高中数学数列的概念与简单表示法

∴累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
∴an
＝
n(n 1) 2
1.
答案：n(n 1) 1 2
1.观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律， 横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关 系”，从而确定数列的通项公式.
2.利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1.数列的概念 按照一定顺序 排列着的一列数称为数列，一般用 {an}表
示，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的通项公式
如果数列{an}的第Hale Waihona Puke Baidu项an与 序号n 之间的关系可以用一
个数 列的
()
A.第22项
B.第23项
C.第24项
D.第28项
解析：数列的通项公式是an＝ 2n 1 ，令3 5 ＝
，
解得2nn ＝ 123，所以3 答案：B
是这个数列5 的第23项.
3.已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2 ， n ∈N*，则a100
＝
()
A.3198
B.3199
C.3200
∴an＝
2 2n
1
(n 1), (n≥ 2).
答案：22n
1
(n 1) (n≥ 2)
5.设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an
＝
.
解析：由an＋1＝an＋ n ＋1，∴an＋1－an＝ n ＋1，
∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝ n ，
提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*(或 它的有限子集{1,2,3，…，n})，可表示为an＝f(n). 3.数列的表示方法 数列的表示方法有 列表法 、 公式法 、 图象法 .
1.下列说法正确的是
()
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数 列
n＋1
2n
1
.
(5)将数列各项改写为
…，分母都是3，
而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an ＝ 1 (10n－1).
3
数列的通项an与前n项和Sn的关系是：
an＝
S1 Sn
n 1, Sn1 n ≥
2
,
[特别警示] 在应用此关系式求通项时，要分n＝1和n ≥2
(3)－1，32 ，－
1，3 34
，－
1 5
，3 6
，….
(4)
2 3
，－1，10 7
，－17 9
，26 11
37 ，－13
，….
(5)3,33,333,3 333，….
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21 ， 22 ， 23 ，
24，…，所以an＝
2.n 1 2
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子
(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4…；而各项绝对
值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数
项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n
2 ·
1
n
.
也可写成an＝
3 n
1 , n为正奇数 n , n为正偶数
个公式 an＝f(n)来表示，那么这个公式叫这个数列的
通项公式.
[思考探究] (1)数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？
提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可
以为an＝(－1)n或an＝11 通项公式.
(n为奇数) ，有的数列没有
(n为偶数)
(2)数列是否可以看作一个函数，若是，其定义域是什么？
C.数列{
n 1 }的第k项为1＋
n
1 k
D.数列0,2,4,6，…可记为{2 n}
解析：根据数列的定义与集合定义的不同可知A，B不正确；
D项{2 n}中的n ∈N*
，故不正确；C中an＝n
n
1
，∴ak＝1
＋1. k
答案：C
2.已知数列1， 3 ， 5 ，7 ，…， 2n 1 ，…，则3 5 是这
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)a1＝S1＝4； 对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1 ＝2 n(n ＋1)－2(n －1) n ＝4 n.
综上，{an}的通项公式an＝4 n. 将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1. (求bn)法一：对于n ≥2， 由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn 得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)， bn＝12 bn－1，bn＝21－n.
两种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表
示，若能，将n＝1的情况并入n ≥2时的通项an；若不能， 就用分段函数表示.
(2009·安徽高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2 n2＋2 n ，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝an2 ·bn，证明：当且仅当n ≥3时，cn＋1＜cn.
.
(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式中必含有因
子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第
6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是
32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1、2两
项可改写为1，2 1 21
－22 1 2· 2 1
n2 1
，所以an＝(－1)
D.3201
解析：a100＝
T100 T99
＝
31002 3992
＝ 3(1002992 ) ＝3199.
答案：B
4.数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝
.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]
＝n2－(n－1)2＝2n－1，
[特别警示] 根据数列的前n项写出数列的一个通项公 式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想， 由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检 验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.
写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，….
(2) 1 ，3 ，7 ，15 ，31，…. 2 4 8 16 32
(求bn)法二：对于n≥2， 由Tn＝2－bn得Tn＝2－(Tn－Tn－1)， 2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝12 (Tn－1－2)， Tn－2＝21－ n(T1－2)＝－21－ n ， Tn＝2－21－ n ，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－ n)－(2－22－ n) ＝21－ n.