第二章 静电场-1

E xˆ lim s [1 x ]
[ ]
xˆ
a / x 2 lim s
0
1
2 a / x 0
(a2 x2 )1/ 2 1
(a2 x2 1)1/ 2
xˆ
s 2 0
其中 nˆ是带电平面的法矢
可以证明，对于不在轴线上的场点，只要与轴线距离远小于 电荷圆面的半径，结论仍然成立。
无限大均匀带电平面的电场：
Q2 8106 P2 (0,1,1)
F12
1
4 0
Q1Q2 R123
R12
3.6 102 (xˆ zˆ) N
x F1
F13
y
P1 (1,1, 0) Q1 106
2
F12
R13 r1 r3 yˆ zˆ
三个点电荷的力
F13
1
4 0
Q1Q3 R133
R12
1.8 102 2
( yˆ
zˆ)
二、电场强度
1. 电场强度的引入
A点： Q
2Q
3Q
4Q
……
nQ
F
2F
3F
4F
Q 2Q 3Q 4Q
…… ……
nF nQ
F
2F
3F
4F
……
nF
表明：(F / Q是)A一个大小和方向都确定的值，与试验电荷本
身电量的大小和符号无关。
B点： 比值 (F / 是Q)另B 外的一个确定值
可见， F /是Q一个反映电场空间各点性质的物理量，我们将其 记作 ，称E为电场强度。
F21 k
Q1 Q2 R2
Rˆ k
Q1 Q2 R3
R
RFra Baidu bibliotek R / R
R R
k 8.988 109 9 109 [Nm2/C2 ]
z
F12 Q1 R
r1
r2
O
x
Q2 F21
y
真空中的两个点电荷
2）电磁学通用表达式
通常将系数 k记为
1 k
4 0
其中
0
8.8538 1012
1
36 109
F/m
Q
4 0
R R3
Q
4 0
Rˆ R2
3. 电场的叠加原理
1）离散电荷系统
如果真空中有N个点电荷Q1、Q2、QN，则任意场点P (x, y, z) 处的总电场强度等于各个点电荷单独产生的电场强度的矢量和
E(x, y, z)
1
4 0
N
Qi
i1
Ri Ri3
其中 Ri 代表自Qi 到P (x, y, z)点的相对位置矢量
第二章 静电场
§2.1 电荷与电荷密度
一、电荷
1. 带电体与电荷
带电体的特性：能够吸引轻小物体
2. 电荷分类
正电荷、负电荷
3. 电量
带电体所带电荷的多少叫电量，在国际单位制（SI 单位制）中，电量的单位是库仑（C）
4. 电荷的基本性质 1）分布的离散性 2）量子性 3）守恒性 4）相对论不变性
e＝1.602×10-19C 电荷守恒定律
求：圆面电荷轴线上的电场
②圆环的电场
Edr xˆ
dE xˆ
2 0
srdrd 4 0 R 2
cos
xˆ
s xrdr 20[r2 x2
]3/ 2
③圆面的电场
E xˆ
a 0
s xrdr 20[r 2 x2 ]3/ 2
xˆ
s 2 0
[1
(a2
x x2 )1/ 2
]
④讨论：
1） x << a 的情况
P x, y, z
2）连续电荷系统
q
★体电荷
M x, y, z
微元电荷
dE(r )
1
4 0
R R3
q
1
4 0
R R3
(r
) d
总场强
E(r ) dE(r ) 1
4 0
R R3
(r )d
体电荷的电场
P x, y, z
P x, y, z
S q
M x, y, z
S
q l
l
M x, y, z
lim
l0
q
l
(r ) Q (r r )
(r )d Q (r r )d Q
§2.2 库仑定律
一、库仑定律
★ 文字表述
在真空中，两个静止点电荷之间的作用力，与这两个电荷 的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的
方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力。
★ 数学表达式 1）来自实验定律的表达式
★定义式
E lim F Q0 Q
★单位：
牛顿/库仑 伏特/米
★物理意义：
(N/C) (V/m)
电场强度是一个矢量函数，它逐点描述了电场空间的性质。 ★用电场强度表示电场力：
F QE
2. 点电荷的电场
试验电荷 Q在场源点电荷Q的电场中所受的库仑力为
F
QQ
4 0
R R3
于是，点电荷电场强度表示为
E
称为真空电容率或真空介电常数
于是
F21
Q1 Q2
40
Rˆ R2
Q1 Q2
40
R R3
3）库仑定律符合牛顿第三定律
二、静电力的叠加原理
数学表达式
[ ] N
N
Fi Fij
j 1
j 1
Qi Qj
40
Rij Ri3j
ji
ji
例题2.1 解：利用叠加原理
R12 r1 r2 xˆ zˆ
z
Q3 4106 P3 (1,0,1)
§2.4 电力线与电通量
E nˆ s 2 0
2） x >> a 的情况
[ ( ) ] E xˆ s
2 0
1
1
a2 x2
1 2
[ (
xˆ
xˆ
s 1
2 0
s
a
2
40 x2
1
1 2
a2 x2
xˆ Q
40 x2
)]
这与点电荷场强公式一致。可见，只要a / x足够小，就可以 把带电圆面视为点电荷。
这个结论表明，带电体能否被看作点电荷，不在于其本身绝 对尺寸的大小，而在于其线度与它到场点的距离相比是否足够小。
★面电荷 ★线电荷
面电荷、线电荷的电场
dq s (r)dS
E(r ) 1
4 0
S
R R3
s
(r )dS
dq l (r)dl
E(r ) 1
4 0
l
R R3
l
(r)dl
4. 例题2.3
解：①面积微元的电场
dEdr
s rdrd 4 0 R 2
Rˆ
其中
dr
R
r
P dE
x
x
a
dE dEdr
R [r 2 x2 ]1/ 2
二、电荷密度
△q
τ
M(x’,y’,z’)
△S △q
M(x’,y’,z’)
S
△q
l
△l
M(x’,y’,z’)
(a)
(b)
(c)
图2－1 体电荷、面电荷、线电荷的概念
1. 体密度 2. 面密度 3. 线密度 4. 点电荷
x, y, z lim q
0
s
x,
y,
z
lim
s0
q s
l
x,
y,
z
N
F1
F12
F13
102 2
3.6xˆ
1.8 yˆ
1.8zˆ
N
§2.3 电场和电场强度
一、电场
1. 法拉第的场的观点
电荷在其周围空间产生电场这种物质，当其它带电体的
电荷处于这个电场之中时，就会与该电场作用而受力。
2. 电场力的本质 一个电荷的电场作用在另一个电荷上的力。
3. 电场的物质性 1）电场是伴随着电荷而生的一种特殊物质。 2）电场没有可见的形态，但其具有可以被检测的运动速度、能 量和动量，占有空间。 3）场和实物是物质存在的两种不同形式。