面向方程的数值积分法仿真
第五章第二节面向系统结构图的数字仿真
Ab A BkC
为系统闭环系数矩阵，而输入矩阵B和输出矩阵C不变。 根据求得的系统仿真模型，观察可知，该式其实是一个一 阶微分方程组的矩阵表达形式，采用四阶龙格-库塔法， 即可根据典型闭环系统的结构图进行仿真。
（二）仿真实现 由以上确定的仿真模型，采用四阶龙格-库塔法求解。 由式3 X A X Br b 知
yk 1 CX k 1
Байду номын сангаас
按以上算式，取K＝0，1…N不断递推，即求得所需时间 t0，t1….各点的状态变量x（tk）和输出量y（tk）。 采用四阶龙格-库塔法，即可根据典型闭环系统的结构图 进行仿真。
（三）仿真程序框图与实现 构成一个完整的仿真程序，必须至少建立： （1）输入数据块 （2）初始化块 （3）运行计算块 （4）输出结果块 作为系统仿真程序，使用时应尽可能方便，使用者只要 将开环传递函数G（s）的分母、分子各系数和反馈系数 输入计算机，计算机就掌握了关于该系统的基本信息， 然后形成开、闭环状态方程各阵等步骤均由仿真程序自 动完成，无需人工干预。因此，程序应用输入数据模块 和初始化程序模块。
1. 程序框图
Y (s) b0 s m bm1 s bm G( s) U (s) a0 s n an1 s an
2. 程序语句如下： （1）输入数据
2. 程序语句如下： （2）形成开、闭环系数阵
2. 程序语句如下： （3）运算求解
2. 程序语句如下： （4）输出结果
第二节
面向系统结构图的数字仿真
控制系统计算机仿真是建立在控制系统数学模型 基础上的一门技术，自动控制系统的种类繁多， 为通过仿真手段进行分析和设计，就要借助于 系统的数学模型。现行控制系统的数学模型的 表示形式有微分方程、传递函数、状态方程、 结构图形式等。实际工程中常常给出的是结构 图形式的数学模型，对此类形式的系统进行仿 真分析，自动求解各环节变量的动态变化情况， 从而得到关于系统输出各变量的有关数据、曲 线等，可方便的对系统进行分析和设计。 本节将对控制系统的典型结构形式二次模型化， 并采用数值积分算法得到系统相应的仿真结果。
simulink仿真法求解积分
Simulink是一个功能强大的仿真工具，可以用于模拟和求解各种物理系统和数学模型。
在Simulink中，积分求解是一种常用的数值方法，用于求解一阶常微分方程的解。
下面是一个使用Simulink求解积分的基本步骤：1. 建立模型：首先，在Simulink中建立一个包含一阶常微分方程的系统模型。
通常，需要将微分方程作为模型的输入，并将输出连接到需要求解的物理系统或数学模型的输入端。
2. 配置参数：在模型中，需要配置积分器的参数，包括积分器类型、步长、初始值等。
不同的积分器类型适用于不同的微分方程，需要根据实际情况选择合适的积分器类型。
3. 运行仿真：在模型中设置好参数后，可以运行仿真以求解积分。
Simulink会自动使用积分器对微分方程进行求解，并将结果输出到模型的输出端。
4. 结果分析：通过观察仿真结果，可以了解微分方程的解随时间的变化情况。
可以使用Simulink提供的各种工具和图表来可视化仿真结果，以便更好地分析和理解。
下面是一个简单的示例，说明如何使用Simulink求解一阶常微分方程的积分：假设有一阶常微分方程dy/dt = y - 2，可以使用Simulink建立如下模型：* 输入端连接微分方程dy/dt = y - 2的右侧，即y(t) - 2；* 输出端连接到需要求解的物理系统或数学模型的输入端；* 在模型中配置积分器参数为默认的Simulink积分器，并设置合适的步长和初始值；* 运行仿真并观察仿真结果。
在这个例子中，微分方程的解为y(t) = 2e^(-t) + C，其中C 为初始条件。
通过观察仿真结果，可以验证这个解是否正确。
总之，使用Simulink求解积分是一个简单而有效的方法，可以用于模拟和求解各种物理系统和数学模型。
通过建立模型、配置参数、运行仿真和结果分析，可以更好地了解微分方程的解随时间的变化情况，为实际应用提供有价值的参考。
自动控制理论Ⅰ教学大纲精品资料
《自动控制理论》系列课程教学大纲（适用于03版教学计划）电气与自动化工程学院《自动控制理论》课程组2004．4《自动控制理论Ⅰ》教学大纲学时：72/8 学分：5教学大纲说明一、课程的目的与任务自动控制理论是具有一般方法论特点的技术基础课程。
目的在于使学生掌握自动控制理论的基本原理和方法，并具备对自动控制系统进行分析、计算、实验和设计的初步能力，为专业课的学习和参加控制工程实践打好必要的理论基础。
