(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第九篇 解析几何初步《第54讲 圆的方程》

2013高考总复习江苏专用（理科）：第九篇 解析几何初步《第54讲

圆的方程》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）

A 级 基础达标演练 (时间：45分钟 满分：80分)

一、填空题(每小题5分，共35分)

1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是________． 解析 AB 的中点坐标为(0,0)，

AB ＝[1－－1]2＋－1－1

2

＝22，

∴圆的方程为x 2

＋y 2

＝2. 答案 x 2

＋y 2

＝2

2．(2011·广州检测(二))圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－1

2

＋b －2

2

＝1，解得b ＝2，故圆的

方程为x 2

＋(y －2)2

＝1. 答案 x 2

＋(y －2)2

＝1

3．圆(x ＋2)2

＋y 2

＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为________．

解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2

＋(y ＋2)2

＝5. 答案 x 2

＋(y ＋2)2

＝5

4．点P (4，－2)与圆x 2

＋y 2

＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．

解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为

M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋x

2，

y ＝－2＋y

2

，解得

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 0＝2x －4

y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2

＝4上，所以x 2

0＋y 2

0＝4，即(2x －4)2

＋(2y ＋2)2

＝4，即

(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1. 答案 (x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1

5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝1上的动点，则

MN 的最小值是________．

解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|

5

＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45

.

答案 45

6．(2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 解析 线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为CB ＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2

＋y 2

＝10. 答案 (x －2)2

＋y 2

＝10

7．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2

＋(y －1)2

＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．

解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.

答案

2

二、解答题(每小题15分，共45分)

8．经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程． 解 法一 设圆的一般方程为

x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

则⎩⎪⎨⎪

⎧

1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0

解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，

∴所求圆的方程为x 2

＋y 2

－2x －4y －95＝0， 即圆的标准方程为：(x －1)2

＋(y －2)2

＝100.

法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，

k AB ＝－13

，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0.

同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0

联立⎩⎪⎨

⎪⎧

3x －y －1＝0x ＋y －3＝0

，得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1y ＝2

即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12

＋2－12

2

＝10.

∴所求圆的标准方程为：(x －1)2

＋(y －2)2

＝100.

9．已知一等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，求另一底角顶点C (x ，y )的轨迹．

解 由AB ＝AC ，得：

x －3

2

＋y －20

2

＝3－3

2

＋20－5

2

，

整理得(x －3)2＋(y －20)2

＝225(x ≠3)，

故底角顶点C 的轨迹是以点(3,35)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)． 10．(★)(2010·连云港模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2

＋y 2

－4x ＋1＝0. (1)求y

x

的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．

思路分析 (1)y x

可看成原点(0,0)与点(x ，y )连线的斜率；

(2)y －x 的最值可转化成直线y －x ＝b 在y 轴上的截距的最值问题，利用数形结合解得． 解 (1)原方程可化为(x －2)2

＋y 2

＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x

＝k ，即y ＝kx .

当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|

k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.

所以y x

的最大值为3，最小值为－ 3.

(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |

2＝3，解得b ＝－2± 6.

所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

【点评】 解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面： (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (2)研究图形的形状、位置关系、性质等．

B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．

解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)．因为直线x ＋2y ＝0与圆相切，所以|a ＋2×0|12＋22

＝5，即|a |

5＝5，解得a ＝－5.

所以圆C 的方程为(x ＋5)2

＋y 2＝5. 答案 (x ＋5)2

＋y 2

＝5

2．若圆(x －3)2

＋(y ＋5)2

＝r 2

上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半