内蒙古达拉特旗第八中学八年级数学上册：143因式分解课件(共15张PPT)
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【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解(第3课时)ppt课件
解：（2）
-x2 +4xy-4 y2 =-（x2 -4xy+4 y2） =-（x-2 y）2．
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） x2 +12x+36； （2） -2xy-x2 -y2； （3） a2 +2a+1； （4） 4x2 -4x+1．
综合运用完全平方式
例2 分解因式： （1） 3ax 2 +6axy+；3（ay22） （a+b）2 -．1（ 2 a+b）+36
布置作业
教材习题14.3第3、5（1）（3）题．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
理解完全平方式
a2 +2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2 （1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
理解完全平方式
a2 +2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
综合运用完全平方式
练习2 将下列多项式分解因式： （1） ax2 +2a2 x+a3； （2） -3x2 +6xy-3y2．
了解公式法的概念
(优)人教版八级上册数学 第十四章 1431因式分解提公因式法ppt文档
5、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）某项提出莫漏1; （3）提出负号时,要注意变号.
练习巩固 1、把下列各式分解因式：
（1） ax+ay； =a(x+y)
（2）3mx-6my； =3m(x-2y) （3）8m2n+2mn； =2mn(4m+1)
（4）12xyz-9x2 y2； =3xy(4z-3xy)
因式分解
提公因式法
知识与技能目标：1．了解因式分解的意义，理解因式分解 的概念及其与整式乘法的区别和联系． 过程与方法目标：2．理解提公因式法并能熟练地运用提公 因式法分解因式． 情感与价值观目标：3．通过学生自主探求解题途径，培养 学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
自主学习合作交流
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同 的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一 个，即字母最低次幂
例: 找 3 x 2 – 6 x y 的公因式。
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同
x
字母的最低
字母：相同 次数
的字母
所以，公因式是3x。
3、提公因式法： 如果多项式的各项有公因式，可以
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽，
还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1。
人教版数学初中八年级上册14.4《因式分解》(第1课时)PPT课件
14.4 因式分解
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)=
； x2 + x
(x+1)(x－1)=
. x2－1
630能被哪些数整除？
说说你是怎样想的。
630 232 5 7
请把下列多项式写成整式的乘积 的形式:
(1)x2+x=_x_(x_+_1_) ______;
(x+1)(x-1)
(2)x2 – 1=__________ .
把下列各式分解因式：
1．2a－4b;
2．ax2+ax－4a;
3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x;
5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2;
7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y．
上面我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多 项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变 形
ma+mb+mc
它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m
叫做这个多项式的 公因式
由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得:
ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分
解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公
因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所
得的商,像这种分解因式的方提法叫公做因式法
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)=
； x2 + x
(x+1)(x－1)=
. x2－1
630能被哪些数整除？
说说你是怎样想的。
630 232 5 7
请把下列多项式写成整式的乘积 的形式:
(1)x2+x=_x_(x_+_1_) ______;
(x+1)(x-1)
(2)x2 – 1=__________ .
把下列各式分解因式：
1．2a－4b;
2．ax2+ax－4a;
3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x;
5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2;
7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y．
上面我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多 项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变 形
ma+mb+mc
它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m
叫做这个多项式的 公因式
由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得:
ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分
解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公
因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所
得的商,像这种分解因式的方提法叫公做因式法
八年级数学(上册)_因式分解的方法汇总.ppt
(3)原式=
9x2 6x 1 y2 4y 4 (3x 1)2 ( y 2)2 (3x y 1)(3x y 1)
(4)原式= (x 2)3 ( y 2)3 [(x 2)3 (y 2)3]
3(x y)(x 2)(y 2)
(5)原式=
x 2 x y 2 y 2xy (x y)2 (x y) ( x y)(x y 1)
方法五、分组分解法
（1）形如：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
x2 y2 2x 1
(x2 2x 1) y 2
(x 1)2 y 2
(x y 1)(x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因 式或能运用公式，这样的因式分解的方法
( y z)[x2 ( y z)x yz]
(y z)(x y)(x z)
例题2（重庆市竞赛题）分解因式：
4x2 4x y2 4y 3
解：原式= (4x2 4x 1) (y 2 4y 4) (2x 1)2 (y 2)2 (2x y 3)(2x y 1)
方法六、拆项、添项法
知识回顾 Knowledge Review
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，
得到需求问题的解。
例题1：如果 x3 ax2 bx 8 有两个因式x+1和
x+2，则a+b=
例题2：如果多项式 x2 (a 5)x 5a 1 能分解成两个 因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的值 是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）
人教版数学八年级上册 《143 因式分解》课件
探究：因式分解的几种方法 2.观察下列多项式，看一看它们之间有什么共同特
征，你能运用乘法的分配律将它们分解因式吗？ ①ax＋ay＋a；②8x2－10xy.
3.多项式a2－b2有什么特征？你能将它分解因式吗？
4.多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？ 你能将它们分解因式吗
(a+b)(a-b)
请同学们完成下列计算，看谁算得又快又准. ①3.145×（－37）＋3.145×（－63）； ②1012－992； ③572＋2×57×43＋432.
探究：因式分解的几种方法
1.把下列多项式写成整式乘积的形式 ①a2＋a＝______； ②a2－b2＝______； ③xm＋ym－cm＝______； ④x2－2x＋1＝______.
（5）16a2－24a＋9； 解：原式=（4a－3）2
（6）4（x－y）2＋4（y－x）＋1.
解：原式=4(x－y)2-4(x-y)+12 =(2x－2y＋1)2
本课时学习了因式分解与整式乘法的关系和灵 活运用各种方法进行因式分解.