二、课程的基本要求掌握建立电气系统、机械系统数学模型的方法，掌握线性定常系统分析和设计方法，对应用理论解决工程实际问题有所了解。
三、与其他课程的联系和分工本课程的前继课程为：《电路》、《模拟电子技术》、《电机与拖动》、《积分变换》等。
本课程的后续课程为《直流调速系统》，《交流调速系统》、《过程控制系统与仪表》、《自动控制理论2》、《控制系统仿真》等。
五、本课程的性质及适应对象自动化、电气工程及其自动化教学大纲内容第一章引论1、自动控制的基本原理与方式2、自动控制系统示例3、自动控制系统的组成、分类、常用术语及定义。
4、对自动控制系统的基本要求5、自动控制理论的发展状况及本课程任务。
教学提示:掌握自动控制的基本概念，自动控制系统的组成，常用的控制方式，了解自动控制理论的发展。
第二章线性系统的数学模型1、线性系统的时域数学描述。
2、非线性数学模型的线性化。
3、线性系统的复域数学描述-传递函数。
4、典型环节的数学模型。
5、方框图及其等效变换。
6、信号流图的基本概念，梅逊公式。
7、系统的开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数等概念。
教学提示:掌握线性系统数学模型的建立方法，传递函数的定义、性质及其与微分方程之间的关系，方框图、信号流图的等效变换，梅逊公式。
掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数等概念。
第三章控制系统的时域分析1、典型输入信号。
2、系统时域性能指标。
3、典型一、二阶系统的时域分析。
4、改善二阶系统性能指标的措施。
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
第五章第二节面向系统结构图的数字仿真
AX BU X Y CX
（式2）
由图一可知，控制量U=R-Ky,带入式2得
AX BU X AX B (r ky) AX B (r kCX ) ( A BkC) X Br Ab X Br
（式3）
式3即为系统的闭环状态方程，也就是系统的仿真模型。 其中
式中
A
A 0 C 0
1
A2
A n n
0
nBLeabharlann B 01B2
B n n
0
n
1
C
C2
C n n
0
n
D D 0
1
D2
D n n
0
n
A，B，C，D都是 n n 维的 y u
Ci Dis Ai Bis
(i 1,2,, n)
(2.9 - 1)
利用这个典型环节，只要改变系数便可组成其它常 用环节： 积分环节
K s
对应于 Ai 0, Bi 1, Ci K , Di 0
比例 积分环节 K 1s K 2 对应于 Ai 0, Bi 1, Ci K 2, Di K 1
第二节
面向系统结构图的数字仿真
控制系统计算机仿真是建立在控制系统数学模型 基础上的一门技术，自动控制系统的种类繁多， 为通过仿真手段进行分析和设计，就要借助于 系统的数学模型。现行控制系统的数学模型的 表示形式有微分方程、传递函数、状态方程、 结构图形式等。实际工程中常常给出的是结构 图形式的数学模型，对此类形式的系统进行仿 真分析，自动求解各环节变量的动态变化情况， 从而得到关于系统输出各变量的有关数据、曲 线等，可方便的对系统进行分析和设计。 本节将对控制系统的典型结构形式二次模型化， 并采用数值积分算法得到系统相应的仿真结果。
实验一面向微分方程的数值积分法仿真
实验一面向微分方程的数值积分法仿真一、实验目的1•掌握数值积分法的基本概念、原理及应用；2•用龙格-库塔法解算微分方程，增加编写仿真程序的能力；3•分析数值积分算法的计算步长与计算精度、速度、稳定性的关系; 4.对数值算法中的“病态问题”进行研究。
二、实验内容1、已知系统微分方程及初值条件y =t y, y(0) =1取步长h .0.1 ,试分别用欧拉方程法和RK4法求t =2h时的y值,y(t) =2& -t -1比较(将三个解绘于同一坐标中，且用数值进行比较因。
(①编程完成；②选用MATLAB ode函数完成。
