第四章 根轨迹法

S（S+2）
则
故 ∴
其闭环传递函数为
特征方程为
υ （s）=
K
（S2+2S+K）
S2+2S+K = 0
S1，2 = - 1 ± √ 1- K
当
K 从 0→∞ 时，S1，2 的变化情况分析如下：
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k 0 0．5 1 2 3 ： ∞ s1 0 -0.293 -1 -1+j -1+1.414j ： -1+∞j s2 -2 -1.707 -1 -1-j -1-1.414j ： -1-∞j
m ∏ （-Zi） i=1 K = Kg· 6
n-υ ∏ （ -Pj ） j=1
=
1×2
= 3
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例题5 已知G（S）H（S）= K / [S（S+3）（S2+2S+2）]。①试绘制系 统的概略根轨迹。②并求出K=4时系统的闭环极点。 解 ：① 1） 系统的开环极点为 P1=0， P2=-3 ， P3，4=-1±j 2） 系统应有四条根轨迹分支。 3） 实轴上的根轨迹 4） 渐进线
（1） 法则1：连续性。根轨迹在S平面上是连续的。这是因为当 Kg →∞时，系统的特征根是连续的。
（2） 法则2：对称性。根轨迹在S平面上是关于实轴对称的。这 是因为当Kg →∞时，系统的特征根是实数或共轭复数。 (3) 法则3：根轨迹的条数。由1+G（S）H（S）=0的阶次数决定。
(4) 法则4：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点（Kg=0）是开 环极点；终点（Kg=∞）是开环零点。 证明：将根轨迹方程变换成下列形式
i=1
∏ ∣（S-Pi）∣
即有 :
=1 或 Kg =
j=1 m
n
(模值条件)
∏ ∣（S-Pj）∣
j=1
∏ ∣（S-Zj）∣
i=1
m n ∑ ∠（S-Zi）- ∑ ∠（S-Pi） = （2k±1）π i=1 j=1
(相角条件)
其中，相角条件为充要条件。
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4．2 1
绘制根轨迹的基本法则(Basic Principle in Drawing Root Locus) 180°根轨迹（适用于负反馈）的绘制法则
- 1
5） 分离点 得到 6) 3 d
2
由
d 1 =0 ds G（S）H（S）
+ 6 d + 2 = 0 d1 = - 0.422, d2 = - 1.578 (舍去)
起始角 θ P1 = 180°+[ -(0°+0°)]= 180° θ P2 = 180°+[ -(0°+180°)]= 0° θ P3 = 180°+[ -(-180°+180°)]= 180
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第四章 根轨迹法 Chapter 4 Root Locus Method
4.1 基本概念(Basic Concept)
1 根轨迹
（1）定义 指当开环系统某个参数从零变化到无穷时，其 相应的闭环系统的特征根（1+G（S）H（S）=0）在S平面上变化 的轨迹。或指系统所有闭环极点在S平面上的集合。 例如，一单位反馈二阶系统，其开环传递函数为 G（S）= K
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7)
根轨迹与虚轴的交点 直接令S=jω 代入D（S）=K+ S（S+1）（S+2）=S3+3S2+2S+K=0 得 Re[1 + G（jω ）H（jω ）]=K-3ω 2=0 Im[1 + G（jω ）H（jω ）]=2ω -ω 3=0 即 ω 1=0 , ω 2,3=±√2 相应地, K1=0 , K2=6
n-υ SV ∏ （Tj+1） j=1
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首 1 型：
m
Kg∏ （S-Zi）
i=1
其中，
Kg----根轨迹增益 Zi----开环零点（Zi =-1/τ i） Pj----开环极点（Pj =-1/ Tj）
G(S)H(S) =
n-υ
SV∏ （S-Pj）
j=1
显然，
n-υ
m
∏ （Tj ）
∏ （-Zi）
（Pi为开环极点）
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即:
n n ∑ Si = ∑ Pi = -a1 i=1 i=1
（n－m ≥2）
根的和
对于稳定系统而言，有: n ∏ ∣Si∣ = an = K （系统参数） i=1 意义：
根的积
