中考复习《图形的变换》图形的平移、对称与旋转

重合，折痕为 EF，若 AB＝4，BC＝8，则 D′F 的长为( C ) A．2 5 B．4 C．3 D．2
图1
例 3【2019·泉州质检·8 分】如图 2，在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O，AC⊥BC，垂足为 C，将△ABC 沿 AC 翻折得到△AEC，连接 DE.
(1)求证：四边形 ACED 是矩形；
6．【2019·厦门质检·4 分】已知菱形 ABCD 与线段 AE，且 AE 与 AB 重合，现将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 180°，在旋转过程 中，若不考虑点 E 与点 B 重合的情形，点 E 还有三次落在菱 形 ABCD 的边上，设∠B＝α，则下列结论正确的是( C ) A．0°<α<60° B．α＝60° C．60°<α<90° D．90°<α<180°
【点拨】平行四边形 ABCD 中，AC⊥BC，而△ABC图2 ≌△AEC，不难证明四边形 ACED 是矩形；
证明：∵将△ABC 沿 AC 翻折得到△AEC，AC⊥BC， ∴BC＝CE，∠ACE＝90°. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC. ∴AD＝CE，AD∥CE. ∴四边形 ACED 是平行四边形． ∵∠ACE＝90°，∴四边形 ACED 是矩形．
中心对称
如果一个图形绕某一点旋转 180°后与另一个图形⑩ _完__全__重__合_，我们就说这两个 图形关于这个点中心对称.
轴对称图形
点A与点C， 对应点
点B与点D.
对应线 AB＝CD，
性质 段
AD＝CB.
∠A＝∠C，
对应角 ⑫__∠__B__＝
∠D.
轴对称 点A与点A′，点B与点B′，点C 与点C′. AB＝A′B′，⑪___B_C____＝ B′C′，AC＝A′C′.
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C ＝∠C′.
轴对称图形 中心对称图形是指具有某 区别 种特性的一个图形．
轴对称 中心对称是指两个图形的特 殊位置关系.
知识点4 旋转的概念与性质
1．概念 把一个平面图形绕着平面内一点O转动一个角度，叫做 ⑬ __旋__转______，其中这个点O叫做⑭ _旋__转__中__心___，转动 的角叫做⑮ __旋__转__角____．
考点1 轴对称图形的识别 例 1【2019·福州质检·4 分】下列天气预报的图标中是轴对称图形
的是( C )
A
B
C
D
【点拨】判断一个图形是否为轴对称图形，可以观察图形的正面
和背面(从试卷的背面看图形)，若正面和背面完全一致，则该图
形为轴对称图形．
考点2 与折叠有关的计算 例 2 如图 1，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 的对应点 C′与点 A
4．【2017·福建·4 分】如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图 中线段 AB 和点 P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段 A′B′和点 P′，则点 P′所在的单位正方形区域是( D ) A．1 区 B．2 区 C．3 区 D．4 区
5．【2019·漳州质检·4 分】下列手机品牌图标中，是轴对称图形 的是( A )
轴对称
图形
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条 直线折叠，直线两旁的部 定 分能够互相①_重__合___，这 义 个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做② ___对__称_轴____．
轴对称 把一个图形沿着某一条直线 折叠，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个 图形关于这条直线③ __对__称____，这条直线叫做④ __对__称__轴__，折叠后重合的点 叫做⑤__对__应__点__.
考点3 图形的旋转及相关计算 例 4 把图 3 中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，
则这个旋转角度至少为( C ) A．30° B．90° C．120° D．180°
图3
例 5 如图 4，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，E 是 DC 上一
点，DE＝1，将△ADE 绕着点 A 按顺时针方向旋转到与
2．性质 (1)对应点到旋转中心的距离⑯ __相__等________； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑰ _旋__转__角___； (3)旋转前后的两个图形 ⑱__全__等________．
知识点5 平移的概念与性质
1．概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这 样的图形运动称为平移．平移是由移动的方向和距离决 定的．
教材梳理
第六章 图形的变换 第31课时 图形的平移、对称与旋转
目录
01 知识梳理 02 考点突破
03 福建4年中考聚焦
01 知识梳理
·知识点1 轴对称与轴对称图形 ·知识点2 图形的折叠 ·知识点3 中心对称与中心对称图形 ·知识点4 旋转的概念与性质 ·知识点5 平移的概念与性质
知识点1 轴对称与轴对称图形 轴对称图形
2．【2019·福建·4 分】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对
称图形的是( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．平行四边形
D．正方形
3．【2017·福建·4 分】下列关于图形对称性的命题，正确的是( A ) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
(2)若 AC＝4，BC＝3，求 sin∠ABD 的值． 【点拨】依据已知条件，在△ABD 中作垂线 AF，求出相应边的 长度，即可求出∠ABD 的正弦值．
解：如答图 1，过点 A 作 AF⊥BD 于点 F. 由(1)得 BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4，AD＝BC＝3，答图1 ∴在 Rt△BDE 中，BD＝ BE2＋DE2＝ 62＋42＝2 13. ∵S△BDA＝12DE·AD＝12AF·BD，
答图2
考点6 最短路径问题 例 9 如图 7，矩形 ABCD 中，AD＝12，∠DAC＝30°，点 P，E
分别在 AC，AD 上，则 PE＋PD 的最小值是( B ) A．6 B．6 3 C．12 D．8
图7
03 福建4年中考聚焦
1
2
3
4
5
6
1．【2020·福建·4 分】下列给出的等边三角形、平行四边形、圆 及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C )
∴AF＝DEB·DAD＝24×133＝6 1313.
