非线性系统例题

第十章非线性系统

§10.1 与线性系统的差异

线性系统与非线性系统的不同之处在于：

1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。

2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。

3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。

4.非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。

5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。

6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。

7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。

8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。

§10.1 定性分析

状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示。

§10.3 达芬方程

达芬方程

rt F sin 23=+++εχχχμχ

（10.1） 是一个无量纲方程。它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。如果ε为正，则表示一个硬弹簧的响应；如果ε为负，则表示一个软弹簧系统的响应。一个系统自由振动的振幅关系由达芬方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：

)(8

3

122εεωO A ++= （10.2）

其中ω是固有频率的无量纲化（对于线性系统ω=1），A 是振幅，分析共振附近达芬方程的受迫响应可以设

εσ+=1r （10.3）

则稳态振幅的定义方程就可近似表示为

22

22

2

]83[4F A A =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+σμ （10.4）

方程（10.4）在图10.2中的关系曲线表示为0>ε时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的σ值，方程（10.4）有三个正实解，因为2A 引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。

§10.4自激振动

自激振动是由系统运动而引起的振动，它是由非线性形式的阻尼引起的，这里的阻尼项在给定的运动范围内是负值，图10.3所示的动力系统表现的就是阻尼，而振幅却变化不大，范德波尔方程就是某些自激系统的一个模型，即：

0)1(2=+-+χχχμχ

（10.5） 图10.4所示的相平面就表示了范德波尔振子自由振动的一个极限环。

例 题

10.1 单摆运动的非线性方程的无量纲化形式为

0sin =+θθ

（i ）推导定义运动相平面的广义方程；

（ii ）求在1,0==θ

θ 条件下的轨线； （iii ）单摆的最大摆角是多少？ 解: （i ）令2θν=，则

θ

ννθθννθθd d dt d d d dt d dt d ==== 从而微分方程就可以写成

0sin =+θθ

ν

ν

d d 对θ求积分，则得

C =-θνcos 2

12

其中C 是一个积分常数。

（ii ）要求当0=θ时，1=ν，则2

1

-=C ，从而解出ν

1cos 2-=θν

（iii ）当0=ν时，最大摆角 60=θ

10.2 令0χχ=代表非线性系统的平衡位置，取χχχ∆+=0来分析在平衡点邻域内系统的运动。通过在平衡点处线性化微分方程，来确定平衡点的类型及其稳定性。

解：设控制微分方程的形式为：

0),(=+χχχ

f 若0χχ=代表一个平衡点，则0)0,(0=χf 。将χχχ∆+=0代入微分方程，得：

0),(0=∆∆++∆χχχχ

f 用泰勒级数展开，得：

0)0,()0,()0,(000=++∆∂∂+∆∂∂++∆ χ

χχ

χχχχχ

f

f f 加上平衡条件并略去高阶项线性化得：

0=∆+∆+∆χβχαχ

)0,(0χχα ∂∂=

f ，)0,(0χχ

β∂∂=f

方程的解可记为：

t t e C e C 2121λλχ+=∆

其中1λ和2λ是方程022=++βλλ的解，平衡点的类型及其稳定性讨论如下： （1）若1λ或2λ其一有正实部，则从平衡点出发的扰动无限大，故解不稳定。 （2）若1λ和2λ都是正实数且同号，则平衡点为节点（稳定或不稳定。 （3）若错是实数且同号，则平衡点为鞍点（不稳定）。

（4）若1λ和2λ为共轭复数，则平衡点为焦点（稳定或不稳定）。 （5）若1λ和2λ都是纯虚数，则平衡点是中点。

10.3 确定摆动方程所有平衡点的类型及其稳定性。 解：单摆运动的非线性微分方程为：

0sin =+θθ

采用题10.2中的符号，得：

θθ

θsin ),(= f 且：,0sin 0)0,(00πθθθn f =→=→= ,2,1,0±±=n 现在，令θπθ∆+=n ，并将其代入微分方程，得：

0)sin(=∆++∆θπθ

n 用泰勒级数展开，且保留线性项得：

0)cos(=∆+∆θπθ

n 0)1(=∆-+∆θθ

n 利用题10.2中的符号，则上述方程的广义解为：

t

n t

n e

C e

C 2)

1(2)

1()

1(2)

1(1-----+=∆θ

2

)

1(1)

1(--=n λ，2

)

1(2)

1(---=n λ

因此，对于奇数n ， 1λ和2λ都是实数且异号，这些平衡点就是鞍点；对于偶数n ，1λ和2λ都是纯虚数，这些平衡点就是中点。 10.4 摆动的相平面示意图。

解：根据题10.3 结论得到的相平面示意图如图10.5 所示。