)程序代码如下：t0=0;tf=2;h=0.1;y1=1;y2=1;y3=1;t1=0;t2=0;t3=0n=rou nd(tf-t0)/h;for i=1: ny1(i+1)=y1(i)+h*(2*h+y1(i)); t1=[t1,t1(i)+h];endfor i=1: nk1=y2(i)+t2(i);k2=y2(i)+h*k1/2+t2(i)+h/2;k3=y2(i)+h*k2/2+t2(i)+h/2; k4=y2(i)+h*k3+t2(i)+h;y2(i+1)=y2(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;t2=[t2,t2(i)+h];endfor i=1: ny3(i+1)=2*exp(t3(i))-t3(i)-1;t3=[t3,t3(i)+h];endplot(t1,y1, 'r' ,t2,y2, 'g' ,t3,y3, 'k')实验结果如下；并将求得的值与解析解)，说明造成差异的原1210「 ' -8 ■ / . -6 - / -4「-2 - -0 1 1 1 10 0.5 1 1.5 2 2.5分析：红线为用欧拉法得到的结果，绿线为用四阶龙格一库塔法得到的结果，蓝线为根据解析方程得到的结果。
其差异原因主要有两个：1、二者的方法不同，欧拉法是根据一阶微分方程计算得到的，龙格一库塔法是根据四阶微分方程得到的；2、由于步长取为0.1，所以得到的图像与解析解之间存在差异，若将步长取小，则得到的解将更靠近解析解。
积分方程的数值解法及其应用
积分方程的数值解法及其应用积分方程是一种重要的数学工具，广泛应用于科学和工程等各个领域。
然而，积分方程通常没有解析解，需要借助数值方法来求解。
本文将介绍积分方程的数值解法及其应用。
积分方程的数值解法积分方程的数值解法有很多种，常用的方法包括：•格点法：将积分方程离散化为一组代数方程组，然后用数值方法求解代数方程组。
格点法是积分方程数值解法中最简单的方法，但精度不高。
•边界元法：将积分方程转化为一组边界积分方程，然后用数值方法求解边界积分方程。
边界元法比格点法精度更高，但计算量更大。
•谱法：将积分方程转化为一组谱方程，然后用数值方法求解谱方程。
谱法是一种高精度的积分方程数值解法，但计算量非常大。
积分方程的应用积分方程在科学和工程等各个领域都有广泛的应用，例如：•电磁学：积分方程可以用来求解电磁场问题，如天线设计、微波电路设计等。
•流体力学：积分方程可以用来求解流体力学问题，如流体流动、湍流、热传导等。
•固体力学：积分方程可以用来求解固体力学问题，如弹性力学、塑性力学、断裂力学等。
•化学工程：积分方程可以用来求解化学工程问题，如反应器设计、传质、传热等。
•生物学：积分方程可以用来求解生物学问题，如种群动态、流行病学、药物动力学等。
积分方程数值解法的发展前景积分方程数值解法是一个不断发展的领域，随着计算技术的进步，积分方程数值解法的方法和精度也在不断提高。
近年来，积分方程数值解法在以下几个方面取得了重大进展：•快速算法的开发：近年来，人们开发了许多快速算法来求解积分方程，如快速多极子算法、快速边界元算法、快速谱法等。
这些算法大大提高了积分方程数值解法的速度和效率。
•并行算法的开发：随着并行计算技术的兴起，人们也开发了许多并行算法来求解积分方程。
这些算法可以充分利用多核处理器和分布式计算资源，进一步提高积分方程数值解法的速度和效率。
•自适应算法的开发：自适应算法是一种根据积分方程的局部误差来调整计算精度的算法。
多体系统动力学建模与仿真分析
多体系统动力学建模与仿真分析概述多体系统动力学建模与仿真分析是解决实际工程问题和科学研究中的重要技术手段。
本文将从理论介绍、实际应用和发展前景等几个方面，探讨多体系统动力学建模与仿真分析的相关内容。
一、多体系统动力学建模的理论基础多体系统动力学建模是研究多体系统运动规律的基础工作。
其理论基础主要包括牛顿运动定律、欧拉-拉格朗日动力学原理等。
1. 牛顿运动定律牛顿运动定律是多体系统动力学建模的基础。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
在多体系统中，通过对所有物体的运动状态和相互作用力进行分析，可以建立多体系统的动力学模型。
2. 欧拉-拉格朗日动力学原理欧拉-拉格朗日动力学原理是一种更为普适的多体系统动力学建模方法。
该理论通过定义系统的广义坐标和广义速度，以及系统的势能和拉格朗日函数，通过求解拉格朗日方程，得到系统的运动方程。
相比于牛顿运动定律，欧拉-拉格朗日动力学原理具有更广泛的适用性和更简洁的表达形式。
二、多体系统动力学建模的实际应用多体系统动力学建模在工程和科学领域中有着广泛的应用。
以下以机械系统和生物系统为例，简要介绍多体系统动力学建模的实际应用。
1. 机械系统在机械工程中，多体系统动力学建模是设计和优化机械系统的关键步骤。
以汽车悬挂系统为例，通过建立汽车车体、轮胎、悬挂弹簧和减震器等部件的动力学模型，可以分析车辆在不同工况下的悬挂性能，进而指导悬挂系统的设计和优化。
2. 生物系统在生物医学工程和生物力学研究中，多体系统动力学建模对于理解和模拟生物系统的运动特性具有重要意义。
