动力学动力学

m2l1)gs1 m2d2 m2d2 gs12
gs12
τ D(q)q H(q,q) G(q)
就是操作臂在关节空间的动力学方程的一般结构形式，它反映 了关节力矩与关节变量、速度、加速度之间的函数关系。
对于n个关节的操作臂，D（q）是n×n的正定对称矩阵，是q
的函数，称为操作臂的惯性矩阵；
（1）当杆件长度不太长，重量很轻时，动力学方程中的重力矩 项可以省略；
（2）当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有
1、2
2 2
及
1 2
的项可以省略。
（3）当关节加速度不太大，即关节电动机的升、降速比较
平稳时，含有 、1 2 的项有时可以省略。
前式写成矩阵形式
τ D(q)q H(q,q) G(q)
第4章 工业机器人动力学分析（2）
先复习一下上节课讲的内容
关节空间
雅雅雅雅
q= [q1, q2, …, qn]T
雅雅雅
τ= [τ1, τ2, …, τn]T
雅雅雅雅雅J
J -1
雅雅雅雅雅
•
•
X =J q
=J T F
作业空间
雅雅雅雅雅雅雅
X =[x,y,z,x ,y ,z ]T
雅雅雅
F =[fx ,f y ,fz ,nx ,ny ,nz ]T
上两式分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之 间的关系，即力和运动之间的关系称为二自由度机器人的动力 学方程。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型机器人 的动力学方程已经很复杂，包含了很多因素，这些因素都在影 响机器人的动力学特性。对于比较复杂的多自由度机器人，其 动力学方程更庞杂，推导过程更为复杂，不利于机器人的实时 控制。故进行动力学分析时，通常进行下列简化：
H(q,q) 是n×1的离心力和科氏力矢量；
G（q）是n×1的重力矢量，与操作臂的形位q有关。
4.4 机器人动力学建模和仿真（略）
The End! 谢 谢！
((22mm2l21lp1d2s2s2)2)1122 ((m2ml1 p2l21sd22s)22)22(m1 (pm1 1dm1 2l1m)g2sl1)1gsm12 p2 gs12
m2d2 gs12
上式可简写为
1 D111 D122 D11212 D12222 D1
②计算关节2上的力矩τ2
τ
1 2
q
1 2
q
•1
•
2
q
12
D(q)
m1d12
m2 (l12 m2 (d22
d
2 2
2l1d2c2
l1d2c2 )
)
m2
(d
2 2
m2
l1d2c2
d
2 2
)
H
(q,
q)
m2l1d2
s222 2m2l1d m2l1d 2 s 212
2
s212
G(q)
(m1d1
（4）建立拉格朗日函数
L Ek Ep
1 2
(m1d12
m2l12 )12
m2l1d2 (12
12 )c2
1 2
m2d
2 2
(1
2 )2
(m1d1 m2l1)g(1 c1) m2 gd2 (1 c12 )
（5）系统动力学方程
①计算关节1上的力矩τ1
1
d dt
L
1
L
1
(mm11pd1212 mm22pd2222mm2l212l1222mm2l12lp12dc2c2)2 1)1 (m(2mp22d22m2lm1 p22l1cd22c)2 )2
x
d2 θ2
l2
C2 m2
连杆1和连杆2的关节变量分别是转角θ1和θ2，关节1和关节2相 应的力矩是τ1和τ2。
（2）系统动能
Ek1
1 2
m1d
2
1
•
2 1
Ek2
1 2
m2l12
•
2 1
1 2
m2
d2 1
•
( 1
•
+ 2
)2
•
•
m2l2d
2
( 2 1
+ 1
•
2
)c2
（3）系统势能
Ep1=m1gd1（1– c1） Ep2=m2gl1（1– c1）+m2gd2（1– c12 ）
4.3.1 拉格朗日方程
不仅能以最简单的形式求得复杂系统动力方程，而且具有显 式结构，物理意义比较明确。
对于任何机械系统，拉格朗日函数L（又称拉格朗日算子）定
义为系统总动能Ek与总势能Ep之差，即
拉格朗 日函数
L=Ek–Ep
拉格朗日方程
Fi
d dt
( L qi
)
L qi
i 1,2, ,n
Fi -----作用在第i个关节上的广义驱动力
qi-----系统选定的广义关节变量
qi
-----广义关节速度
.
由于系统的动能Ek是qi、qi 的函数
势能Ep仅是qi的函数
拉格朗日方程可写成
Fi
d dt
Ek qi
Ek qi
Ep qi
举例 2R平面关节机器人动力学分析
机器人动力学方程的 推导过程
（1）选定广义关节变量 及广义力
y
l
1
θd1
1
C1
m1
2
d dt
L
2
L
2
m2 p22 m2l1 p2c2
1 m2 p222
(m2
d
2 2
m2l1d2c2
)1
m2d222
(m2l1d2s2 m2l1d2s2 )12 (m2l1d2s2 )12 m2 gd2s12
上式可简写为
wk.baidu.com
••
••
••
•2
2 D21 1 D22 2 D212 1 2 D211 1 D2
4.3工业机器人动力学分析
机器人是一个非线性、复杂的动力学系统，在机器人动态实时 控制系统中，必须分析其动力学特性。
问题
用什么方法建立起机器人的动力学方程？
建立 方法
牛顿-欧拉（Newton-Euler）法 拉格朗日（Langrange）法 高斯（Gauss）法 凯恩（Kane）法 罗伯逊-魏登堡（Roberon-Wittenburg） 法 。。。。等