2006 全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“对论文格式的统一要求”）

C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键

步骤，以及难点。

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：837

所属学校（请填写完整的全名）：深圳职业技术学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 赖竹山

2. 刘南能

3. 林惠聪

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：雷田礼

日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘要

本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2

R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6

R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2

=。

R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24

+==(h为

H h R r

圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5

r→时

H h R

+≈，0

材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。

在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。

r h R H

2.2,0.75,

3.93, 6.86

最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。

关键词：易拉罐最优设计材料体积 lingo软件

文中符号注解

R:圆柱半径

r:圆台半径

H:圆柱高

h:圆台高

S:易拉罐表面积

V:易拉罐体积

MIN:最小化

为方便在LINGO软件中计算，定义：

X1:在软件LINGO中的圆柱半径（R）

X2:在软件LINGO中的圆柱高（H）

X3:在软件LINGO中的圆台半径（r）

X4:在软件LINGO中的圆台高(h)

第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明：如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

表1：数据测量结果