例如，通过建立人体关节和肌肉的动力学模型，可以分析人体的运动机制，评估关节健康状况，提供康复治疗方案等。
三、多体系统动力学仿真分析的方法与技术多体系统动力学仿真分析是通过计算机模拟多体系统的运动过程，从而得到系统的运动学和动力学特性。
常用的方法与技术包括数值积分方法、刚体碰撞检测与处理、非线性约束求解等。
控制系统仿真实验报告(20200717013819)
控制系统仿真实验报告班级：测控 1402 班姓名：王玮学号： 14050402072018 年 01 月实验一经典的连续系统仿真建模方法一实验目的 :1了解和掌握利用仿真技术对控制系统进行分析的原理和步骤。
2掌握机理分析建模方法。
3深入理解阶常微分方程组数值积分解法的原理和程序结构，学习用Matlab 编写数值积分法仿真程序。
4掌握和理解四阶 Runge-Kutta法，加深理解仿真步长与算法稳定性的关系。
二实验内容 :1.编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对非线性模型（3）式进行仿真。
（1）将阀位u增大 10％和减小 10％，观察响应曲线的形状;（2）研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？（3）利用 MATLAB 中的 ode45() 函数进行求解，比较与（1）中的仿真结果有何区别。
2.编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真（1）将阀位增大 10％和减小 10％，观察响应曲线的形状;（2）研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？（4）阀位增大 10％和减小 10％，利用 MATLAB中的 ode45() 函数进行求解阶跃响应，比较与（ 1）中的仿真结果有何区别。
三程序代码 :龙格库塔 :%RK4文件clccloseH=[1.2,1.4]';u=0.55; h=1;TT=[];XX=[];for i=1:h:200k1=f(H,u);k2=f(H+h*k1/2,u);k3=f(H+h*k2/2,u);k4=f(H+h*k3,u);H=H+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;TT=[TT i];XX=[XX H];end;hold onplot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:));xlabel('time')ylabel('H')gtext('H1')gtext('H2')hold on水箱模型 :function dH=f(H,u)k=0.2;u=0.5;Qd=0.15;A=2;a1=0.20412;a2=0.21129;dH=zeros(2,1);dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));2 编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真：1阀值 u 对仿真结果的影响U=0.45;h=1;U=0.5;h=1;U=0.55;h=1;2 步长 h 对仿真结果的影响:U=0.5;h=5;U=0.5;h=20;U=0.5;h=39U=0.5;h=50由以上结果知 , 仿真步长越大 , 仿真结果越不稳定。
哈工大 计算机仿真技术实验报告 实验3 利用数值积分算法的仿真实验
模型的稳定性：当步距 h=5.0e-5 时，前向欧拉法和后向欧拉法明显失真， 随着步距的减小， 二阶显式 Adams 法， 梯形法和显式四阶 Runge-Kutta 法的波形 变化不大，而前向欧拉法和后向欧拉法的波形得到明显改善。所以显式四阶 Runge-Kutta 法，二阶显式 Adams 法和梯形法的稳定性较好，前向欧拉法和后向 欧拉法的稳定性较差。 模型的精度和离散时间间隔：步距为 h=5.0e-6 时，显式四阶 Runge-Kutta 法 精度最高，其次是二阶显式 Adams 法和梯形法。步距为 h=5.0e-7 时，前向欧拉 法和后向欧拉法仿真精度才达到要求。所以，显式四阶 Runge-Kutta 法，二阶显 式 Adams 法和梯形法模型的精度较高，离散时间间隔要求低，其中，显式四阶 Runge-Kutta 法模型的精度最高，其次是二阶显式 Adams 法，由于是二次函数较 复杂，函数曲线与真实曲线较为接近；再次精确的是梯形法，取梯形面积，误差 也较小；前向欧拉法和后向欧拉法模型的精度较低，由于取的是矩形面积，离散 时间间隔要求高。
