，可得
2.16 一束平行白光垂直 投射到置于空气中的厚 度均匀的折射率为
的薄膜上，发现 反射光谱中出现波长为 400nm 和 600nm 的两条暗 线，求此薄膜的厚度？ 解：光程差
， 所以
2.17 用等厚条纹测量玻
，
同
理
：
。
1.5 一平面简谐电磁波在
真空中沿正 x 方向传播。 。
其频率为
Hz，电
场振幅为 14.14V/m，如果 ，其中
该电磁波的振动面与 xy
平面呈 45º，试写出 E，B
表达式。
=。
解： 中
，其 1.6 一个沿 k 方向传播的
平面波表示为 = E=
=
，试求 k 方向的单位矢 。
=
解：
，
又
，
∴