高数：定积分的概念与微积分基本定理

性质1
b[ a
f
(
x)

g(
x)]dx

b
a
f
(
x)dx

b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)

g(
x)]dx
n

lim
0
[
i 1
f
(i
)

g(i
)]xi
n
n

lim
0
i 1
f
(i )xi

lim
0
i 1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
x2
sin x ecos2 x
第八讲 定积分的概念与微积分基本定理
1 定积分的概念与性质 2 变上限积分的概念与定理 3 牛顿-莱布尼茨公式 4 讨论或证明变上限积分的特性
1.1 问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2

0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2

1
lim
n
n i 1

sin

i n


n
1

sin xdx.
0
i xi
1.5 基本性质
对定积分的补充规定:
（1）当a

b时， b a
f
(
x)dx

0；
（2）当a

b时， b a
f
( x)dx

a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx

b
a
f
(t )dt

b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
b
a kf
(
x
)dx

k
b
a
f
(
x
)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx

lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
补充 如果 f (t )连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
(a b)
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
例 4 设 f ( x)可导，且 lim f ( x) 1， x
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)

x
a
f
(t )dt .
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx

A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx

A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
于是
b
a f ( x)dx

b
a g( x)dx.
性质5的推论：
（2）
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx.
(a b)
证 f (x) f (x) f (x),
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
oa
f ( )x [x, x x],
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )




思考题
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
n

sin
2 n



sin
(n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式

lim
n
1 n
sin
n

sin
2 n



sin
(n
1) n

sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx

b
a f ( x)dx
c
b f ( x)dx
f a( x)a( x)
dx a( x)
证 F ( x) 0 b( x) f (t)dt a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
例1
1 et2 dt
xdx.
0
0
性质5的推论：
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则 b a
f
(
x)dx

b
a
g(
x)dx
.
(a b)
证 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
b
b
a g( x)dx a f ( x)dx 0,
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
1.3存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
1.4 定积分的几何意义
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
则
b
a
f
(
x)dx

c
a
f
(
x)dx

c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
a 1 dx
b
a
dx
ba.
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则 b a
f
(
x
)dx

0.
(a b)
(a b)
积分中值公式
证

m(b

a)
baf(x)dx
M(b a)

m

1b
b a a
f
( x)dx

M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()

b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a
f
(
x
)dx

f ( )(b a).
积分中值公式的几何解释：
求 lim
x2
t sin
3
f
(t )dt
.
x x
t
解 由积分中值定理知有 [ x, x 2],
使
x2
x t sin
3 t
f
(t )dt

sin 3
f
()( x

2
x),
x2
lim t sin
x x
3 t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
1, 3
1dx
04
0
3

1 sin3
dx x

1dx, 03
4
0
3

1 sin3
dx x

3
.
1.6 定积分中值定理
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
b
a
f
(
x
)dx

f ( )(b a).
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
1.2 定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b

f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
二、小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
2 积分上限函数及其导数
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2
估计积分
0
3

1 sin 3
dx 的值. x
解
1 f ( x) 3 sin3 x , x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4

3

1 sin 3
x

x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
数( x)

x
a
f
(t )dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导
数是(
x)

d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
y
证
xx
( x x) a
f (t)dt
(a x b)
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
f
( x)dx

b
a
f
( x)dx .
说明： | f ( x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.
性质6 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b

a)

b
a