实验 3 利用数值积分算法的仿真实验
(
一、 实验目的
1) 熟悉 MATLAB 的工作环境；
2) 掌握 MATLAB 的 .M 文件编写规则，并在命令窗口调试和运行程序； 3) 掌握利用欧拉法、梯形法、二阶显式 Adams 法及四阶龙格库塔法构建系 统仿真模型的方法,并对仿真结果进行分析。
二、实验内容
上对应的标题。
四、实验原理
在连续系统的数字仿真算法中,较常用的有欧拉法、 梯形法、 二阶显式 Adams 法及显式四阶 Runge-Kutta 法等。欧拉法、梯形法和二阶显式 Adams 法是利用离 散相似原理构造的仿真算法，而显式四阶 Runge-Kutta 法是利用 Taylor 级数匹配 原理构造的仿真算法。 对于线性系统，其状态方程表达式为：
面向工程应用的数值积分法仿真实验
ＬＩ Ｊ ｉ ｅ
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｔ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｅ Ｐ ｅ ｔ ｒ ｏ ｌ ｅ ｕ ｍ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｅ ０ ６ ７ ０ ０ ０ ， Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
关键词 ： Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ； 龙 格 一库 塔 法 ； 仿真 ； 状 态空间
中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９
文献标识码 ： Ｂ
文章 编 号 ： １ ０ ０ ８ — ９ ４ ４ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ － ０ ０ ３ ９ － ０ ５
Ｎｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈｍ Ｅｍ ｕｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅｘ ｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ
ｒ ｕ ｎ ｇ ｅ — ｋ ｕ ｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ，ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｓ ｐａ ｃ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ｉ ｍｕｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，ａ ｎ ｄ ｆ ｕ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｉ ｍ— ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｓ ｔ ｈｅ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ，ａ ｎｄ ｉｎ ｆ ｄ ｓ ｏ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｂ ｅ ｓ ｔ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｅ ｐ，ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｎ ｏ ｔ ｔ ｏ ｉ ｎ － ｆ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｌ ｙ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｓ ｔ ｅ ｐ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ａ ｃ ｈ ｉ ｅ ｖ ｅ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ，ａ ｎ ｄ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ａ ｍｏ ｒ ｅ ｒ ｅ ｌ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｉ ｍｅ
