图像多尺度几何分析综述_李财莲

收稿日期：2010－11－04

基金项目：国家自然科学基金项目（40901216）；国防预研资助项目（513220206）

作者简介：李财莲（1973－），女，湖南涟源人，海南大学信息科学技术学院工程师，国防科学技术大学电子科

学与工程学院2007级博士研究生．

第29卷第3期海南大学学报自然科学版Vol．29No．3

2011年9月NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITY Sep.2011

文章编号：1004－1729（2011）03－0275－09

图像多尺度几何分析综述

李财莲1，2，孙即祥1，康耀红

2（1．国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南长沙410073；2．海南大学信息科学技术学院，海南海口570228）

摘要：阐述了图像多尺度几何分析技术的国内外发展现状及趋势，并介绍了其在图像处理中的部分应用，

探讨了图像多尺度几何分析方法存在的问题及进一步的研究方向，为多尺度几何分析技术的发展状况提供

了清晰的轮廓．

关键词：多尺度几何分析；小波变换；图像处理；Tetrolet 变换

中图分类号：TP 391文献标志码：A

由于超越傅里叶变换的诸多优点，小波变换被广泛应用到图像处理的各个领域，成为继傅里叶变换

之后的又一变换分析工具．但是，

由于小波变换只能反映信号的零维奇异性，即只能表达奇异点的位置和特性，却不能有效表示二维图像中具有多方向性的边缘和纹理等几何特性，因此，小波基并不是最优的图

像表示方法

［1－9］．DO M N 在总结前人研究的基础上给出了图像有效表示需要满足以下条件［10］：

1）多分辨率表示方法能够进行多尺度分解，对图像从粗糙到精细连续逼近；

2）局部性表示方法的基函数在空域上和频域上都应该有良好的局部性质，并且能随尺度变化；

3）临界采样表示方法具有较低的冗余结构；

4）方向性表示方法应该包含多个方向的基函数；

5）各向异性表示方法的基函数的支撑集具有不同长宽比的形状，能处理图像边缘轮廓的平滑性．显然，傅里叶变换和二维可分离小波变换仅满足上述的部分性质，为了寻找最优的图像表示方法，更

加有效地表示和处理图像等高维空间数据，

一门崭新的信号分析工具———多尺度几何分析（Multiscale Ge-ometric Analysis ，MGA ）被提出来并迅速成为当前研究的热点［2］，它能满足上述图像有效表示的所有条

件，

在图像分析中获得了较大成功，体现出了一定的优势和潜力．目前，研究者提出了包括Ridgelet ，Curvelet ，Bandelet ，Contourlet 等一系列多尺度几何分析工具，由于

它们主要以变换为核心，因此也称为多尺度多方向变换．为了能充分利用原函数的几何正则性，这些变换

基的支撑区间表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线．多尺度几何分析技术在图像压缩、

去噪、增强及特征提取等领域，表现出的性能优势显示了其强大的发展和应用潜力，但其理论和算法都处于发展阶段，还尚待完善和开发．

文献［4］以二维函数的非线性逼近为主线，分析了推动多尺度几何分析发展的深刻数学和生理学背

景．文献［

6］分析了Contourlet 变换及其构造原理，探讨了Contourlet 变换在图像处理中的部分应用．本文在此基础上，阐述了国内外多尺度几何分析技术的研究现状及发展趋势，给出了部分图像处理应用结果，探讨了图像多尺度几何分析方法存在的问题及进一步研究的方向，为多尺度几何分析技术的发展提供清晰的轮廓．DOI:10.15886/ki.hdxbzkb.2011.03.012

1国内外研究现状及发展趋势

图像多尺度几何分析可以分为非自适应多尺度几何分析和自适应多尺度几何分析2类［2，4，6－7］．

1．1非自适应多尺度几何分析技术的发展非自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数与图像内容无关，主要包括最近提出的Ridgelet，Curvelet和Contourlet变换．1998年CANDES E J在其博士论文中最初以“脊波”（Ridgelet）概念提出其理论框架［11］．同年DONOHO D L给出了一种正交脊波的构造方法［12］．脊波是一系列脊函数的叠加来表示普通的函数类，同时具有离散变换“近似正交”的函数框架．定义1（脊波）若函数Ψ：RңR满足

K

Ψ=∫|Ψ^（ω）|2

|ω|d

dω＜ɕ，（1）

则称Ψ是d维空间中的容许神经激活函数．由满足容许条件（1）的函数Ψ生成的脊函数（2）就称为脊波（Ridgelet）．

Ψr=a1/2Ψ（u·x－b

a

），（2）

其中，a表示脊波的尺度，u为对应脊波的方向，b为对应脊波的位置．R2空间上的连续Ridglet（CRT）可以定义为

CRT

f

（a，b，θ）=∫R2珟Ψa，b，θ（x）f（x）d x=＜f，Ψa，b，θ＞，（3）其中，脊波是沿方向θ的小波

Ψa，b，

θ=a1/2Ψ（

x

1

cos（θ）+x

2

sin（θ）－b

a

），（4）

与式（2）意义一样，珟Ψ表示Ψ的复共轭，脊波变换引入了表征方向的角度参数θ，因此，脊波变换具有方向性．其支撑集是沿一条称为脊线的直线附近的带状区域

｛（x，y）ʒx cosθ+y sinθ－b≤a｝，（5）将3个参数a，b与θ离散化即可得到离散脊波变换．

脊波能对高维空间中的直线状和超平面状的奇异性进行很好的逼近，但是，对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减．因此，为了解决含曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题，CANDES又提出了用单尺度脊波来表示曲线奇异性，即在一个基准尺度上进行脊波变换，单尺度脊波对于具有曲线奇异的多变量函数的逼近性能比小波有了明显提高．由于Ridgelet变换不能提供多尺度分解，对应于单尺度脊波，CANDES E J和DONOHO D L于2000年构造了“曲波”（Curvelet），提出了第1代Curvelet变换［13－14］．第1代Curvelet变换是在所有可能的尺度上进行脊波变换，所以也称为多尺度脊波，不仅综合了脊波擅长表示直线特征和小波适合于表现点状特征的优点，而且利用了多尺度分析的优势，适用于实际的图像处理问题．对于具有光滑奇异性曲线的目标函数，曲波提供了稳定、高效和近似最优的表示．曲波变换的基本思想是首先通过一个金字塔树型结构滤波器组将图像分解为一系列小波子带，然后根据子带的中心频率进行加窗处理并将其分成近似大小的块，对每一块进行离散脊波变换，每一块中块的大小可以不同．显然，Curvelet变换存在加窗效应，同时因为采用Ridgelet变换，因此实现效率较差．

2005年CANDES E J和DONOHO D L又提出了第2代Curvelet变换方法［15］．第2代Curvelet变换完全摒弃了Ridgelet变换，在频域直接给出了Curvelet变换的具体表示形式．首先对图像进行快速傅里叶变换，然后针对不同的尺度和方向对频域系数插值和重采样，最后对新的系数加窗处理后执行快速傅里叶反变换，得到了指定尺度和方向的Curvelet变换．

虽然第2代Curvelet变换具有良好的时频域局部性、方向性以及非线性逼近能力，但其冗余度高，存在加窗效应．2001年DO M N和VETTERLI M提出了第1代Contourlet变换［16－20］．第1代Conturlet变换继承了Curvelet变换的各向异性尺度关系，直接在数字域实现了具有多尺度、局部和多方向的二维图像表示672海南大学学报自然科学版2011年