在 Rt△ABC 中，AB＝ 32＋42＝5，
6 13
∴在 Rt△ABF 中，sin∠ABD＝sin∠ABF＝AAFB＝
13 5
＝6 6513.
【点拨】图形折叠的本质是轴对称，解决折叠问题的关键是从折 叠前后的两个图形全等和原图形的性质这两方面入手，寻找图形 中相等的线段、相等的角，从而把折叠问题转化为一般问题求解．
(1)当 m＝1 时，点 B 经过的路径长为___2_π____；
图5
(2)若点 A′，C′，B 在同一条直线上，求 tan∠ABA′的值． 解：由题意得 C′D＝CD＝AB＝m，A′D＝AD＝BC＝2，∴A′C＝ m＋2.
∵AD∥BC，∴CB′CD＝AA′′DC ，即m2 ＝m＋2 2. 解得 m1＝ 5－1，m2＝－ 5－1(舍去)． 经检验，m＝ 5－1 是原分式方程的解．
轴对称图形 对称轴是任何一对对应点 性质 所连线段的⑥ __垂__直__平__分__线___． 轴对称图形是指一个图形 区别 具有对称性．
轴对称
对称轴是任何一对对应点所 连线段的⑦_垂__直__平__分__线__.
轴对称是指两个图形的对称 关系.
知识点2 图形的折叠
1．位于折痕两侧的图形关于折痕所在直线成轴对称； 2．折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角、对应线段、
周长、面积等均相等； 3．折叠前后，非重合对应点的连线均被折痕所在直线垂直
平分．
知识点3 中心对称与中心对称图形 中心对称图形
图形
中心对称
中心对称图形 如果一个图形绕某一点旋 转⑧__1_8_0_°___后能⑨ 定 _与__它__自__身__重__合___，我们就 义 把这个图形叫做中心对称 图形，这个点叫做对称中 心．
2．性质 (1)平移不改变图形的形状和大小． (2)平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等． (3)平移前后的两个图形的对应点所连的线段平行且相等．
02 考点突破
·考点1 轴对称图形的识别 ·考点2 与折叠有关的计算 ·考点3 图形的旋转及相关计算 ·考点4 中心对称图形 ·考点5 轴对称作图 ·考点6 最短路径问题
∴A′C＝ 5－1＋2＝ 5＋1.
∵AB∥CD，∴∠ABA′＝∠BA′C.
在 Rt△A′BC 中，tan∠BA′C＝AB′CC＝
52＋1＝
5－1 2.
∴tan∠ABA′＝tan∠BA′C＝
5－1 2.
考点4 中心对称图形 例 7 下列图案中是中心对称图形的是( B )
考点5 轴对称作图 例 8 如图 6，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐
△ABF 重合，则 EF 的长为( D )
A． 41
B． 42
C．5 2
D．2 13
【点拨】旋转前后的两个图形全等，得 图4
到对应角相等、对应边相等．
例 6【2020·石狮质检·8 分】如图 5，在矩形 ABCD 中，BC＝2， AB＝m(m>0)，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°，点 A， B，C 分别落在点 A′，B′，C′处． 5
标分别为(－3，5)，(－2，1)，ຫໍສະໝຸດ Baidu－1，3)． (1)作出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1；
图6
解：如答图 2 所示，△A1B1C1 即为所求作． 答图2
(2)作出△A1B1C1 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 5 个单位 长度后得到的△A2B2C2.
解：如答图2所示，△A2B2C2即为所求作．