微积分-6_X-定积分的应用习题课

y f ( x) 0, a x b
o
x x dx
x
S侧
b
2f ( x)
a
1 f 2 ( x)dx
(5) 细棒的质量 ( ( x) 为线密度)
l
m dm 0 l ( x)dx 0
(x)
o x x dx l x
(6) 转动惯量
y
b
I y a dI y bx2 ( x)dx
b
a
1 y2dx
dy
B．曲线弧为
x y
(t) (t)
o a x x dx b
( t )
x
其中 (t), (t)在[ , ]上具有连续导数
弧长
s
2(t) 2(t)dt
C．曲线弧为 r r( ) ( )
弧长
s
r 2( ) r2( )d
(4) 旋转体的侧面积 y y f (x)
A
l
l
Fx 0. ( G 为引力系数 )
o x x dx x
(10)
函数的平均值
y 1
b
f ( x)dx
ba a
(11) 均方根 y 1 b f 2( x)dx ba a
曲线y x(x 1)(2 x)与x轴所围图形 的面积可表为（）。
2
( A) 0 x(x 1)(2 x)dx
2
b
( A)a [2m f (x) g(x)][ f (x) g(x)]dx
b
(B)a [2m f (x) g(x)][ f (x) g(x)]dx
b
(C)a [m f (x) g(x)][ f (x) g(x)]dx
b
(D)a [m f (x) g(x)][ f (x) g(x)]dx
曲边梯形的面积
A
t2 t1
(
t
)
(
t
)dt
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t ) 具有连续导数， y (t)连续.
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
1 2
a
a o x x dx b x
(7) 变力所作的功
b
W dW a b F ( x)dx a
F(x)
o a
x
x dx
b
x
(8) 水压力
o
a
b
P dP a
x x dx
b
b
xf ( x)dx
a
( 为比重 )
x
y
f (x)
(9) 引力
y
l
l
Fy l dFy l
Gadx
3
(a2 x2 )2
定积分的应用
定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
参数方程所表示的函数
A
b
a
f
(
x
)dx
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x (t)
y
(t
)
2
(B)0 x(x 1)(2 x)dx 1 x(x 1)(2 x)dx
1
2
(C) 0 x(x 1)(2 x)dx 1 x(x 1)(2 x)dx
2
(D)0 x(x 1)(2 x)dx
设f (x), g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x) f (x) m （m为常数）,则曲线y g(x), y f (x), x a, x b所 围平面图形绕直线y m旋转而成的旋转体体积为
曲面，该曲线由x2 y2 2 y( y 1)与x2 y2 1( y 1)
2
2
连接而成。(1)求容器的容积；(2)若将容器内盛满的水从
容积顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：
m，重力加速度为gm / s2，水的密度为103 kg / m3)
例 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
已知抛物线y px2 qx( p 0, q 0)在第一象限内 与直线x y 5相切，且此抛物线与x轴所围成的 平面为S.(1)问p, q为何值时，S达到最大值；(2)求出 此最大值。
设D是位于曲线y
x
xa 2a
(a
1,0
x
)下方、
x轴上方的无界区域。(1)求区域D绕x轴旋转一周
所成旋转体的体积V (a)。(2)当a为何值时，V (a)
双纽线(x2 y2 )2 x2 y2所围成的 区域面积可用定积分表示为
/4
( A)20 cos2d
/4
(B)40 cos2d
/4
(C)20 cos2 d (D) 1 /4 (cos2 )2 d
20
设曲线y ax2 (a 0, x 0）与y 1 x2 交于点A，过坐标原点O和点A的直线 与曲线y ax2围成一个平面图形，问 a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所 得立体体积最大，最大体积是多少？
[
2 2
(
)
2 1
(
)]d
(2) 体积
y
o
x x dx
x V ab [ f ( x)]2 dx
y
d
Hale Waihona Puke Baidu
c
x ( y)
V
d
c
[
(
y)]2 dy
o
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x)
oa
x x dx b
x
V
b
a
A(
x
)dx
(3) 平面曲线的弧长 y
A．曲线弧为 y f ( x)
弧长
s
最小？并求此最小值。
某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部 由抛物线与直线AB所围成。当水面与闸门的 上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压 力与下部承受的水压力之比为5 : 4。闸门矩形 部分的高h应为多少米？
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水
面上升的速度; (2) 若再将满池水全部抽出,
至少需作功多少?
y
R
h
o
x
设直线y ax与抛物线y x2所围成的 图形面积为S1，它们与直线x 1所围成 的图形面积为S2，并且a 1. (1)试确定a的值，使S1 S2达到最小. (2)求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
设f (x)在[a,b]连续，恒正且单调上升， t [a,b]，y f (x)与直线y f (b)及 x t围成的图形面积为S1(t)，y f (x) 与直线y f (a)及x t围成面积为S2 (t)。 (1)证明存在唯一的t0 (a,b)使得 S1(t0 ) S2 (t0 ). (2)t取何值时两部分面积之和S1(t) S2 (t) 取最小值。