1） 已知系统部分闭环极点时，可以确定其余的闭环极点的分布 及对应的系统参数K值； 2） 判断根轨迹的走向。因为a1是常数，所以，当 Kg 增加时， 若有一部分闭环根向S平面左边移动，则另一部分根一定向S平面右 边移动。 例题4 已知系统 G（S）H（S）=K/[S（S+1）（S+2）]。试绘制系统 的根轨迹，并求出根轨迹与虚轴相交时的系统所有闭环特征根及相应 的开环增益。
n m ∑ Pj - ∑ Zi j=1 i=1 0+（-3）+（-2） σa = ----------------- = ---------------------- = - 1.25 n–m 4 －0 （2k + 1）π φa = -------------- = n–m π/4 3π/4 5π/4 7π/4
K=∞ K=0
-2
K=∞
j
K=0 K=1
0
(2)
系统性能与根轨迹的关系（教材P101） A 稳定性；B 稳态性能；C 动态性能。
（3） 开环增益K与根轨迹增益Kg 的关系 因为开环传递函数可以有两种形式： 尾 1 型：
K
m
∏ （τ i+1）
i=1
其中， K----开环增益 V----系统类型
G(S)H(S) =
在G（S）H（S）出现的且数值有限的零、极点称为有限零、极
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（5）法则5：
根轨迹的渐进线。(证明参见P156)
设 n＞m ，则有n-m条渐进线，它们与实轴的交点σ a和交角 υ a分别为：
n m ∑ Pj - ∑ Zi j=1 i=1 σ a = ------------ ; n–m （2k + 1）π υ a = ----------n-m
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解 ： 1） 系统的开环极点为P1=0，P2=-1，P3=-2 2） 系统应有三条根轨迹分支。 3） 实轴上的根轨迹 4） 渐进线 （-∞，-2），及[-1，0]
n m ∑ Pj - ∑ Zi j=1 i=1 0+（-1）+（-2） σ a = -------------- = -------------- = n–m 3 －0 （2k + 1）π π /3 k=0 υ a = -----------= π k=1 n–m 5π /3 k=2
n 1 ∑ -------- = 0 i=1 d - pi
[-3 ，0]
k=0 k=1 k=2 k=3
5） 分离点
由:
得
自动控制原理 1 + d d+3 1 + d+1-j 1 + d+1+j 1 = 0
由试探法得: 6) 起始角
d ≈ -2.3
θP3 = 180°-[∠(P3–P1)+ ∠(P3–P2)+ ∠(P3–P4)] = 180°- (135°+ 26.6°+ 90°) = - 71.6° θp4 = 71.6° 7) 根轨迹与虚轴的交点 直接令S=jω 代入 D(S) = S4 + 5S3 + 8S2 + 6S + K = 0 得 即 Re[D(S)]= ω 4 - 8ω + K = 0 Im[D(S)]= 6ω -5ω 3 = 0 ω1 = 0 , ω 2,3 = ±1.1 , K1 = 0 K2 = 8.16
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m n θ Pi = 180°+ （∑υ ZjPi - ∑θ PjPi ） j=1 j=1 j≠i
n 、m分别为开环零极点数。
其中： υ ZjPi = ∠（Pi-Zj）---- m个开环零点中第j个零点Zj到第i个
极点 Pi 的相角； θ
PjPi
= ∠（Pi-Pj）---- n个开环极点中扣除第i个以后其余 的第j 个极点Pj到第i个极点Pi的相角；
θPjZi =∠（Zi-Pj）---- n个开环极点中第j 个极点Pj到第i个零点
Zi的相角；
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例题3 ： 教材P162 例题4-4 (10) 法则10: 闭环极点（根）的和与积 。 设系统的 1+G（S）H（S）=（Sn+a1Sn-1+…+an）+Kg（Sm+b1Sm-1+bm） =（Sn+c1Sn-1+…+cn）= 0 （设n＞m） 的n个根分别为：S1，S2，S3，…，Sn 。 则有: 1+G（S）H（S）= （S- S1）（S- S2）…（S- Sn）= 0 n ∏ Si = （－1）n cn i=1 根据根与系数的关系，有 n ∑ Si = - c1 及 i=1 又,由于当n－m ≥2时: n n ∑ Si = - c1 = -a1 = ∑ Pi i=1 i=1
②
劳斯判据法：