仿真3数值积分法
•
• 描述各类系统最基本的模型用微分方程或 状态空间表达式，二次建模就是要求出适合用数 字计算机求解的模型，就需要把微分运算转化成 算术运算在用计算机求解。
连续系统数值积分法：就是利用数值积分 方法对常微分方程建立离散化形式的数学模型（ 差分方程）并求出数值解。
最常用的数值解法有：
欧拉法、梯形法、Adams、Runge—Kutta法 。
• 实际在逐步递推过程中，计算 yn+1 时已经获
得一系列的近似值：
以及
。
• 如果能利用多步计算信息（历史时刻值）， 则可能既加快仿真速度又获得较高的仿真精度， 这就是构造多步法的出发点。
• 多步法中以 Adams 法最具代表性，应用最为 普遍。
•
• 一、Adams算法
• 对一阶连续系统
：
•连续解为：
•此时，RK4公式的４个 k 值：
•
例：系统方程
•解
•取步长 h=0.1,试用RK4法求t=0.1，0.2时的解 •将原系统方程化为状态方程形式
:：
•
•
•见仿真结 果
•作业：P149 3.2
•
•
• 第三节 数值积分法的多步算法
• 单步法的特点：计算 n+1 时刻的值 yn+1 时， 只用到第 n 时刻的 yn 和 fn 。
•
(1)
• 之间的误差为：
• 局部截断误差与hp+1是同阶无穷小量,记为 •O(以hp上+1)公式(1)就称为p阶的Taylor展开法递推公
式
•
欧拉法的Taylor级数展开
•只取一次项，其余忽略
•写成差分方程 为 •这就是解微分方程初值问题的欧拉算法。
实验09数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09数值微积分与方程数值解（第6章）《数学软件》课内实验王平（第6章MATLAB数值计算）一、实验目的1.掌握求数值导数和数值积分的方法。
2.掌握代数方程数值求解的方法。
3.掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容1.求函数在指定点的数值导数某f(某)1程序及运行结果：某2某36某2某3某2,某1,2,3 022.用数值方法求定积分(1)I120cot24in(2t)21dt的近似值。
程序及运行结果：(2)I220ln(1某)d某1某2程序及运行结果：3.分别用3种不同的数值方法解线性方程组6某5y2z5u49某y4zu133某4y2z2u13某9y2u11程序及运行结果：4.求非齐次线性方程组的通解2某17某23某3某463某15某22某32某449某4某某7某22341程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：5.求代数方程的数值解(1)3某+in某-e某=0在某0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：(2)在给定的初值某0=1，y0=1，z0=1下，求方程组的数值解。
in某y2lnz70y33某2z10某yz50程序及运行结果：26.求函数在指定区间的极值某3co某某log某(1)f(某)在(0,1)内的最小值。
e某程序及运行结果：332(2)f(某1,某2)2某1在[0,0]附近的最小值点和最小值。
4某1某210某1某2某2程序及运行结果：7.求微分方程的数值解，并绘制解的曲线某d2ydy5y0d某2d某y(0)0y'(0)0程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y2=y,y1=y'，将二阶方程转化为一阶方程组：1'5yy1某1某y2'y2y1y(0)0,y(0)0218.求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线y'1y2y3y'yy213y'0.51yy123y1(0)0,y2(0)1,y3(0)1程序及运行结果：3三、实验提示四、教程：第6章MATLAB数值计算（2/2）6.2数值微积分p1556.2.1数值微分1.数值差分与差商对任意函数f(某)，假设h>0。
实验：控制系统数字仿真之数值积分法
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ts=199, Mp=18.2175, FAI=0.93537, tr=73, tp=106, ys=1.0003 ts=147, Mp=16.7351, FAI=0.94362, tr=74, tp=107, ys=1.0003 ts=147, Mp=16.7505, FAI=0.94355, tr=74, tp=107, ys=1.0003