②原式＝（1－b）（a－3）；
③原式＝［3（m＋n）］2-［ 1（m－n）］2
[3 (m n ) 1 (m n )3 ] (2m [ n ) 1 (m n )]
2
2
(7m5n)(5m7n)
2 22 2
④原式＝(a＋b)2－2(a＋b)·9c＋(9c)2
＝(a＋b－9c)2.
D
D 5a(x-y)(a-2)
D
因式分解 2ab a-2
(2x+3y)(2x-3y) a(a+1)(a-1) 4mn
C
例1：计下列变形中是因式分解的是（ D ） A.a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad B.（a＋b）（a－b）＝a2－b2 C.a2＋2＝a（a＋ 2 ）
【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解ppt课件
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同字母的
x
最低次幂
字母：相同的字
母
所以，公因式是3x。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。
3、定指数：
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最
低次幂
练习：(x-y)2+y(y-x)
把下列个式分解因式
(4)2a( y z) 3b( y z) (5) p(a 2 b2 ) q(a 2 b2 )
小结
1、什么叫因式分解？
记住哟！
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2) ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4) 4(m+n)2+2(m+n) (5) 9m2n-6mn (6) -6x2y-8xy 2
（3） （a） （a2）
（2(m+n)） （3mn） （-2xy）
ma+ mb +mc
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
(1)ab+ac =____ (2)2x2-x =___
(3)m2-25 =_____ (4)ma+mb+mc =__
m2 – 25=(m+5)(m - 5)
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(4) x2+4x+4=(x+2)2. 是因式分解，方法？？
探索完全平方公式
你能将多项式 a2+2ab+b2 与多项式a2 -2ab+b2 分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同特点？
我们把 a2+2ab+b2 和 a2-2ab+b2 这样的式子
叫做完全平方式．
追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公 式（a b）2 =a2 2ab+b2 来解决这个问题吗？
把整式的乘法公式——完全平方公式 反过来就得到因式分解的完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a2-2ab+b2=(a-b)2
分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式， 其中首平方尾平方, 首尾两倍中间放.
（3）你已经学习了哪些方法，如何选用这些方法？
如果有公因式先提取公因式， 如果没有公因式，就看项数， 若两项考虑是否用平方差公式， 若三项，考虑是否用完全平方公式。
布置作业 教材习题14.3第3、5（1）（3）题．
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
例５: 分解因式： (1) 16x2+24x+9; (2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正
（3）中间的一项是什么形式？
中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
例５，分解因式： (1) 16x2+24x+9; (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第二课时
鄂尔多斯市达拉特旗第八中学
一、复习引入
判断下列各式从左到右的变形，是不是 因式分解？如果是，运用了哪种方法？
(1)(a-3)(a+3)=a2-9; 不是因式分解，是整式乘法
(2)x2+x=x(x+1);
是，提公因式法
(3)4x2-9=(2x+3)(2x-3); 是，运用平方差公式
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试 概括你的发现.
两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方。
理解完全平方公式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2 （1）左边的完全平方式的结构特征是什么？
完全平方式必须是三项式
（2）两个平方项的符号有什么特点？
练习2 将下列多项式分解因式： （1） ax2+2a2x+a3； （2） -3x2+6xy-3y2．
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2） -2 xy-x2 -y 2； （3） a 2 + 2a+1； （4）4x2 -4x+1．
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
将a+b看作一个整体，设 a+b=m,则原式化为完全平
方式m2-12m+36.
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2.
综合运用完全平方式
◆仔细做一做：
分解因式:
(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2005的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等 式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等 边三角形.
(4) x2+4x+4=(x+2)2. 是因式分解，方法？？
探索完全平方公式
你能将多项式 a2+2ab+b2 与多项式a2 -2ab+b2 分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同特点？
我们把 a2+2ab+b2 和 a2-2ab+b2 这样的式子
叫做完全平方式．
追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公 式（a b）2 =a2 2ab+b2 来解决这个问题吗？
把整式的乘法公式——完全平方公式 反过来就得到因式分解的完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a2-2ab+b2=(a-b)2
分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式， 其中首平方尾平方, 首尾两倍中间放.
（3）你已经学习了哪些方法，如何选用这些方法？
如果有公因式先提取公因式， 如果没有公因式，就看项数， 若两项考虑是否用平方差公式， 若三项，考虑是否用完全平方公式。
布置作业 教材习题14.3第3、5（1）（3）题．
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
例５: 分解因式： (1) 16x2+24x+9; (2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正
（3）中间的一项是什么形式？
中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
例５，分解因式： (1) 16x2+24x+9; (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第二课时
鄂尔多斯市达拉特旗第八中学
一、复习引入
判断下列各式从左到右的变形，是不是 因式分解？如果是，运用了哪种方法？
(1)(a-3)(a+3)=a2-9; 不是因式分解，是整式乘法
(2)x2+x=x(x+1);
是，提公因式法
(3)4x2-9=(2x+3)(2x-3); 是，运用平方差公式
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试 概括你的发现.
两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方。
理解完全平方公式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2 （1）左边的完全平方式的结构特征是什么？
完全平方式必须是三项式
（2）两个平方项的符号有什么特点？
练习2 将下列多项式分解因式： （1） ax2+2a2x+a3； （2） -3x2+6xy-3y2．
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2） -2 xy-x2 -y 2； （3） a 2 + 2a+1； （4）4x2 -4x+1．
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
将a+b看作一个整体，设 a+b=m,则原式化为完全平
方式m2-12m+36.
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2.
综合运用完全平方式
◆仔细做一做：
分解因式:
(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2005的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等 式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等 边三角形.