令劳斯表第一列元素中含有Kg的项等于零求出Kg值后，由 S2项系数构成的辅助方程求得共轭的纯虚根S1，2=± jω ，即为 根轨迹与虚轴的交点。 例题2 ： 教材 P160 例题4-3 （9） 法则9： 根轨迹的出射角与入射角。
① 出射角（起始角）：复数开环零点处，根轨迹出射方向 与实轴的夹角。
n ∏（S-Pj） j=1
＋
m Kg∏（S-Zi） =0 i=1
( Kg：0→∞)
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n ∏（S-Pj）=0 即 j=1
①当Kg=0时，
S = Pi
（j=0，1，2，…，n）
即此时的闭环特征根就是G（S）H（S）的开环极点， 故 根轨迹的起点（Kg=0）是开环极点。 ② 当Kg=∞时，
m ∏（S-Zi）=0 即 i=1 S = Zi （i=0，1，2，…，m）
② 入射角（终止角）：复数开环零点处，根轨迹入射方向与实轴的 夹角。 m n
υ Zi = 180°- （∑υ ZjZi - ∑θ PjZi ） j=1 j=1 j≠i n 、m分别为开环零极点数。
其中:
υ ZjZi = ∠（Zi-Zj）---- m个开环零点中扣除第i个以后其余的第 j个零点Zj到第i个零点Zi的相角；
j=1
∏ （S-Pj）
j=1
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由于 G（S）H（S） = -1 实际上是一个向量方程，故应有：
j∠G（S）H（S）
∣G（S）H（S）∣ = e 根据向量相等的条件，有： ∣G（S）H（S）∣=1 ∠G（S）H（S）=（2k±1）π
m
= 1 ·e
j（2k±1）π (k=0,1,2,…)
n
来自百度文库
Kg ∏ ∣（S-Zi）∣
d [G（S）H（S）] = 0 ds 或
1 d ds G（S）H（S） =0
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② 试探法：设Zi、Pj分别为系统的开环零点和开环极点，则 分离点可由下式求得： n 1 ∑ j=1 d - Pj m 1 = ∑ i=1 d - Zi
说明： 由上述两种方法求出的根是否为分离点，要分情形进行确定： 若求出的根是实数，要根据 “法则6 实轴上的根轨迹” 进行 确定； 若求出的根是复数，则要根据 “模值条件” 进行确定。 2）分离角： 由 θ d = 180°/ K来求取。 其中K为分离点处的分支数；在多数情况下，K = 2 。 例题1： 教材P157例题4-1及P159例题4-2。 （8）法则8： 根轨迹与虚轴的交点。
8)
由于K=6时, S1,2 = ±√2 根据法则10, 有S1+S2+S3 = -a1 = -3 所以, S3 = -3 – (S1+S2) = -3
1)—8)可绘制根轨迹图如下:
j 1.732 1.414(K=6) P3 P2 P1 0 d=-0.422 1
由
9) 根轨迹与虚轴相交时系统的 开环增益K
(k=0，1，2，…，n-m-1)
（6）法则6：
实轴上的根轨迹。
根据相角条件，实轴上的根轨迹只能是那些在其右边的开环 实数极点与开环实数零点的总数为奇数的线段区间。
（7）法则7： 根轨迹的分离点（也叫会合点）及分离角。 1）分离点 求取根轨迹分离点的方法主要有两种： ① 重根法：若已知系统的G（S）H（S），则分离点可由下 式求得：
求取根轨迹与虚轴的交点也有两种方法：
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① 纯虚数法： 即由 D（jω ）= 0 求得，即： 直接令S=jω 代入D（S）=1+ G（S）H（S）=0 由 Re[1 + G（jω ）H（jω ）]=0 Im[1 + G（jω ）H（jω ）]=0
求得 Kg 及 ω ，则S1，2=± jω 为根轨迹与虚轴的交点。
即此时的闭环特征根就是G（S）H（S）的开环零点， 故 根轨迹的起点（Kg=∞）是开环零点。
说明：设G（S）H（S）的开环零点数是 m ，开环极点数是 n 。 当m≤n时，将有 n-m 条根轨迹的终点在无穷远处； 当m＞n时，将有 m-n 条根轨迹的起点在无穷远处。 在无穷远处（在G（S）H（S）没有出现）的零、极点称 为无 限零、极点； 点；
K=
2
j=1
m
* Kg =
i=1
n-υ
* Kg
∏ （τ i）
i=1
∏ （-Pj）
j=1
根轨迹方程 根据定义及集合的概念，定义根轨迹方程为 1+G（S）H（S）=0 或 G（S）H（S） = -1 ，即：
m m
Kg∏ （S-Zi）
i=1 n-υ
Kg∏ （S-Zi）
i=1
= -1 或
n
= -1
SV
∏ （S-Pj）