ts=147.2, Mp=16.8911, FAI=0.94279, tr=73.9, tp=107, ys=1.0003
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用梯形法得出系统响应曲线：
若采用欧拉法，误差为红色曲线围成的面积，而如果用梯形法，误差减少为 蓝色曲线围成的面积。同时，要求出蓝色曲线围成的面积，就要先出下一个点的 值。因此增加了计算量。 算法： 先用欧拉法求出下一个点的值， 用下一个点的值求这个点的斜率， 接着就能 求出梯形的面积。用新的面积（代表斜率）求出下一个点的值。 实验程序代码（与之前相同的部分没有复制）：
实验：控制系统数字 仿真之数值积分法
实验目的：
哈尔滨工业大学《系统建模与仿真》系统建模与仿真-第三章-连续系统仿真方法
本章目次
3.1离散化原理及要求
3.4纯延迟环节仿真模型
3.2连续系统仿真算法
3.5采样控制系统仿真方法 3.6间断特性仿真方法
3.3连续系统实时仿真算法 3.7 病态系统仿真方法
3.1 离散化原理及要求
在计算机上仿真面临的问题：数字计算机的数值及时间均具有 离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性。后者如何用 前者来实现？
t
x(t) exp( A t)x(0) exp( A (t ))Bu( )d 0
x(n1)T (T ) x(nT ) u m(T ) (nT )
其中：(T ) exp( A T ),
T
m(T ) exp( A (T ))Bd 0
(2)步长 h 在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变，
但是在一步中算若干个系数 Ki (俗称龙格—库塔系数)，则必须
用同一个步长 h。
3.2 连续系统仿真算法
3.2.2 非线性连续系统仿真算法—龙格库塔法
龙格库塔法特点
(3)龙格—库塔法的精度取决于步长 h 的大小及方法的阶次。许 多计算实例表明：为达到相同的精度，四阶方法的 h 可以比二 阶方法的h 大10倍，而四阶方法的每步计算量仅比二阶方法大1
令(t) L1 (sI A)1 ,则
其中：
x(s) L (t) x(0) L (t) Bu(s)
t
x(t) (t) x(0) (t )Bu( )d 0
(t) exp( At)为状态转移矩阵,则得线性状态方程的解析解：
数字计算机：从根本意义上讲，所进行的计算仅仅是“数字”计 算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方 面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离 散化，这样就只能得到离散时间点上系统的（离散数值）状态 （性能）。
第二章 数字仿真的计算方法
stop if yik++1 yik+1 < ξ 1
2.1.2 单步法－改进欧拉法 单步法－
改进欧拉法； – 隐式梯形法迭代过程的简化； f (ti , yi ) + f (ti+1, yi+1) yi+1 = yi + h 2 – 预测；
yi+1 = yi + h f (ti , yi )
– 校正；
f (ti , yi ) + f (ti+1, yi+1) yi+1 = yi + h 2
2.1.2 单步法－提高精度 单步法－
欧拉法；
yi+1 = yi + h f (ti , xi )
隐式梯形法；
f (ti , yi ) + f (ti+1, yi+1) yi+1 = yi + h 2
2.1.3 多步法
用 y 在前面几个时刻的值计算 yi； – 一般公式；
yi+1 =
– 显式；
B-1=0
j =0, p
∑A y
j i j
+ h
j =1, p
∑B f (t
j
i j
, yi j )
– 隐式；
B-1≠0
– 常用公式；
A1=1，其余Ai=0，∑B=1；
2.1.3 多步法
亚当姆斯三点预测－校正法； – 计算 f(ti，yi)；
55 fi 59 fi1 + 37 fi2 9 fi3 y = yi + h 24
p i +1
– 计算 f pi+1(ti+1，y pi+1)； – 隐式计算校正值；
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。